Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Gerando números quadrados perfeitos de números quadrados perfeitos - 217

Número quadrado perfeito é um número inteiro positivo que pode ser expresso como um quadrado de um número inteiro positivo.

Podemos obter números quadrados perfeitos através dos seguintes métodos:

a) multiplicando um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

b) elevando-se um número ao expoente 2;

1² = 1

2² = 4

3² = 9

c) somando-se ímpares consecutivos;

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

d) somando-se dois números triangulares consecutivos;

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

e) através de produtos notáveis (Quadrado da Soma);

15² = (10+5)²

= 10² + 2 x 10 x 5 + 5²

= 100 + 100 + 25

= 225

f) através de produtos notáveis (Quadrado da Diferença).

15² = (20-5)²

= 20² - 2 x 20 x 5 + 5²

= 400 - 200 + 25

= 200 + 25

= 225

Diferença entre números quadrados perfeitos

A diferença entre dois números quadrados perfeitos tem como resultado um número ímpar.

Exemplos:

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

25 - 16 = 9

36 - 25 = 11

49 - 36 = 13

Obtendo número quadrado perfeito de número quadrado perfeito

Através destes novos métodos podem ser gerados de qualquer número quadrado perfeito um outro número quadrado perfeito.

Dobro da raiz quadrada mais uma unidade

Exemplo 1)

a) a diferença entre os quadrados perfeitos 9 e 4 é 5;

9 - 4 = 5

b) por meio do número quadrado perfeito 4, pode-se obter o número quadrado perfeito 9;

c) soma-se ao quadrado 4, o dobro de sua raiz e uma unidade;

4 + {(2 x 2) + 1} = 9

4 + {4 + 1 } = 9

4 + 5 = 9

d) o dobro da raiz quadrada de 4 mais uma unidade é igual a 5.

5 é a diferença entre 9 e 4.

Exemplo 2)

a) a diferença entre os quadrados perfeitos 16 e 9 é 7;

16 - 9 = 7

b) por meio do número quadrado perfeito 9, pode-se obter o número quadrado perfeito 16;

c) soma-se ao quadrado 9, o dobro de sua raiz e uma unidade;

9 + {(2 x 3) + 1} = 16

9 + {6 + 1} = 16

9 + 7 = 16

d) o dobro da raiz quadrada de 9 mais uma unidade é igual a 7.

7 é a diferença entre 16 e 9.

Através dos exemplos expostos, podemos generalizar o seguinte enunciado:

Um número quadradro perfeito mais o dobro de sua raiz quadrada e uma unidade é igual seu número quadrado perfeito consecutivo.

Dobro da raiz quadrada menos uma unidade

Exemplo 1)

a) a diferença entre os quadrados perfeitos 9 e 4 é 5;

9 - 4 = 5

b) por meio do número quadrado perfeito 9, pode-se obter o número quadrado perfeito 4;

c) subriai-se do quadrado 9, o dobro de sua raiz menos uma unidade;

9 - { (2 x 3) - 1} = 4

9 - { 6 - 1 } = 4

9 - { 5 } = 4

d) o dobro da raiz quadrada de 9 menos uma unidade é igual a 5.

5 é a diferença entre 9 e 4.

Exemplo 2)

a) a diferença entre os quadrados perfeitos 16 e 9 é 7;

16 - 9 = 7

b) por meio do número quadrado perfeito 16, pode-se obter o número quadrado perfeito 9;

c) subtra-se do quadrado 16, o dobro de sua raiz menos uma unidade;

16 -{ (2 x 4) - 1} = 9

16 - { 8 - 1} = 9

16 - 7 = 9

d) o dobro da raiz quadrada de 16 menos uma unidade é igual a 7.

7 é a diferença entre 16 e 9.

Através dos exemplos expostos, podemos generalizar o seguinte enunciado:

Um número quadradro perfeito subtraído do dobro de sua raiz quadrada menos uma unidade é igual seu número quadrado perfeito antecessor.

Autor: Ricardo Silva - fevereiro/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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