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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - O triângulo - 045

Triângulo equilátero é um polígono regular formado por 3 lados com a mesma medida e também por 3 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do triângulo e as sequências numéricas originadas a partir de sua forma.

Desenhando-se vários triângulos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do triângulo central, obtêm-se 3 sequências numéricas.

Na distribuição dos números a partir dos vértices, o vértice C concentra a sequência dos números múltiplos de 3 e nos vértices A e B sequências com ocorrências de números primos.

O vértice A apresenta intercalado entres seus termos a sequência dos números triangulares centrados.

Sequências numéricas no triângulo

O interessante a ser observado nestas sequências obtidas através dos vértices do triângulo é que o vértice C, vai concentrando os múltiplos de 3 a medida que vai se inserindo mais triângulos.

Nos vértices A e B, funcionam como um filtro, eliminando os múltiplo de 3 e aumentando a ocorrência de números prímos.

Partindo-se de cada vértice do triângulo central têm-se as três principais sequências numéricas no triângulo.

1) Vértice A, forma-se a seguinte sequência numérica: 1, 4, 7, 10, 13, 16, ..., com ocorrências de números primos.

A diferença os termos é de 3 unidades.

 4 -1= 3

7 - 4 = 3

10 - 7 = 3

2) Vértice B, forma-se a seguinte sequência numérica: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., com ocorrências de números primos.

A diferença entre os termos é de 3 unidades.

5-2=3

8-5=3

11-8=3

Múltiplos de 3

O importante a ser observado nesta sequência é que há uma só ocorrênia de número primo, o número 3.

A diferença entre os termos é de 3 unidades.

 6 -3 = 3

 9 - 6 = 3

12 - 9 = 3

Sequências Numéricas
no Triângulo
Ordem dos
Triângulos
vértice
A
Vértice
B
Vértice
C
      (múltiplos
de 3)
1 1 2 3
2 4 5 6
3 7 8 9
4 10 11 12
5 13 14 15
6 16 17 18
7 19 20 21
8 22 23 24
9 25 26 27
10 28 29 30
11 31 32 33
12 34 35 36
13 37 38 39
14 40 41 42
15 43 44 45
16 46 47 48
17 49 50 51
18 52 53 54
19 55 56 57
20 58 59 60
21 61 62 63
22 64 65 66
23 67 68 69
24 70 71 72
25 73 74 75
26 76 77 78
27 79 80 81
28 82 83 84
29 85 86 87
30 88 89 90
31 91 92 93
32 94 95 96
33 97 98 99
34 100 101 102
35 103 104 105
36 106 107 108
37 109 110 111
38 112 113 114
39 115 116 117
40 118 119 120
41 121 122 123
42 124 125 126
43 127 128 129
44 130 131 132
45 133 134 135
46 136 137 138
47 139 140 141
       
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A soma dos números dos vértices A e B

A soma dos números dos vértices A e B têm como resultados múltiplos de 3: (3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57,...)

3) A soma dos vértices A e B do primeiro triângulo.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro triângulo.

4) A soma dos vértices A e B do segundo triângulo.

4 + 5 = 9

O 9 está no vértice C do terceiro triângulo.

5) A soma dos vértices A e B do terceiro triângulo.

7 + 8 = 15

O 15 está no vértice C do quinto triângulo.

Sequências Numéricas
no Triângulo
Soma dos vértices A e B
correspondem ao vértice C
ordem  dos triângulos vértice
A
vértice
B
vértice
C
ordem 
ímpar
dos
triângulos
Soma
1 1 2 3 1
2 4 5 9 3
3 7 8 15 5
4 10 11 21 7
5 13 14 27 9
6 16 17 33 11
7 19 20 39 13
8 22 23 45 15
9 25 26 51 17
10 28 29 57 19
11 31 32 63 21
12 34 35 69 23
13 37 38 75 25
14 40 41 81 27
15 43 44 87 29
16 46 47 93 31
17 49 50 99 33
18 52 53 105 35
19 55 56 111 37
20 58 59 117 39
21 61 62 123 41
22 64 65 129 43
23 67 68 135 45
24 70 71 141 47
25 73 74 147 49
26 76 77 153 51
27 79 80 159 53
28 82 83 165 55
29 85 86 171 57
30 88 89 177 59
31 91 92 183 61
32 94 95 189 63
33 97 98 195 65
34 100 101 201 67
35 103 104 207 69
36 106 107 213 71
37 109 110 219 73
38 112 113 225 75
39 115 116 231 77
40 118 119 237 79
41 121 122 243 81
42 124 125 249 83
43 127 128 255 85
44 130 131 261 87
45 133 134 267 89
46 136 137 273 91
47 139 140 279 93
48 142 143 285 95
49 145 146 291 97
50 148 149 297 99
51 151 152 303 101
       

 

A soma dos números do vértices B e C

A soma dos números dos vértices B e C têm como resultados números ímpares e entre eles a ocorrência de números primos.

6) A soma dos vértices B e C do primeiro triângulo.

2 + 3 = 5 

7) A soma dos vértices B e C do segundo triângulo.

5 + 6 = 11 

8) A soma dos vértices B e C do terceiro triângulo.

9 + 8 = 17

Sequências
Numéricas no Triângulo
Soma dos vértices B e C
do triângulo
ordem  dos
Triângulos
vértice
C
vértice
B
Soma
C+B)
primo
1 3 2 5 sim
2 6 5 11 sim
3 9 8 17 sim
4 12 11 23 sim
5 15 14 29 sim
6 18 17 35
7 21 20 41 sim
8 24 23 47 sim
9 27 26 53 sim
10 30 29 59 sim
11 33 32 65
12 36 35 71 sim
13 39 38 77
14 42 41 83 sim
15 45 44 89 sim
16 48 47 95
17 51 50 101 sim
18 54 53 107 sim
19 57 56 113 sim
20 60 59 119
21 63 62 125
22 66 65 131 sim
23 69 68 137 sim
24 72 71 143
25 75 74 149 sim
26 78 77 155
27 81 80 161
28 84 83 167 sim
29 87 86 173 sim
30 90 89 179 sim
31 93 92 185
32 96 95 191 sim
33 99 98 197 sim
34 102 101 203
35 105 104 209
36 108 107 215
37 111 110 221
38 114 113 227 sim
39 117 116 233 sim
40 120 119 239 sim
41 123 122 245
42 126 125 251 sim
43 129 128 257 sim
44 132 131 263 sim
45 135 134 269 sim
46 138 137 275
47 141 140 281 sim
48 144 143 287
49 147 146 293 sim
50 150 149 299
51 153 152 305
52 156 155 311 sim
53 159 158 317 sim
         

 

Média aritmética dos vértices C e A

O número do vértice B é a média aritmética dos vértices C e A.

9) A soma dos vértices C e A do primerio triângulo.

3 + 1= 4

4 : 2 = 2 

10) A soma dos vértices C e A do segundo triângulo.

6 +4 = 10

10 : 2 = 5 

11) A soma dos vértices C e A do terceiro triângulo.

9 + 7 =16

16 : 2 = 8

Observação: os números nas células amarela, são números figurados triangulares centrados.

Os intervalos entre um número figurado e outro após o triangular centrado 4, é a sequência dos números naturais.

entre 4 e 10 - 1 intervalo

entre 10 e 19 - 2 intervalos

entre 19 e 31 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

 

Sequências
Numéricas no Triângulo
Soma dos vértices A e C 
do triângulo
  média
aritmética
ordem 
Triângulos
Vértice
A
Vértice
C
Soma
(A+C)
Vértice B
1 1 3 4 2
2 4 6 10 5
3 7 9 16 8
4 10 12 22 11
5 13 15 28 14
6 16 18 34 17
7 19 21 40 20
8 22 24 46 23
9 25 27 52 26
10 28 30 58 29
11 31 33 64 32
12 34 36 70 35
13 37 39 76 38
14 40 42 82 41
15 43 45 88 44
16 46 48 94 47
17 49 51 100 50
18 52 54 106 53
19 55 57 112 56
20 58 60 118 59
21 61 63 124 62
22 64 66 130 65
23 67 69 136 68
24 70 72 142 71
25 73 75 148 74
26 76 78 154 77
27 79 81 160 80
28 82 84 166 83
29 85 87 172 86
30 88 90 178 89
31 91 93 184 92
32 94 96 190 95
33 97 99 196 98
34 100 102 202 101
35 103 105 208 104
36 106 108 214 107
37 109 111 220 110
38 112 114 226 113
39 115 117 232 116
40 118 120 238 119
41 121 123 244 122
42 124 126 250 125
43 127 129 256 128
44 130 132 262 131
45 133 135 268 134
46 136 138 274 137
47 139 141 280 140
48 142 144 286 143
49 145 147 292 146
50 148 150 298 149
51 151 153 304 152
52 154 156 310 155
53 157 159 316 158
54 160 162 322 161
55 163 165 328 164
56 166 168 334 167
         

 

Números triagulares centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números triangulares centrados intercalados entre seus termos:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136,...

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 5, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 4 e 10 - 1 intervalo

entre 10 e 19 - 2 intervalos

entre 19 e 31 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados triangulares centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados pentagonais.

numeros figurados triangulares centrados

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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