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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números quadrados - a soma do primeiro intervalo de múltiplos ímpares - 034

O estudo apresenta regularidades numéricas na soma dos números dos intervalos de números múltiplos ímpares.

Dispondo sequências de números naturais ímpares, marcando múltiplos de determinado número ímpar e posteriormente somando os números dos intervalos, os resultados apresentam números quadrados perfeitos e múltiplos pares desses números ímpares.

A soma dos números do primeiro intervalo de um número múltiplo ímpar tem como resultado a sequência dos números quadrados perfeitos a partir de 1:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 3

a) O primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 3 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
3  
   
1  
3  
5 12
7
9  
11 24
13
15  
17 36
19
21  
23 48
25
27  
29 60
31
33  
35 72
37
39  
41 84
43
45  
47 96
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1 - é um número quadrado e está no primeiro intervalo

b) A soma dos números entre os intervalos dos múltiplos ÍMPARES de 3 são múltiplos de 3.

Exemplos:

5+7=12

(12:3=4)

11+13=24

(24:3=8)

17+19=36

(36:3=12)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1- o quadrado 1 está em uma "casa", enquanto as parcelas que originam os múltiplos de 3, estão em duas "casas";

2- a raiz quadrada de 1 é 1;

3- 2 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 3 (múltiplos pares);

4- Somando-se 12 unidades a partir do primeiro múltiplo de 3 originado entre os intervalos, o número 12, obtêm-se os demais múltiplos: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 5

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
5  
   
1 4
3
5 40
7
9
11
13
15  
17 80
19
21
23
25  
27 120
29
31
33
35  
37 160
39
41
43
45  
47  
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1+3=4 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 são múltiplos de 5.

Exemplos:

7+9+11+13=40

(40:5=8)

17+19+21+23=80

(80:5=16)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 4 é obtido somando-se dois números ímpares consecutivos que estão em 2 "casas";

2 - a raiz quadrada de 4 é 2

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 5, estão em 4 "casas";

4 - 4 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 5 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 40 unidades a partir do primeiro múltiplo de 5 originado entre os intervalos, o número 40, obtêm-se os demais múltiplos: 80, 120, 160, 60, 200, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 7

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
7  
   
1 9
3
5
7  
9 84
11
13
15
17
19
21  
23 168
25
27
29
31
33
35  
37 252
39
41
43
45
47
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1+3+5=9 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 são múltiplos de 7.

Exemplos:

9+11+13+15+17+19=84

(84:7=12)

23+25+27+29+31+33=168

(168:7=24)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 9 é obtido somando-se três números ímpares consecutivos que estão em 3 "casas";

2 - a raiz quadrada de 9 é 3;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 7, estão em 6 "casas";

4 - 6 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 7 (múltiplos pares);

5 - Somando-se 84 unidades a partir do primeiro múltiplo de 5 originado entre os intervalos, o número 84, obtêm-se os demais múltiplos: 168, 252, 336, 420, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 9

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
9  
   
1 16
3
5
7
9  
11 144
13
15
17
19
21
23
25
27  
29 288
31
33
35
37
39
41
43
45  
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1+3+5+7=16 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 são múltiplos de 9.

Exemplos:

11+13+15+17+19+21+23+25=144

(144:9=16)

29+31+33+35+37+39+41+43=288

(288:9=32)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 16 é obtido somando-se quatro números ímpares consecutivos que estão em 4 "casas";

2 - a raiz quadrada de de 16 é 4;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 9, estão em 8 "casas";

4 - 8 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 9 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 144 unidades a partir do primeiro múltiplo de 9 originado entre os intervalos, o número 144, obtêm-se os demais múltiplos: 288, 432, 576, 720, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 11

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
11  
   
1 25
3
5
7
9
11  
13 220
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33  
35  
37  
39  
41  
43  
45  
47  
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1+3+5+7+9=25 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 são múltiplos de 11.

Exemplos:

13+15+17+19+21+23+25+27+29+31=220

(220:11=20)

35+37+39+41+43+45+47+49+1+53=440

(440:11=40)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 25 é obtido somando-se cinco números ímpares consecutivos que estão em 5 "casas";

2 - a raiz quadrada de 25 é 5;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 11, estão em 10 "casas";

4 - 10 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 11 (múltiplos pares);

5 - Somando-se 220 unidades a partir do primeiro múltiplo de 11 originado entre os intervalos, o número 220, obtêm-se os demais múltiplos: 440, 660, 880, 1100, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 13

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
13  
   
1 36
3
5
7
9
11
13  
15 312
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39  
41  
43  
45  
47  
49  
   
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1+3+5+7+9+11=36 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 são múltiplos de 13.

Exemplos:

15+17+19+21+23+25+27+...

...+29+31+33+35+37=312

(312:13=24)

41+43+45+47+49+51+53+...

...+55+57+59+61+63=624

(624:13=48)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 36 é obtido somando-se seis números ímpares consecutivos que estão em 6 "casas";

2 - a raiz quadrada de 36 é 6;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 13, estão em 12 "casas";

4 - 12 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 13 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 312 unidades a partir do primeiro múltiplo de 11 originado entre os intervalos, o número 312, obtêm-se os demais múltiplos: 624, 936, 1248, 1560, etc.

Intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 15

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 é um número quadrado.

Múltiplos Soma
ímpares de dos intervalos
15  
   
1 49
3
5
7
9
11
13
15  
17 420
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45  
47  
49  
   
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1+3+5+7+9+11+13=49 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 são múltiplos de 15.

Exemplos:

17+19+21+23+25+27+29+31+...

...+33+35+37+39+41+43=420

(420:15=28)

47+49+51+53+55+57+59+61+...

...+63+65+67+69+71+73=840

(840:15=56)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1- o quadrado 49 é obtido somando-se sete números ímpares consecutivos que estão em 7 "casas";

2 - a raiz quadrada de 49 é 7;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 15, estão em 14 "casas";

4 - 14 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 15 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 420 unidades a partir do primeiro múltiplo de 15 originado entre os intervalos, o número 420, obtêm-se os demais múltiplos: 420, 840, 1260, 1680, etc.

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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