Este exemplo de exercício de divisão proporcional, se encontra na aula 7 do Telecurso 2o grau, Álgebra das profissões o qual apresenta um fato curioso, no decorrer da finalização dos cálculos algébricos aparece uma unidade a mais, isto é, o número de pessoas que é uma quantidade fixa, aumenta em uma unidade."Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra."
EXEMPLO 2 Como fazer uma divisão proporcional? Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita. Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá:
x + 25 % de x | ||||
25 | ||||
= | x + | ____ | x | |
100 | ||||
= | x + 0,25 · x | |||
= | (1 + 0,25) x | |||
= | 1,25 x |
A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:
x + 50 % de x | = | |||
50 | ||||
= | x + | ____ | x | |
100 | ||||
= | x + 0,5 · x | |||
= | (1 + 0,5) x | |||
= | 1,5 x |
Veja, então, o resumo no quadro abaixo.
16 costureiras | 16 · x |
02 supervisoras | 2 · 1,25 · x |
01 diretora | 1,5 · x |
Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:
16 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 1440
Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação.
Observe:
16x + 2,5x + 1,5x | = | 1440 | |
(16 + 2,5 +1,5) x | = | 1440 | (x em evidência) |
20 x | = | 1440 | |
20 x | = | 1440 | |
___ | ___ | ||
20 x | 20 | (dividindo por 20) | |
x | = | 72 |
Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil. 1,25 · x = 1,25 · 72 = 90 1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108 Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal.
De onde apareceu o 1? A empresa tem 19 funcionários e não 20.
Na solução desta equação o número de funcionários aumentaram.
Refazendo os cálculos:
Dividindo-se a caixinha de R$ 1.440,00 por 19 funcionários teremos:
R$ 1.440,00 : 19 = R$ 75,78 (valor unitário da caixinha de natal)
R$ 75,78 x 1,50 = R$ 113,68 (diretora)
R$ 75,78 x 1,25 = R$ 94,73 (supervisora) x 2 = R$ 189,47
R$ 1.440,00 - (R$ 113,68 + R$ 189,47) = R$ 1.136,84
R$ 1.136,84 : 16 (costureiras) = R$ 70,86
E agora? Que valores das caixinhas de Natal devem ser consideradas?
Este outro exemplo de proporção se encontra no livro Matemática Comercial e Financeira, capítulo 3, Regra de Sociedade, dos autores Walter Spinelli e M. Helena Queiroz, Editora Ática, edição 1986.
Suponha, por exemplo, que três amigos ganhem Cr$ 9.000,00 na loteria, com o resultada da premiação de um jogo, cujo valor total era Cr$ 4,50
Sócios | Capital |
A | 1,00 |
B | 1,50 |
C | 2,00 |
B) Quanto cada sócio deverá receber? Naturalmente, este é um caso de divisão em partes diretamente proporcionais às quantias investidas. Assim temos:
A | B | C |
__ | ___ | ___ |
1,00 | 1,50 | 2,00 |
A + B + C = 9.000,00 Resolvendo o sistema:
A+B+C | A | B | C | 9.000,00 | ||||
______ | = | ___ | = | ___ | = | ___ | = | _______ |
1,00+1,50+2,00 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 4,50 |
9.000,00 x 1,00 | ||||
A | = | ______________ | = | 2.000,00 |
4,50 |
9.000,00 x 1,50 | ||||
B | = | ______________ | = | 3.000,00 |
4,50 |
9.000,00 x 2,00 | ||||
C | = | ______________ | = | 4.000,00 |
4,50 |
Portanto, A receberá Cr$ 2.000,00; B receberá Cr$ 3.000,00 e C receberá Cr$ 4.000,00".
Veja que os valores dos prêmios que os amigos receberam foram proporcionais com resultados exatos, isto é, valores arredondados.
Aplicando porcentagem para determinar o percentual que cada amigo terá como prêmio, tanto o valor percentual quanto o valor monetário, os resultados são números decimais, chegando a quase números inteiros.
Sócios | Capital | % |
A | Cr$ 1,00 | 22,22 |
B | Cr$ 1,50 | 33,33 |
C | Cr$ 2,00 | 44,44 |
Total | Cr$4,50 | 100 |
Sócios | prêmio | valor a receber |
A = 22,22 % | Cr$ 9.000,00 | Cr$ 1.999,8 |
B= 33,33 % | Cr$ 9.000,00 | Cr$ 2.999,7 |
C= 44,44 % | Cr$ 9.000,00 | Cr$ 3.999,6 |
Aplicando o método direto: dividindo o valor do prêmio pelo valor total da aposta teremos: C$ 9.000,00 : C$ 4,50 = R$ 2.000,00 (valor do prêmio para cada cruzeiro apostado)
Multiplicando cada valor apostado de cada amigo por Cr$ 2.000,00, tem-se o prêmio que cada um deverá receber.
Vejam que temos os valores todos arredondados:
C$ 2.000,00 x C$ 1,00 = C$ 2.000,00
C$ 2.000,00 x R$ 1,50 = C$ 3.000,00
C$ 2.000,00 x R$ 2,00 = C$ 4.000,00
aula 7 do Telecurso 2o grau, Álgebra das profissões
Autor: Ricardo Silva - maio/2016
Álgebra das profissões - Telecurso 20 grau
SPINELLI, Walter. QUEIROZ, M. Helena. Matemática Comercial e Financeira. Editora Ática, edição 1986.
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