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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números ímpares e curiosidades - 158

Há duas formas de se obterem sequências numéricas; uma através de progressão aritmética e outra através de progressão geométrica.

Na progressão aritmética soma-se um número constante a partir do primeiro termo.

Na progressão geométrica multiplica-se um número constante a partir do primeiro termo.

Nos exemplos aqui expostos, as sequências numéricas são aritméticas, todas tendo como primeiro termo o número 1.

A presente tabela apresenta de forma sintética várias sequências aritméticas de números ímpares a partir do número 1 somados com constantes números pares, na qual podemos extrair padrões e regularidades numéricas bem como algumas interessantes curiosidades.

Tabela de Progressões Aritméticas

1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29
3	5	9	13	17	21	25	29	33	37	41	45	49	53	57
4	7	13	19	25	31	37	43	49	55	61	67	73	79	85
5	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97	105	113
6	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141
7	13	25	37	49	61	73	85	97	109	121	133	145	157	169
8	15	29	43	57	71	85	99	113	127	141	155	169	183	197
9	17	33	49	65	81	97	113	129	145	161	177	193	209	225
10	19	37	55	73	91	109	127	145	163	181	199	217	235	253
11	21	41	61	81	101	121	141	161	181	201	221	241	261	281
12	23	45	67	89	111	133	155	177	199	221	243	265	287	309
13	25	49	73	97	121	145	169	193	217	241	265	289	313	337
14	27	53	79	105	131	157	183	209	235	261	287	313	339	365
15	29	57	85	113	141	169	197	225	253	281	309	337	365	393

Sequência dos números naturais

Na coluna de cor laranja, temos a sequência dos números naturais, os quais podemos obte-los somando-se o número 1 a partir do próprio número 1:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

e assim sucessivamente...

Dentro da sequência dos números naturais podemos obter outras sequências numéricas como:

sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9,...

sequência dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10,...

sequência dos números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25,...

e também os multiplos de cada um dos números naturais:

2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14,...

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...

e assim sucessivamente...

Sequências de números ímpares

A partir da coluna 3, temos sequências numéricas onde são somados números pares com o número 1.

Somando-se o número 2 a partir do número 1, obtem-se a sequência dos números ímpares:

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5

5 + 2 = 7

e assim sucessivamente...

Semelhante à sequência dos números naturais, na sequência dos números ímpares podemos obter:

os múltiplos ímpares do número 3: 3, 9, 15, 21, 27, 33,...

os múltiplos ímpares do número 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55,...

e assim sucessivamente para outros ímpares.

os quadrados perfeitos ímpares: 1, 9, 25, 49, 81, 121,...

Curiosidades nas sequências de números ímpares

Excluindo-se a linha azul (numeros 1), as sequências a partir do número 3, tanto horizontal quanto verticalmente apresentam-se de forma simétrica.

A diagonal a partir do número 3 (cor cinza) é que divide simetricamente as duas áreas da tabela.

3, 9, 19, 33, 51, 73,...

As diagonais opostas à diagonal principal do número 3 apresentam os números dos extremos iguais.

5, 5

7, 9, 7

9, 13, 13, 9

11, 17, 19, 17, 11

Quando-se é somado um número par (não múltiplo de 3) ao número 1, na presente sequência ocorre múltiplos de 3.

1 + 2

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

1 + 4

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,...

Quando-se é somado um número par (múltiplo de 3) ao número 1, na presente sequência não ocorre múltiplos de 3.

1 + 6

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43,...

1 + 12

1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97,...

Quando-se é somado um número par (múltiplo de 10) ao número 1, na presente sequência não ocorre múltiplos de 5.

1 + 10

1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71,...

1 + 20

1, 21, 41, 61, 81, 101,

Diagonais de números primos

As diagonais opostas à diagonal principal do número 3 apresentam os números dos extremos iguais e entre eles sequências de números primos.

5, 5

7, 9, 7

9, 13, 13, 9

11, 17, 19, 17, 11

Números quadrados perfeitos ímpares

A imagem abaixo foi gerada utilizando a tecla PrintScreen de um teclado de computador e posteriormente salva em formato JPEG.

A imagem se refere a tabela onde foram tabuladas as sequências numéricas ímpares.

A tabela possui 100 linhas por 50 colunas, a sua apresentação está minimizada, de forma que não podemos ver os números mas podemos observar a linha diagonal (cor azul) que a divide em duas partes e as linhas (cor amarela).

Na linha diagonal, há a sequência numérica onde ocorrem números múltiplos de 3.

Nas linhas duplas (cor amarela) estão as sequências dos números quadrados perfeitos ímpares, importante observar que elas partem do ponto inicial da diagonal e vão se distanciando, como se estivéssemos descendo degraus de uma escada.

A medida que as linhas (cor amarela) vão se distanciando, os números quadrados ímpares vão aumentado sempre em duplas e formando uma outra área "em branco" entre a diagonal principal e as linhas (cor amarela) onde não há ocorrência de números quadrados ímpares.

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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Tabela de Progressões Aritméticas

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Tabela de Progressões Aritméticas

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