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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números quadrados - a soma do primeiro intervalo de múltiplos ímpares - 034

A soma dos números do primeiro intervalo de números múltiplos ímpares de um número ímpar tem como resultado a sequência dos números quadrados perfeitos a partir de 1:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 3

a) O primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 3 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
1   12   24   36   48   60   72   84  

1 - é um número quadrado e está no primeiro intervalo

b) A soma dos números entre os intervalos dos múltiplos ÍMPARES de 3 são múltiplos de 3.

Exemplos:

5+7=12

(12:3=4)

11+13=24

(24:3=8)

17+19=36

(36:3=12)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1- o quadrado 1 está em uma "casa", enquanto as parcelas que originam os múltiplos de 3, estão em duas "casas";

2- a raiz quadrada de 1 é 1;

3- 2 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 3 (múltiplos pares);

4- Somando-se 12 unidades a partir do primeiro múltiplo de 3 originado entre os intervalos, o número 12, obtêm-se os demais múltiplos: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 5

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
4   40   80   120   160  

1+3=4 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 5 são múltiplos de 5.

Exemplos:

7+9+11+13=40

(40:5=8)

17+19+21+23=80

(80:5=16)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 4 é obtido somando-se dois números ímpares consecutivos que estão em 2 "casas";

2 - a raiz quadrada de 4 é 2

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 5, estão em 4 "casas";

4 - 4 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 5 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 40 unidades a partir do primeiro múltiplo de 5 originado entre os intervalos, o número 40, obtêm-se os demais múltiplos: 80, 120, 160, 60, 200, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 7

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
9   84   168  
35
37
39
41
43
45
47
49
  252  

1+3+5=9 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 7 são múltiplos de 7.

Exemplos:

9+11+13+15+17+19=84

(84:7=12)

23+25+27+29+31+33=168

(168:7=24)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 9 é obtido somando-se três números ímpares consecutivos que estão em 3 "casas";

2 - a raiz quadrada de 9 é 3;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 7, estão em 6 "casas";

4 - 6 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 7 (múltiplos pares);

5 - Somando-se 84 unidades a partir do primeiro múltiplo de 5 originado entre os intervalos, o número 84, obtêm-se os demais múltiplos: 168, 252, 336, 420, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 9

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
16   144   288  

1+3+5+7=16 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 9 são múltiplos de 9.

Exemplos:

11+13+15+17+19+21+23+25=144

(144:9=16)

29+31+33+35+37+39+41+43=288

(288:9=32)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 16 é obtido somando-se quatro números ímpares consecutivos que estão em 4 "casas";

2 - a raiz quadrada de de 16 é 4;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 9, estão em 8 "casas";

4 - 8 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 9 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 144 unidades a partir do primeiro múltiplo de 9 originado entre os intervalos, o número 144, obtêm-se os demais múltiplos: 288, 432, 576, 720, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 11

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
25   220  
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
  440  

1+3+5+7+9=25 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 11 são múltiplos de 11.

Exemplos:

13+15+17+19+21+23+25+27+29+31=220

(220:11=20)

35+37+39+41+43+45+47+49+1+53=440

(440:11=40)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 25 é obtido somando-se cinco números ímpares consecutivos que estão em 5 "casas";

2 - a raiz quadrada de 25 é 5;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 11, estão em 10 "casas";

4 - 10 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 11 (múltiplos pares);

5 - Somando-se 220 unidades a partir do primeiro múltiplo de 11 originado entre os intervalos, o número 220, obtêm-se os demais múltiplos: 440, 660, 880, 1100, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 13

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
36   312  

1+3+5+7+9+11=36 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 13 são múltiplos de 13.

Exemplos:

15+17+19+21+23+25+27+...

...+29+31+33+35+37=312

(312:13=24)

41+43+45+47+49+51+53+...

...+55+57+59+61+63=624

(624:13=48)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1 - o quadrado 36 é obtido somando-se seis números ímpares consecutivos que estão em 6 "casas";

2 - a raiz quadrada de 36 é 6;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 13, estão em 12 "casas";

4 - 12 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 13 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 312 unidades a partir do primeiro múltiplo de 11 originado entre os intervalos, o número 312, obtêm-se os demais múltiplos: 624, 936, 1248, 1560, etc.

Os intervalos entre os números múltiplos ímpares do número 15

a) A soma do primeiro intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 é um número quadrado.

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
49   420  

1+3+5+7+9+11+13=49 - é um número quadrado.

b) A soma dos números a partir do segundo intervalo entre os múltiplos ÍMPARES de 15 são múltiplos de 15.

Exemplos:

17+19+21+23+25+27+29+31+...

...+33+35+37+39+41+43=420

(420:15=28)

47+49+51+53+55+57+59+61+...

...+63+65+67+69+71+73=840

(840:15=56)

c) Acontecem algumas regularidades que destacamos a seguir:

1- o quadrado 49 é obtido somando-se sete números ímpares consecutivos que estão em 7 "casas";

2 - a raiz quadrada de 49 é 7;

3 - as parcelas que originam os múltiplos de 15, estão em 14 "casas";

4 - 14 números ímpares entre os intervalos são somados para se obter outro múltiplo de 15 (múltiplos pares).

5 - Somando-se 420 unidades a partir do primeiro múltiplo de 15 originado entre os intervalos, o número 420, obtêm-se os demais múltiplos: 420, 840, 1260, 1680, etc.

Autor: Ricardo José

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