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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números quadrados perfeitos: suas raízes, seus intervalos e suas diferenças - parte 1- 040

Números quadrados perfeitos são obtidos multiplicando-se um número inteiro por ele mesmo e consequentemente a sua raiz quadradra também é um número inteiro.

Quanto mais observamos os números quadrados perfeitos, mais informações conseguimos extrair de sua sequência que nos mostram detalhes que se interligam com suas raízes quadradas, intervalos e diferenças entre dois números quadrados.

Os intervalos entre números quadrados perfeitos apresentam sequência de números pares e a diferença entre quadrados apresentam números ímpares.

Coluna Quadrado

Apresenta a sequência de números naturais a partir de 1, na qual foram destacados na cor amarelo números que são quadrados perfeitos. Entre dois quadrados, há números que não são quadrados perfeitos.

Exemplo a)

O número 2 não é um quadrado perfeito

Exemplo b)

O número 3 não é um quadrado perfeito

Exemplo c)

O número 5 não é um quadrado perfeito.

A partir do número 1 podemos obter um quadrado perfeito, multiplicando um número por ele mesmo, mas nem todo o número é um quadrado perfeito.

Coluna Número/Raiz

Apresenta a sequência de números a partir de 1 em ordem crescente. aqui podemos observar que a própria sequência é tambem a raiz dos números da coluna QUADRADO.

Coluna Intervalo

Aqui já podemos ver outra sequência proveniente dos intervalos entre dois números quadrados pefeitos: a sequência de números pares (2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...).

Exemplo a)

Entre os quadrados 1 e 4, há 2 intervalos com os números 2 e 3 em cada intervalo. Os números 2 e 3 não são números quadrados perfeitos.

Exemplo b)

Entre os quadrados 4 e 9, há 4 intervalos com os números 5, 6, 7, e 8 em cada intervalo. Os números 5, 6. 7 e 8 não são números quadrados perfeitos.

Exemplo c)

Entre os quadrados 9 e 16, há 6 intervalos com os números 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Os números 10, 11, 12, 13, 14 e 15 não são quadrados perfeitos.

Coluna Quantidade

Aqui de uma forma sintética, apresenta a quantidade de números entre os intervalos dos números quadrados perfeitos.

Coluna Diferença

Apresenta a diferença ente dois números quadrados perfeitos.

A diferença entre dois quadros é um número ímpar.

Exemplo a)

O quadrado 1 subtraído do quadrado 4

4-1=3

Exemplo b)

Quadrado 4 subtraído do quadrado 9

9-4=5

Exemplo c)

O quadrado 9 subtraído do quadrado 16

16-9=7

OBSERVAÇÃO: Enquanto os intervalos entre os quadrados são número pares, as diferenças são números ímpares.

A partir desta constatação foram somados um número referente ao intervalo e um número referente a diferença entre dois números quadrados.

Coluna Soma

Apresenta a soma da quantidade de números entre os intervalos com a diferença entre dois números quadrados perfeitos.

A partir de 5 somando-se 4 unidades, obtem-se a seguinte sequência: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, ..., entre eles ocorrências de números primos: 5, 13, 17, 29, 41, 53, ...

Exemplo a)

A soma da quantidade 2 mais a diferença 3 é igual a 5.

2+3=5

Observação: 5 é um número primo.

Número Quadrado Interval. Quant. Dif. Soma
Raiz  
1 1
2 1
3 2 2 3 5
2 4 0

Exemplo b)

A soma da quantidade 4 mais a diferença 5 é igual a 9.

4+5=9

Observação: 9 é um número quadrado perfeito.

Número Quadrado Interv. Quant. Dif. Soma
Raiz  
1 1
2 1
3 2 2 3 5
2 4 0
5 1 0
6 2 0
7 3 0
8 4 4 5 9
3 9 0
Número Quadrado Interv. Quant. Dif. Soma
Raiz  
1 1
2 1
3 2 2 3 5
2 4 0
5 1 0
6 2 0
7 3 0
8 4 4 5 9
3 9 0
10 1 0
11 2 0
12 3 0
13 4 0
14 5 0
15 6 6 7 13
4 16 0
17 1 0
18 2 0
19 3 0
20 4 0
21 5 0
22 6 0
23 7 0
24 8 8 9 17
5 25 0
26 1 0
27 2 0
28 3 0
29 4 0
30 5 0
31 6 0
32 7 0
33 8 0
34 9 0
35 10 10 11 21
6 36 0
37 1 0
38 2 0
39 3 0
40 4 0
41 5 0
42 6 0
43 7 0
44 8 0
45 9 0
46 10 0
47 11 0
48 12 12 13 25
7 49 0
50 1 0
51 2 0
52 3 0
53 4 0
54 5 0
55 6 0
56 7 0
57 8 0
58 9 0
59 10 0
60 11 0
61 12 0
62 13 0
63 14 14 15 29
8 64 0
65 1 0
66 2 0
67 3 0
68 4 0
69 5 0
70 6 0
71 7 0
72 8 0
73 9 0
74 10 0
75 11 0
76 12 0
77 13 0
78 14 0
79 15 0
80 16 16 17 33
9 81 0
82 1 0
83 2 0
84 3 0
85 4 0
86 5 0
87 6 0
88 7 0
89 8 0
90 9 0
91 10 0
92 11 0
93 12 0
94 13 0
95 14 0
96 15 0
97 16 0
98 17 0
99 18 18 19 37
10 100 0
Número Quadrado Inter. Quant. Dif. Soma
Raiz    
10 100 0
101 1 0
102 2 0
103 3 0
104 4 0
105 5 0
106 6 0
107 7 0
108 8 0
109 9 0
110 10 0
111 11 0
112 12 0
113 13 0
114 14 0
115 15 0
116 16 0
117 17 0
118 18 0
119 19 0
120 20 20 21 41
11 121 0
122 1 0
123 2 0
124 3 0
125 4 0
126 5 0
127 6 0
128 7 0
129 8 0
130 9 0
131 10 0
132 11 0
133 12 0
134 13 0
135 14 0
136 15 0
137 16 0
138 17 0
139 18 0
140 19 0
141 20 0
142 21 0
143 22 22 23 45
12 144 0
145 1 0
146 2 0
147 3 0
148 4 0
149 5 0
150 6 0
151 7 0
152 8 0
153 9 0
154 10 0
155 11 0
156 12 0
157 13 0
158 14 0
159 15 0
160 16 0
161 17 0
162 18 0
163 19 0
164 20 0
165 21 0
166 22 0
167 23 0
168 24 24 25 49
13 169 0
170 1 0
171 2 0
172 3 0
173 4 0
174 5 0
175 6 0
176 7 0
177 8 0
178 9 0
179 10 0
180 11 0
181 12 0
182 13 0
183 14 0
184 15 0
185 16 0
186 17 0
187 18 0
188 19 0
189 20 0
190 21 0
191 22 0
192 23 0
193 24 0
194 25 0
195 26 26 27 53
14 196 0

 

Número Quadrado Inter. Quant. Dif. Soma
Raiz    
14 196 0
197 1 0
198 2 0
199 3 0
200 4 0
201 5 0
202 6 0
203 7 0
204 8 0
205 9 0
206 10 0
207 11 0
208 12 0
209 13 0
210 14 0
211 15 0
212 16 0
213 17 0
214 18 0
215 19 0
216 20 0
217 21 0
218 22 0
219 23 0
220 24 0
221 25 0
222 26 0
223 27 0
224 28 28 29 57
15 225 0
226 1 0
227 2 0
228 3 0
229 4 0
230 5 0
231 6 0
232 7 0
233 8 0
234 9 0
235 10 0
236 11 0
237 12 0
238 13 0
239 14 0
240 15 0
241 16 0
242 17 0
243 18 0
244 19 0
245 20 0
246 21 0
247 22 0
248 23 0
249 24 0
250 25 0
251 26 0
252 27 0
253 28 0
254 29 0
255 30 30 31 61
16 256 0

Autor: Ricardo José

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Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

 

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