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Divisão proporcional, de onde apareceu o 1? - 008

Este exemplo de exercício de divisão proporcional, se encontra na aula 7 do Telecurso 2o grau, Álgebra das profissões o qual apresenta um fato curioso, no decorrer da finalização dos cálculos algébricos aparece uma unidade a mais, isto é, o número de pessoas que é uma quantidade fixa, aumenta em uma unidade. "Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra."

EXEMPLO 2 Como fazer uma divisão proporcional? Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita. Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá:

x + 25 % de x
=
 
 
 
25
=
x +
____
x
 
100
 
=
x + 0,25 · x
 
=
(1 + 0,25) x
 
=
1,25 x

A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:

x + 50 % de x
=
 
 
 
50
=
x +
____
x
 
100
 
=
x + 0,5 · x
 
=
(1 + 0,5) x
 
=
1,5 x

Veja, então, o resumo no quadro abaixo.

16 costureiras 16 · x
02 supervisoras 2 · 1,25 · x
01 diretora 1,5 · x

Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:

16 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 1440

Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação.

Observe:

16x + 2,5x + 1,5x
=
1440
(16 + 2,5 +1,5) x
=
1440
(x em evidência)
20 x
=
1440
 
20 x
=
1440
___
___
20 x
20
(dividindo por 20)
 
x
=
72

Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil. 1,25 · x = 1,25 · 72 = 90 1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108 Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal.

De onde apareceu o 1? A empresa tem 19 funcionários e não 20.

Na solução desta equação o número de funcionários aumentaram.

Refazendo os cálculos:

Dividindo-se a caixinha de R$ 1.440,00 por 19 funcionários teremos:

R$ 1.440,00 : 19 = R$ 75,78 (valor unitário da caixinha de natal)

R$ 75,78 x 1,50 = R$ 113,68 (diretora)

R$ 75,78 x 1,25 = R$ 94,73 (supervisora) x 2 = R$ 189,47

R$ 1.440,00 - (R$ 113,68 + R$ 189,47) = R$ 1.136,84

R$ 1.136,84 : 16 (costureiras) = R$ 70,86

E agora? Que valores das caixinhas de Natal devem ser consideradas?

Este outro exemplo de proporção se encontra no livro Matemática Comercial e Financeira, capítulo 3, Regra de Sociedade, dos autores Walter Spinelli e M. Helena Queiroz, Editora Ática, edição 1986.

Suponha, por exemplo, que três amigos ganhem Cr$ 9.000,00 na loteria, com o resultada da premiação de um jogo, cujo valor total era Cr$ 4,50

Sócios
Capital
A
1,00
B
1,50
C
2,00

B) Quanto cada sócio deverá receber? Naturalmente, este é um caso de divisão em partes diretamente proporcionais às quantias investidas. Assim temos:

A
B
C
__
___
___
1,00
1,50
2,00

A + B + C = 9.000,00 Resolvendo o sistema:

A+B+C
A
B
C
9.000,00
______
=
___
=
___
=
___
=
_______
1,00+1,50+2,00
1,00
1,50
2,00
4,50
9.000,00 x 1,00
 
A
=
______________
=
2.000,00
4,50
 
 
9.000,00 x 1,50
 
B
=
______________
=
3.000,00
4,50
 
9.000,00 x 2,00
 
C
=
______________
=
4.000,00
4,50
 

Portanto, A receberá Cr$ 2.000,00; B receberá Cr$ 3.000,00 e C receberá Cr$ 4.000,00".

Veja que os valores dos prêmios que os amigos receberam foram proporcionais com resultados exatos, isto é, valores arredondados.

Método 2 - porcertagem

Aplicando porcentagem para determinar o percentual que cada amigo terá como prêmio, tanto o valor percentual quanto o valor monetário, os resultados são números decimais, chegando a quase números inteiros.

Sócios
Capital
%
A
Cr$ 1,00
22,22
B
Cr$ 1,50
33,33
C
Cr$ 2,00
44,44
Total
Cr$4,50
100
Sócios
prêmio
valor a receber
A = 22,22 %
Cr$ 9.000,00
Cr$ 1.999,8
B= 33,33 %
Cr$ 9.000,00
Cr$ 2.999,7
C= 44,44 %
Cr$ 9.000,00
Cr$ 3.999,6

Metódo 3 - direto

Aplicando o método direto: dividindo o valor do prêmio pelo valor total da aposta teremos: C$ 9.000,00 : C$ 4,50 = R$ 2.000,00 (valor do prêmio para cada cruzeiro apostado)

Multiplicando cada valor apostado de cada amigo por Cr$ 2.000,00, tem-se o prêmio que cada um deverá receber.

Vejam que temos os valores todos arredondados:

C$ 2.000,00 x C$ 1,00 = C$ 2.000,00

C$ 2.000,00 x R$ 1,50 = C$ 3.000,00

C$ 2.000,00 x R$ 2,00 = C$ 4.000,00

maio de 2016


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