Há duas formas de se obterem sequências numéricas; uma através de progressão aritmética e outra através de progressão geométrica.
Na progressão aritmética soma-se um número constante a partir do primeiro termo.
Na progressão geométrica multiplica-se um número constante a partir do primeiro termo.
Nos exemplos aqui expostos, as sequências numéricas são aritméticas, todas tendo como primeiro termo o número 1.
A presente tabela apresenta de forma sintética várias progessões aritméticas a partir do número 1, na qual podemos extrair padrões e regularidades numéricas bem como algumas curiosidades interessantes.
Tabela de Progressões Aritméticas | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | |
+ | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | |
3 | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | 29 | 33 | 37 | 41 | 45 | 49 | 53 | 57 | |
4 | 7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | 43 | 49 | 55 | 61 | 67 | 73 | 79 | 85 | |
5 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | 57 | 65 | 73 | 81 | 89 | 97 | 105 | 113 | |
6 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81 | 91 | 101 | 111 | 121 | 131 | 141 | |
7 | 13 | 25 | 37 | 49 | 61 | 73 | 85 | 97 | 109 | 121 | 133 | 145 | 157 | 169 | |
8 | 15 | 29 | 43 | 57 | 71 | 85 | 99 | 113 | 127 | 141 | 155 | 169 | 183 | 197 | |
9 | 17 | 33 | 49 | 65 | 81 | 97 | 113 | 129 | 145 | 161 | 177 | 193 | 209 | 225 | |
10 | 19 | 37 | 55 | 73 | 91 | 109 | 127 | 145 | 163 | 181 | 199 | 217 | 235 | 253 | |
11 | 21 | 41 | 61 | 81 | 101 | 121 | 141 | 161 | 181 | 201 | 221 | 241 | 261 | 281 | |
12 | 23 | 45 | 67 | 89 | 111 | 133 | 155 | 177 | 199 | 221 | 243 | 265 | 287 | 309 | |
13 | 25 | 49 | 73 | 97 | 121 | 145 | 169 | 193 | 217 | 241 | 265 | 289 | 313 | 337 | |
14 | 27 | 53 | 79 | 105 | 131 | 157 | 183 | 209 | 235 | 261 | 287 | 313 | 339 | 365 | |
15 | 29 | 57 | 85 | 113 | 141 | 169 | 197 | 225 | 253 | 281 | 309 | 337 | 365 | 393 |
Na coluna laranja, temos a sequência dos números naturais os quais podemos obte-los somando-se o número 1 a partir do próprio número 1:
1
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
e assim sucessivamente...
Dentro da sequência dos números naturais podemos obter outras sequências numéricas como:
sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9,...
sequência dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10,...
sequência dos números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25,...
e também os multiplos de cada um dos números naturais:
2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14,...
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...
e assim sucessivamente...
A partir da coluna 3, temos sequências numéricas onde são somados números pares com o número 1.
Somando-se o número 2 a partir do número 1, obtem-se a sequência dos números ímpares:
1
1 + 2 = 3
3 + 2 = 5
5 + 2 = 7
e assim sucessivamente...
Semelhante à sequência dos números naturais, na sequência dos números ímpares podemos obter:
os múltiplos ímpares do número 3: 3, 9, 15, 21, 27, 33,...
os múltiplos ímpares do número 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55,...
e assim sucessivamente para outros ímpares.
os quadrados perfeitos ímpares: 1, 9, 25, 49, 81, 121,...
Excluindo-se a linha azul (numeros 1), as sequências a partir do número 3, tanto horizontalmente quanto verticalmente apresentam-se de forma simétrica.
A diagonal a partir do número 3 (cor cinza) é que divide simetricamente as duas áreas da tabela.
3, 9, 19, 33, 51, 73,...
As diagonais opostas à diagonal do número 3 apresentam os números dos extremos iguais.
5, 5
7, 9, 7
9, 13, 13, 9
11, 17, 19, 17, 11
Quando-se é somado um número par (não múltiplo de 3) ao número 1, na presente sequência ocorre múltiplos de 3.
1 + 2
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
1 + 4
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,...
Quando-se é somado um número par (múltiplo de 3) ao número 1, na presente sequência não ocorre múltiplos de 3.
1 + 6
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43,...
1 + 12
1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97,...
Quando-se é somado um número par (múltiplo de 10) ao número 1, na presente sequência não ocorre múltiplos de 5.
1 + 10
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71,...
1 + 20
1, 21, 41, 61, 81, 101,
As diagonais opostas à diagonal do número 3 apresentam os números dos extremos iguais e entre eles sequências de números primos.
5, 5
7, 9, 7
9, 13, 13, 9
11, 17, 19, 17, 11
A imagem abaixo foi gerada utilizando a tecla PrintScreen de um teclado de computador e posteriormente salva em formato JPEG.
A imagem se refere a tabela onde foram tabuladas as sequências numéricas ímpares.
A tabela possui 100 linhas por 50 colunas, a sua apresentação está minimizada, de forma que não podemos ver os números mas podemos observar a linha diagonal (cor azul) que a divide em duas partes e as linhas amarelas.
Na linha diagonal, há a sequência numérica onde ocorrem números múltiplos de 3.
Nas linhas duplas (amarelas) estão as sequências dos números quadrados perfeitos ímpares, importante observar que elas partem do ponto inicial da diagonal e vão se distanciando, como se estivéssemos descendo os degraus de uma escada.
A medida que as linhas amarelas vão se distanciando, os números quadrados ímpares vão aumentado sempre em duplas e formando uma outra área "em branco" entre a diagonal e as linhas amarelas onde não a ocorrência de números quadrados ímpares.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2017
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