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Divisão proporcional, de onde apareceu o 1? - 008

Este exemplo de exercício de divisão proporcional, se encontra na aula 7 do Telecurso 2o grau, Álgebra das profissões o qual apresenta um fato curioso, no decorrer da finalização dos cálculos algébricos aparece uma unidade a mais, isto é, o número de pessoas que é uma quantidade fixa, aumenta em uma unidade."Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra."

EXEMPLO 2 Como fazer uma divisão proporcional? Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita. Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá:

x + 25 % de x  
  25
= x + ____ x
  100
 
= x + 0,25 · x
 
= (1 + 0,25) x
 
= 1,25 x

A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:

x + 50 % de x =  
 
  50
= x + ____ x
  100
 
= x + 0,5 · x
 
= (1 + 0,5) x
 
= 1,5 x

Veja, então, o resumo no quadro abaixo.

16 costureiras 16 · x
02 supervisoras 2 · 1,25 · x
01 diretora 1,5 · x

Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:

16 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 1440

Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação.

Observe:

16x + 2,5x + 1,5x = 1440
(16 + 2,5 +1,5) x = 1440 (x em evidência)
20 x = 1440
 
20 x = 1440
___ ___
20 x 20 (dividindo por 20)
 
x = 72

Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil. 1,25 · x = 1,25 · 72 = 90 1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108 Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal.

De onde apareceu o 1? A empresa tem 19 funcionários e não 20.

Na solução desta equação o número de funcionários aumentaram.

Refazendo os cálculos:

Dividindo-se a caixinha de R$ 1.440,00 por 19 funcionários teremos:

R$ 1.440,00 : 19 = R$ 75,78 (valor unitário da caixinha de natal)

R$ 75,78 x 1,50 = R$ 113,68 (diretora)

R$ 75,78 x 1,25 = R$ 94,73 (supervisora) x 2 = R$ 189,47

R$ 1.440,00 - (R$ 113,68 + R$ 189,47) = R$ 1.136,84

R$ 1.136,84 : 16 (costureiras) = R$ 70,86

E agora? Que valores das caixinhas de Natal devem ser consideradas?

Este outro exemplo de proporção se encontra no livro Matemática Comercial e Financeira, capítulo 3, Regra de Sociedade, dos autores Walter Spinelli e M. Helena Queiroz, Editora Ática, edição 1986.

Suponha, por exemplo, que três amigos ganhem Cr$ 9.000,00 na loteria, com o resultada da premiação de um jogo, cujo valor total era Cr$ 4,50

Sócios Capital
A 1,00
B 1,50
C 2,00

B) Quanto cada sócio deverá receber? Naturalmente, este é um caso de divisão em partes diretamente proporcionais às quantias investidas. Assim temos:

A B C
__ ___ ___
1,00 1,50 2,00

A + B + C = 9.000,00 Resolvendo o sistema:

A+B+C A B C 9.000,00
______ = ___ = ___ = ___ = _______
1,00+1,50+2,00 1,00 1,50 2,00 4,50
9.000,00 x 1,00  
A = ______________ = 2.000,00
4,50  
 
9.000,00 x 1,50  
B = ______________ = 3.000,00
4,50  
9.000,00 x 2,00  
C = ______________ = 4.000,00
4,50  

Portanto, A receberá Cr$ 2.000,00; B receberá Cr$ 3.000,00 e C receberá Cr$ 4.000,00".

Veja que os valores dos prêmios que os amigos receberam foram proporcionais com resultados exatos, isto é, valores arredondados.

Método 2 - porcertagem

Aplicando porcentagem para determinar o percentual que cada amigo terá como prêmio, tanto o valor percentual quanto o valor monetário, os resultados são números decimais, chegando a quase números inteiros.

Sócios Capital %
A Cr$ 1,00 22,22
B Cr$ 1,50 33,33
C Cr$ 2,00 44,44
Total Cr$4,50 100
Sócios prêmio valor a receber
A = 22,22 % Cr$ 9.000,00 Cr$ 1.999,8
B= 33,33 % Cr$ 9.000,00 Cr$ 2.999,7
C= 44,44 % Cr$ 9.000,00 Cr$ 3.999,6

Metódo 3 - direto

Aplicando o método direto: dividindo o valor do prêmio pelo valor total da aposta teremos: C$ 9.000,00 : C$ 4,50 = R$ 2.000,00 (valor do prêmio para cada cruzeiro apostado)

Multiplicando cada valor apostado de cada amigo por Cr$ 2.000,00, tem-se o prêmio que cada um deverá receber.

Vejam que temos os valores todos arredondados:

C$ 2.000,00 x C$ 1,00 = C$ 2.000,00

C$ 2.000,00 x R$ 1,50 = C$ 3.000,00

C$ 2.000,00 x R$ 2,00 = C$ 4.000,00

aula 7 do Telecurso 2o grau, Álgebra das profissões

Autor: Ricardo Silva - maio/2016

Fonte Bibliográfica:

Álgebra das profissões - Telecurso 20 grau

SPINELLI, Walter. QUEIROZ, M. Helena. Matemática Comercial e Financeira. Editora Ática, edição 1986.

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