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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números quadrados pefeitos e números não quadrados perfeitos - 044

Dispondo a sequência de números naturais, a partir de 1, em uma tabela, como no exemplo abaixo, os primeiros 400 números e extraindo a raiz quadrada de cada número, temos como resultados números que têm suas raízes quadradas exatas e números que têm suas raízes quadradas não exatas.

Coluna Números Naturais

Na coluna Números, temos a sequência dos números 1 a 400.

Os números destacados na cor amarela, são quadrados perfeitos.

Exemplo 1a)

1 é um quadrado perfeito.

Exemplo 1b)

4 é um quadrado perfeito.

Exemplo 1c)

9 é um quadrado perfeito.

Os números não destacados não são quadrados perfeitos.

Exemplo 1d)

2 não é quadrado perfeito.

Exemplo 1e)

3 não é quadrado perfeito.

Exemplo 1f)

5 não é quadrado perfeito.

Coluna Raízes Quadradas

Na coluna Raízes, temos números que são raízes quadradas exatas e números que não são raízes quadradas exatas (números decimais infinitos e não periódicos).

Coluna Intervalos

Na coluna Intervalos, são apresentados os intervalos entre dois números quadrados perfeitos.

Exemplo 3a) Entre os quadrados 1 e 4, há 2 intervalos: cada um com um número não quadrado perfeito e sua representação decimal.

Exemplo 3b) Entre os quadrados 4 e 9, há 4 intervalos: cada um com um número não quadrado perfeito e sua representação decimal.

Exemplo 3c) Entre os quadrados 9 e 16, há 6 intervalos: cada um com um número não quadrado perfeito e sua representação decimal.

Regularidades

Podemos observar regularidades que acontecem nesta na tabela.

a) Os intervalos entre dois quadrados são números pares: 2, 4, 6, 8 , 10, 12, 14, 16, ....

b) Os números não quadrados perfeitos, bem como suas raízes são em quantidades pares entre dois números quadrados perfeitos.

c) Duplicando-se qualquer raiz quadrada exata, encontramos a quantidade de números não quadrados perfeitos e suas raízes não exatas depois desta raiz:

Exemplo 4a)

O dobro da raiz quadrada 1 (1x2=2).

Dois são os quadrados não perfeitos e suas raízes após a raiz quadrada 1.

Exemplo 4b)

O dobro da raiz quadrada 2 (2x2=4).

Quatro são os quadrados não perfeitos e suas raízes após a raiz quadrada 2.

Exemplo 4c)

O dobro da raiz quadrada 3 (3x2=6).

Seis são os quadrados não perfeitos e suas raízes após a raiz quadrada 3.

Números
Raízes
Intervalos
1
1
2
1,414213562...
2
3
1,732050808...
4
2
5
2,236067977...
4
6
2,449489743...
7
2,645751311...
8
2,828427125..
9
3
10
3,16227766...
6
11
3,31662479...
12
3,464101615...
13
3,605551275...
14
3,741657387...
15
3,872983346...
16
4
17
4,123105626...
8
18
4,242640687...
19
4,358898944...
20
4,472135955...
21
4,582575695...
22
4,69041576...
23
4,795831523...
24
4,898979486...
25
5
26
5,099019514...
10
27
5,196152423...
28
5,291502622...
29
5,385164807...
30
5,477225575...
31
5,567764363...
32
5,656854249...
33
5,744562647...
34
5,830951895...
35
5,916079783...
36
6
37
6,08276253...
12
38
6,164414003...
39
6,244997998...
40
6,32455532
41
6,403124237...
42
6,480740698...
43
6,557438524...
44
6,633249581...
45
6,708203932...
46
6,782329983...
47
6,8556546...
48
6,92820323...
49
7
50
7,071067812...
14
51
7,141428429...
52
7,211102551...
53
7,280109889...
54
7,348469228...
55
7,416198487...
56
7,483314774...
57
7,549834435...
58
7,615773106...
59
7,681145748...
60
7,745966692...
61
7,810249676...
62
7,874007874...
63
7,937253933...
64
8
65
8,062257748...
16
66
8,124038405...
67
8,185352772...
68
8,246211251...
69
8,306623863...
70
8,366600265...
71
8,426149773...
72
8,485281374...
73
8,544003745...
74
8,602325267...
75
8,660254038...
76
8,717797887...
77
8,774964387...
78
8,831760866...
79
8,888194417...
80
8,94427191...
81
9
82
9,055385138...
18
83
9,110433579...
84
9,16515139...
85
9,219544457...
86
9,273618495...
87
9,327379053...
88
9,38083152...
89
9,433981132...
90
9,486832981...
91
9,539392014...
92
9,591663047...
93
9,643650761...
94
9,695359715
95
9,746794345
96
9,797958971...
97
9,848857802...
98
9,899494937...
99
9,949874371...
100
10
101
10,04987562...
20
102
10,09950494...
103
10,14889157...
104
10,19803903...
105
10,24695077...
106
10,29563014...
107
10,34408043...
108
10,39230485...
109
10,44030651...
110
10,48808848...
111
10,53565375...
112
10,58300524...
113
10,63014581...
114
10,67707825...
115
10,72380529...
116
10,77032961...
117
10,81665383...
118
10,86278049...
119
10,90871211...
120
10,95445115...
121
11
122
11,04536102...
22
123
11,09053651...
124
11,13552873...
125
11,18033989...
126
11,22497216...
127
11,26942767...
128
11,3137085...
129
11,35781669...
130
11,40175425...
131
11,44552314....
132
11,48912529...
133
11,53256259...
134
11,5758369...
135
11,61895004...
136
11,66190379...
137
11,70469991...
138
11,74734012...
139
11,78982612...
140
11,83215957...
141
11,87434209...
142
11,91637529...
143
11,95826074...
144
12
145
12,04159458...
24
146
12,08304597...
147
12,12435565...
148
12,16552506...
149
12,20655562...
150
12,24744871...
151
12,28820573...
152
12,32882801...
153
12,36931688...
154
12,40967365...
155
12,4498996...
156
12,489996...
157
12,52996409...
158
12,56980509...
159
12,60952021...
160
12,64911064...
161
12,68857754...
162
12,72792206...
163
12,76714533...
164
12,80624847...
165
12,84523258...
166
12,88409873...
167
12,92284798...
168
12,9614814...
169
13
170
13,03840481...
26
171
13,07669683...
172
13,11487705...
173
13,15294644...
174
13,19090596...
175
13,22875656...
176
13,26649916...
177
13,3041347...
178
13,34166406...
179
13,37908816...
180
13,41640786...
181
13,45362405...
182
13,49073756...
183
13,52774926...
184
13,56465997...
185
13,60147051...
186
13,6381817...
187
13,67479433...
188
13,7113092...
189
13,74772708...
190
13,78404875...
191
13,82027496...
192
13,85640646...
193
13,89244399...
194
13,92838828...
195
13,96424004..
196
14
197
14,03566885...
28
198
14,07124728...
199
14,10673598...
200
14,14213562...
201
14,17744688...
202
14,2126704...
203
14,24780685...
204
14,28285686...
205
14,31782106...
206
14,35270009...
207
14,38749457...
208
14,4222051...
209
14,45683229...
210
14,49137675...
211
14,52583905...
212
14,56021978...
213
14,59451952...
214
14,62873884...
215
14,6628783...
216
14,69693846...
217
14,73091986...
218
14,76482306...
219
14,79864859...
220
14,83239697...
221
14,86606875...
222
14,89966443...
223
14,93318452...
224
14,96662955...
225
15
226
15,03329638...
30
227
15,06651917...
228
15,09966887...
229
15,13274595...
230
15,16575089...
231
15,19868415...
232
15,23154621...
233
15,26433752...
234
15,29705854...
235
15,32970972...
236
15,3622915...
237
15,39480432...
238
15,42724862...
239
15,45962483...
240
15,49193338...
241
15,5241747...
242
15,55634919...
243
15,58845727...
244
15,62049935...
245
15,65247584...
246
15,68438714...
247
15,71623365...
248
15,74801575...
249
15,77973384...
250
15,8113883...
251
15,84297952...
252
15,87450787...
253
15,90597372...
254
15,93737745...
255
15,96871942...
256
16
257
16,03121954
32
258
16,0623784
259
16,09347694
260
16,1245155
261
16,15549442
262
16,18641406
263
16,21727474
264
16,24807681
265
16,2788206
266
16,30950643
267
16,34013464
268
16,37070554
269
16,40121947
270
16,43167673
271
16,46207763
272
16,4924225
273
16,52271164
274
16,55294536
275
16,58312395
276
16,61324773
277
16,64331698
278
16,673332
279
16,70329309
280
16,73320053
281
16,76305461
282
16,79285562
283
16,82260384
284
16,85229955
285
16,88194302
286
16,91153453
287
16,94107435
288
16,97056275
289
17
290
17,02938637
34
291
17,05872211
292
17,08800749
293
17,11724277
294
17,1464282
295
17,17556404
296
17,20465053
297
17,23368794
298
17,2626765
299
17,29161647
300
17,32050808
301
17,34935157
302
17,3781472
303
17,40689519
304
17,43559577
305
17,4642492
306
17,49285568
307
17,52141547
308
17,54992877
309
17,57839583
310
17,60681686
311
17,63519209
312
17,66352173
313
17,69180601
314
17,72004515
315
17,74823935
316
17,77638883
317
17,80449381
318
17,8325545
319
17,8605711
320
17,88854382
321
17,91647287
322
17,94435844
323
17,97220076
324
18
325
18,02775638
36
326
18,05547009
327
18,08314132
328
18,11077028
329
18,13835715
330
18,16590212
331
18,1934054
332
18,22086716
333
18,24828759
334
18,27566688
335
18,30300522
336
18,33030278
337
18,35755975
338
18,38477631
339
18,41195264
340
18,43908891
341
18,46618531
342
18,49324201
343
18,52025918
344
18,54723699
345
18,57417562
346
18,60107524
347
18,62793601
348
18,65475811
349
18,68154169
350
18,70828693
351
18,734994
352
18,76166304
353
18,78829423
354
18,81488772
355
18,84144368
356
18,86796226
357
18,89444363
358
18,92088793
359
18,94729532
360
18,97366596
361
19
362
19,02629759
38
363
19,05255888
364
19,07878403
365
19,10497317
366
19,13112647
367
19,15724406
368
19,18332609
369
19,20937271
370
19,23538406
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400
20

 Autor: Ricardo Silva

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