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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números triangulares e suas posições - parte 1 - 015

Números triangulares são números que podem ser formados através de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

Somando-se números consecutivos a partir de 1, obtem-se também números triangulares (veja a matéria aqui no Site: 003-SOMA DE NÚMEROS CONSECUTIVOS).

Exemplos:

a) 1+2=3

b) 1+2+3=6

c) 1+2+3+4=10

d) 1+2+3+4+5=15

Descobrindo a posição de um número triangular

Se quisermos, por exemplo, saber a posição que um número triangular ocupa: segunda, terceira, quarta posição, etc., podemos usar o seguintes métodos:

a) é só observarmos o último número da parcela da soma de números consecutivos a partir de 1.

b) na soma dos números consecutivos: (1+2=3), o número 2 é o último número das parcelas e corresponde ao segundo lugar - O número 3 é o segundo número triangular.

c) na soma dos números consecutivos: (1+2+3=6), O número 3 é o último número das parcelas e corresponde ao terceiro lugar. O número 6 é o terceiro número triangular.

d) na soma dos números consecutivos: (1+2+3+4=10), O número 4 é o último número das parcelas e corresponde ao quarto lugar. O número 10 é o quarto número triangular.

e) na soma dos números consecutivos:(1+2+3+4+5=15), O número 5 é o último número das parcelas e corresponde ao quinto lugar. O número 15 é o quinto número triangular.

Número triangular e sua posição

Uma outra forma, é construirmos uma tabela com duas colunas e somarmos os números a partir da diagonal da direita superior para a esquerda inferior.

a) Coloque na primeira linha das duas colunas o número 1;

POSIÇÃO TRIANGULAR
1 1
0 0

b) Coloque na segunda linha da primeira coluna o número 2;

POSIÇÃO TRIANGULAR
1 1
2

c) Coloque na segunda linha da segunda coluna o número 3 (a soma do número 1 da primeira linha da segunda coluna com o número 2 da primeira coluna;

POSIÇÃO TRIANGULAR
1 1
2 3

Tabela de números triangulares

d) e assim sucessivamente, a tabela ficará assim, na primeira coluna a posição do número triangular e na segunda coluna o próprio número triangular:

Tabela de números triangulares
   
POSIÇÃO NÚMERO TRIANGULAR
   
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55
11 66
12 78
13 91
14 105
15 120
16 136
17 153
18 171
19 190
20 210
21 231
22 253
23 276
24 300
25 325
26 351
27 378
28 406
29 435
30 465
31 496
32 528
33 561
34 595
35 630
36 666
37 703
38 741
39 780
40 820
41 861
42 903
43 946
44 990
45 1035
46 1081
47 1128
48 1176
49 1225
50 1275
51 1326
52 1378
53 1431
54 1485
55 1540
56 1596
57 1653
58 1711
59 1770
60 1830
61 1891
62 1953
63 2016
64 2080
65 2145
66 2211
67 2278
68 2346
69 2415
70 2485
71 2556
72 2628
73 2701
74 2775
75 2850
76 2926
77 3003
78 3081
79 3160
80 3240
81 3321
82 3403
83 3486
84 3570
85 3655
86 3741
87 3828
88 3916
89 4005
90 4095
91 4186
92 4278
93 4371
94 4465
95 4560
96 4656
97 4753
98 4851
99 4950
100 5050

e) a tabela apresenta outras regularidades numéricas interessantes, veja as posições dos números triangulares: 10, 45, 136, 325, 666, 1225 ....

1) 4 é a posição do triangular 10.

2) 9 é a posição do triangular 45.

3) 16 é a posição do triangular 136.

4) 25 é a posição do do triangular 325.

5) 36 é a posição do triangular 666.

As posições são todos números quadrados perfeitos: 4, 9, 16, 36,...

Há muito mais detalhes nas sequências numéricas que envolvem números quadrados e números triangulares.

Números triangulares que são números perfeitos

Reparem que a posição dos seguintes números triangulares (que também são números perfeitos) são números primos:

POSIÇÃO / NÚMERO PRIMO NÚMERO TRIANGULAR
3 6
7 28
31 496
127 8128

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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