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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Cálculos matemáticos mentais - 156

São apresentados neste estudo coletâneas de dicas para serem utilizadas em cálculos matemáticos mentais, dicas estas que são partes de matérias publicadas aqui no site.

Acredito que uma forma de ter habilidade com cálculos mentais é saber a tabuada dos números de 1 a 9, porque sabendo-se os múltiplos de um número automaticamente sabe-se também os seus divisores.

Conhecer sequências numéricas, suas peculiaridades e propriedades auxiliam distinguir uma das outras mas que estão interligadas e que ampliam nossos conhecimentos sobre os números.

Números naturais

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

Somando-se sempre uma unidade a partir de 1, obtemos a sequência dos números naturais.

Cada número natural corresponde à sua própria posição:

O número 1 se encontra na primeira posição;

O número 2 se encontra na segunda posição;

O número 3 se encontra na terceira posição, e assim sucessivamente para os demais números.

a) Qual é a soma dos número naturais de 1 a 10 ?

1) 10 é par

2) divida 10 : 2 = 5

3) some 10 + 1 = 11

4) multiplique 5 x 11 = 55

5) a soma dos números de 1 a 10 é 55

Observação: a soma de sequências de números naturais tem como resultado um número triangular.

b) Qual é a soma dos número naturais de 1 a 5 ?

1) 5 é ímpar

2) some 5 + 1 = 6

3) divida 6 : 2 = 3

4) multiplique 3 x 5 = 15

5) a soma dos números de 1 a 5 é 15

Observação: a soma de sequências de números naturais tem como resultado um número triangular.

Números pares

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...

Os números pares são numeros que quando divididos por 2, deixam resto 0.

Querendo se saber qual é a posição de determinado número par, basta dividí-lo por 2.

Exemplos:

a) 2 : 2 = 1

O número 2 se encontra na primeira posição.

b) 4 : 2 = 2

O número 4 se encontra na segunda posição.

c) 6 : 2 = 3

O número 6 se encontra na terceira posição e assim sucessivamente para os demais números pares.

Observação: A posição de um número par corresponde a sua metade.

d) Qual é a soma dos número pares: 2, 4, 6, 8, 10 ?

d1) 10 é o último número da sequência

d2) divida 10 : 2 = 5

d3) multiplique 5 pelo seu número consecutivo

5 x 6 = 30

d4) 30 é a soma dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10

e) Qual é a soma dos número pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ?

e1) 18 é o último número da sequência

e2) divida 18 : 2 = 9

e3) multiplique 9 pelo seu número consecutivo

9 x 10 = 90

e4) 90 é a soma dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1, 16, 18.

Números ímpares

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,...

Os números ímpares são números que divididos por 2, deixam resto 1.

Querendo se saber qual é a posição de determinado número ímpar, basta acrescentar 1 e dividí-lo por 2.

Exemplos:

a) 1 + 1 = 2

2 : 2 = 1

O número 1 se encontra na primeira posição.

b) 3 + 1 = 4

4 : 2 = 2

O número 3 se encontra na segunda posição.

c) 5 + 1 = 6

6 : 2 = 3

O número 6 se encontra na terceira posição e assim sucessivamente para os demais números ímpares.

Observação: A posição de um número ímpar é a metade do seu sucessor.

d) Qual a soma dos números ímpares 1 a 3 ?

d1) some 1 ao último número - 3 + 1 = 4

d2) divida 4 : 2 = 2

d3) eleve 22 = 4

d4) a soma dos números ímpares de 1 a 3 é 4.

e) Qual a soma dos números ímpares 1 a 5 ?

e1) some 1 ao último número - 5 + 1 = 6

e2) divida 6 : 2 = 3

e3) eleve 32 = 9

e4) a soma dos números ímpares de 1 a 5 é 9.

f) Qual a soma dos números ímpares 1 a 7 ?

f1) some 1 ao último número - 7 + 1 = 8

f2) divida 8 : 2 = 4

f3) eleve 42 = 16

f4) a soma dos números ímpares de 1 a 7 é 16.

Observação: A soma de números ímpares consecutivos têm como resultados números quadrados perfeitos.

Números primos

Números primos são os números que têm somente dois divisores,

o número 1 ele próprio.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...

D(2): 1 e 2

D(3): 1 e 3

D(5): 1 e 5

D(7): 1 e 7

Até os dias atuais, não se sabe uma fórmula geral para se obter a sequência de números primos.

É um problema matemático em aberto.

Observações:

O número 0 têm infinitos divisores;

O número 1 só tem um divisor, ele mesmo;

O número 2 é o único número primo que é par;

O número 5 é o único número ímpar terminado em 5.

O produto de números ímpares é que formam os números compostos.

Exemplos:

2 x 3 = 6

3 x 5= 15

5 x 7 = 35

7 x 11 = 77

Numeros compostos

Números compostos são os números que têm mais de dois divisores.

Exemplos:

D(4): 1, 2, 4.

D(6): 1, 2, 3, 6.

D(8): 1, 2, 4, 8.

Números quadrados perfeitos - Números figurados

Números figurados são números que podem formar figuras geométricas por meio de arranjos de pontos.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...

Obtêm-se números quadrados perfeitos multiplicando um número por ele mesmo ou elevando-se ao expoente 2.

Exemplos:

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

ou

12 = 1

22 = 4

32 = 9

Para se saber qual é a posição de determinado número quadrado, basta extrair a sua raiz quadrada.

Exemplos:

√1=1

A raiz quadrada de 1 é 1.

O primeiro número quadrado é 1

√4=2

A raiz quadrada de 4 é 2.

O segundo número quadrado é 2

√9=3

A raiz quadrada de 9 é 3.

O terceiro número quadrado é 3 e assim sucessivamente para os demais números quadrados.

Para se saber a diferença entre dois números quadrados perfeitos

A soma de números ímpares consecutivos tem como resultado um número quadrado perfeito.

1 (por convenção o número 1 é número quadrado perfeito)

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 9 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 11 = 25

Exemplos:

a) A diferença entre os quadrados 1 e 4 é 3, basta somar as raízes quadradas de 1 e 4.

1 + 2 = 3

Número Quadrado Perfeito 1   4
raiz quadrada 1   2
diferença   3  

b) A diferença entre os quadrados 4 e 9 é 5, basta somar as raízes quadradas de 4 e 9.

2 + 3 = 5

Número Quadrado Perfeito 4   9
raiz quadrada 2   3
diferença   5  

c) A diferença entre os quadrados 9 e 16 é 7, basta somar as raízes quadradas de 4 e 9.

3 + 4 = 7

Número Quadrado Perfeito 9   16
raiz quadrada 3   4
diferença   7  

Números triangulares - números figurados

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Obtêm-se números triangulares através da soma consecutiva de números naturais.

Exemplos:

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Querendo se saber qual é a posição de determinado número triangular, basta verificar a última parcela da soma consecutiva de números naturais.

Exemplos:

1

O 1 é primeiro número triangular

1 + 2 = 3

3 é o segundo número triangular

1 + 2 + 3 = 6

6 é o terceiro número triangular

1 + 2 + 3 + 4 = 10

10 é o quarto número triangular e assim sucessivamente.

A média aritmética do produto de dois números consecutivos tem como resultado um número triangular

Exemplos:

(1 x 2) : 2 = 1

(2 x 3) : 2 = 3

(3 x 4) : 2 = 6

(4 x 5) : 2 = 10

(5 x 6) : 2 = 15

O primeiro fator de cada multiplicação é a posiçao de um número triangular.

Exemplos:

(1 x 2) : 2 = 1

primeiro fator é 1

1 é o primeiro número triangular

(2 x 3) : 2 = 3

primeiro fator é 2

3 é o segundo número triangular

(3 x 4) : 2 = 6

primeiro fator é 3

6 é o terceiro número triangular

(4 x 5) : 2 = 10

primeiro fator é 4

10 é o quarto número triangular

(5 x 6) : 2 = 15

primeiro fator é 5

15 é o quinto número triangular

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

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