São apresentados neste estudo coletâneas de dicas para serem utilizadas em cálculos matemáticos mentais, dicas estas que são partes de matérias publicadas aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos.
Acredito que uma forma de ter habilidade com cálculos mentais é saber a tabuada dos números de 1 a 9, porque sabendo-se os múltiplos de um número automaticamente sabe-se também os seus divisores.
Conhecer sequências numéricas, suas peculiaridades e propriedades auxiliam distinguir uma das outras mas que estão interligadas e que ampliam nossos conhecimentos sobre os números.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...
Somando-se sempre uma unidade a partir de 1, obtemos a sequência dos números naturais.
Cada número natural corresponde à sua própria posição / ordem:
O número 1 se encontra na primeira posição;
O número 2 se encontra na segunda posição;
O número 3 se encontra na terceira posição, e assim sucessivamente para os demais números.
a) Qual é a soma dos número naturais de 1 a 10 ?
1) 10 é par
2) divida 10 : 2 = 5
3) some 10 + 1 = 11
4) multiplique 5 x 11 = 55
5) a soma dos números de 1 a 10 é 55
Observação: a soma de sequências de números naturais tem como resultado um número triangular.
b) Qual é a soma dos número naturais de 1 a 5 ?
1) 5 é ímpar
2) some 5 + 1 = 6
3) divida 6 : 2 = 3
4) multiplique 3 x 5 = 15
5) a soma dos números de 1 a 5 é 15
Observação: a soma de sequências de números naturais tem como resultado um número triangular.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...
Os números pares são numeros que quando divididos por 2, deixam resto 0.
Querendo se saber qual é a posição de determinado número par, basta dividí-lo por 2.
Exemplos:
a) 2 : 2 = 1
O número 2 se encontra na primeira posição.
b) 4 : 2 = 2
O número 4 se encontra na segunda posição.
c) 6 : 2 = 3
O número 6 se encontra na terceira posição e assim sucessivamente para os demais números pares.
Observação: A posição de um número par corresponde a sua metade.
d) Qual é a soma dos número pares: 2, 4, 6, 8, 10 ?
d1) 10 é o último número da sequência
d2) divida 10 : 2 = 5
d3) multiplique 5 pelo seu número consecutivo
5 x 6 = 30
d4) 30 é a soma dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10
e) Qual é a soma dos número pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ?
e1) 18 é o último número da sequência
e2) divida 18 : 2 = 9
e3) multiplique 9 pelo seu número consecutivo
9 x 10 = 90
e4) 90 é a soma dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1, 16, 18.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,...
Os números ímpares são números que divididos por 2, deixam resto 1.
Querendo se saber qual é a posição de determinado número ímpar, basta acrescentar 1 e dividí-lo por 2.
Exemplos:
a) 1 + 1 = 2
2 : 2 = 1
O número 1 se encontra na primeira posição.
b) 3 + 1 = 4
4 : 2 = 2
O número 3 se encontra na segunda posição.
c) 5 + 1 = 6
6 : 2 = 3
O número 6 se encontra na terceira posição e assim sucessivamente para os demais números ímpares.
Observação: A posição de um número ímpar é a metade do seu sucessor.
d) Qual a soma dos números ímpares 1 a 3 ?
d1) some 1 ao último número - 3 + 1 = 4
d2) divida 4 : 2 = 2
d3) eleve 22 = 4
d4) a soma dos números ímpares de 1 a 3 é 4.
e) Qual a soma dos números ímpares 1 a 5 ?
e1) some 1 ao último número - 5 + 1 = 6
e2) divida 6 : 2 = 3
e3) eleve 32 = 9
e4) a soma dos números ímpares de 1 a 5 é 9.
f) Qual a soma dos números ímpares 1 a 7 ?
f1) some 1 ao último número - 7 + 1 = 8
f2) divida 8 : 2 = 4
f3) eleve 42 = 16
f4) a soma dos números ímpares de 1 a 7 é 16.
Observação: A soma de números ímpares consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos.
Números primos são os números que têm somente dois divisores,
o número 1 ele próprio.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...
D(2): 1 e 2
D(3): 1 e 3
D(5): 1 e 5
D(7): 1 e 7
Até o presente momento, não se tem uma fórmula geral para se obter a sequência de números primos.
É um problema matemático em aberto.
Observações:
O número 0 têm infinitos divisores;
O número 1 só tem um divisor, ele mesmo;
O número 2 é o único número primo que é par;
O número 5 é o único número ímpar terminado em 5.
O produto de números ímpares é que formam os números compostos.
Exemplos:
2 x 3 = 6
3 x 5= 15
5 x 7 = 35
7 x 11 = 77
Números compostos são os números que têm mais de dois divisores.
Exemplos:
D(4): {1, 2, 4}
D(6): {1, 2, 3, 6}
D(8): {1, 2, 4, 8}
Números figurados são números que podem formar figuras geométricas por meio de arranjos de pontos.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...
Obtêm-se números quadrados perfeitos multiplicando um número por ele mesmo ou elevando-se ao expoente 2.
Exemplos:
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
ou
12 = 1
22 = 4
32 = 9
Para se saber qual é a posição de determinado número quadrado, basta extrair a sua raiz quadrada.
Exemplos:
√1=1
A raiz quadrada de 1 é 1.
O primeiro número quadrado é 1
√4=2
A raiz quadrada de 4 é 2.
O segundo número quadrado é 2
√9=3
A raiz quadrada de 9 é 3.
O terceiro número quadrado é 3 e assim sucessivamente para os demais números quadrados.
Para se saber a diferença entre dois números quadrados perfeitos
A soma de números ímpares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.
1 (por convenção o número 1 é número quadrado perfeito)
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 9 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 11 = 25
Exemplos:
a) A diferença entre os quadrados 1 e 4 é 3, basta somar as raízes quadradas de 1 e 4.
1 + 2 = 3
| Número Quadrado Perfeito | 1 | 4 | |
| soma das raízes quadrada | 1 | 2 | |
| diferença de quadrados | 3 |
b) A diferença entre os quadrados 4 e 9 é 5, basta somar as raízes quadradas de 4 e 9.
2 + 3 = 5
| Número Quadrado Perfeito | 4 | 9 | |
| soma das raízes quadrada | 2 | 3 | |
| diferença de quadrados | 5 |
c) A diferença entre os quadrados 9 e 16 é 7, basta somar as raízes quadradas de 4 e 9.
3 + 4 = 7
| Número Quadrado Perfeito | 9 | 16 | |
| soma das raízes quadrada | 3 | 4 | |
| diferença de quadrados | 7 |
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Obtêm-se números triangulares através da soma de números naturais consecutivos.
Exemplos:
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Querendo se saber qual é a posição de determinado número triangular, basta verificar a última parcela da soma consecutiva de números naturais.
Exemplos:
1
O 1 é primeiro número triangular
1 + 2 = 3
3 é o segundo número triangular
1 + 2 + 3 = 6
6 é o terceiro número triangular
1 + 2 + 3 + 4 = 10
10 é o quarto número triangular e assim sucessivamente.
O produto de 2 números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
Exemplos:
(1 x 2) : 2 = 1
(2 x 3) : 2 = 3
(3 x 4) : 2 = 6
(4 x 5) : 2 = 10
(5 x 6) : 2 = 15
O primeiro fator de cada multiplicação é a ordem / posiçao de um número triangular.
Exemplos:
(1 x 2) : 2 = 1
primeiro fator é 1
1 é o primeiro número triangular
(2 x 3) : 2 = 3
primeiro fator é 2
3 é o segundo número triangular
(3 x 4) : 2 = 6
primeiro fator é 3
6 é o terceiro número triangular
(4 x 5) : 2 = 10
primeiro fator é 4
10 é o quarto número triangular
(5 x 6) : 2 = 15
primeiro fator é 5
15 é o quinto número triangular
Autor: Ricardo Silva - novembro/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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