Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números triangulares e suas posições - parte 1 - 015

Números triangulares, também denominados de números figurados, números geométricos, são números que podem ser formados através de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

Gerando números triangulares

Somando-se números naturais consecutivos a partir do número 1, obtem-se a sequência de números triangulares.

Exemplos:

a) 1 + 2 = 3

b) 1 + 2 + 3 = 6

c) 1 + 2 + 3 + 4 =10

d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Cada número triangular apresenta relação direta com a última parcela da soma de números naturais consecutivos.

Veja abaixo, Matérias Relacionadas, para mais informações.

Descobrindo a posição de um número triangular

Se quisermos, por exemplo, saber a posição / ordem que um número triangular ocupa: segunda, terceira, quarta posição, etc..., podemos usar os seguintes métodos:

a) é só observarmos o último número da parcela da soma de números naturais consecutivos a partir de 1.

b) na soma dos números consecutivos: (1 + 2 = 3), o número 2 é o último número das parcelas e corresponde ao segundo lugar.

O número 3 é o segundo número triangular.

c) na soma dos números consecutivos: (1 + 2 + 3 = 6), o número 3 é o último número das parcelas e corresponde ao terceiro lugar.

O número 6 é o terceiro número triangular.

d) na soma dos números consecutivos: (1 + 2 + 3 + 4= 10), o número 4 é o último número das parcelas e corresponde ao quarto lugar.

O número 10 é o quarto número triangular.

e) na soma dos números consecutivos:(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15), o número 5 é o último número das parcelas e corresponde ao quinto lugar.

O número 15 é o quinto número triangular.

Número triangular e sua posição

Uma outra forma, é através de uma tabela com duas colunas e somarmos os números a partir da diagonal da direita superior para a esquerda inferior.

a) Coloque na primeira linha das duas colunas o número 1;

b) Coloque na segunda linha da primeira coluna o número 2;

c) Coloque na segunda linha da segunda coluna o número 3 (a soma do número 1 da primeira linha da segunda coluna com o número 2 da primeira coluna;

d) e assim sucessivamente, a tabela ficará conforme o modelo abaixo, na primeira coluna a ordem / posição do número triangular e na segunda coluna, o próprio número triangular:

Tabela de números triangulares

A presente tabela demonstra os 100 primeiros números triangulares e suas respectivas ordens / posições.

Interessante observar que os números perfeitos 6, 28 e 496 têm suas ordens / posições de números primos.

e) a tabela apresenta outras regularidades numéricas interessantes, veja as posições dos números triangulares: 10, 45, 136, 325, 666, 1225 ....

1) 4 é a posição do triangular 10.

2) 9 é a posição do triangular 45.

3) 16 é a posição do triangular 136.

4) 25 é a posição do do triangular 325.

5) 36 é a posição do triangular 666.

As posições são todos números quadrados perfeitos: 4, 9, 16, 36,...

Há muito mais detalhes interessantes nas sequências numéricas que envolvem números quadrados e números triangulares.

Números triangulares que são números perfeitos

Reparem que a ordem / posição dos seguintes números triangulares e que também são números perfeitos, são números primos que são 1 unidade menor que uma potência de base 2:

Potência 4

4 é uma potência de base 2.

3 é 1 unidade menor que 4.

Potência 8

8 é uma potência de base 2.

7 é 1 unidade menor que 8.

Potência 32

32 é uma potência de base 2.

31 é 1 unidade menor que 32.

Estas relações foram descobertas, na antiga Grécia, pelo pitagóricos e que, posteriormente, foram bastante divulgadas nos trabalhos do padre e matemático francês Marin Mersenne (1588-1648) para descobrir números primos e consequentemente números perfeitos.

George Woltman, estadunidense formado em Ciências da Computação, em 1996, criou um Grupo de Estudo (GIMPS) que procura por números primos de Mersenne e que foi o responsável pela descoberta dos últimos dezesseis maiores números de Mersenne até o momento, o M51 foi encontrado em dezembro de 2018 e tem mais de 24 milhões de dígitos.

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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