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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o pentágono - 047

Este estudo tem como base a figura geométrica do pentágono e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.

Desenhando-se vários pentágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do pentágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no pentágono

numeros_primos_pentagono

Uma das características na disposição das sequências númericas do pentágono é que cada sequência que parte de cada vértice têm números com duas terminações numéricas próprias: números terminados em (5 e 0); (1 e 6); (2 e 7); (3 e 8) e (4 e 9).

Excetuando-se o vértice E, onde só há um número primo, o número 5, os demais números primos estão distribuídos nos demais vértices dos pentágonos.

No vértice E, concentra-se os múltiplos de 5: (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...). Por ser um polígono com 5 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências de números ímpares e pares e sequências de pares e ímpares.

No vértice A, ocorrerá somente números primos terminados em 1; no vértice B, primos terminados em 7; no vértice C, primos terminados em 3 e no vértice D, primos terminados em 9.

Outra distribuição interessante são os números quadrados perfeitos, eles estão distribuídos nos vértices A, D e E que estão nos vértices superiores do pentágono: (1, 4, 9 ,36, 25,49,...).

Há duas duplas de vértices: (A e D) e (B e C), cujas somas em cada pentágono têm como resultados números múltiplos de 5 que se encontram no vértice E.

 

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do pentágono central têm-se as cinco principais sequências numéricas do pentágono.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 1 e 6.

a) 6-1=5

b) 11-6=5

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 3 unidades, com alternância de números terminados em 2 e 7.

a) 7-2=5

b) 12-7=5 3)

Vértice C, tem-se a seguinte sequência: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 3 e 8

a) 8-3=5

b) 13-8=5 4)

Vértice D, tem-se a seguinte sequência: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números termiandos em 4 e 9.

a) 9-4=5

b) 14-9=5

2.3) Vértice E, tem-se a seguinte sequência: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 5 e 0, sendo todos múltiplos de 5.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
NO PENTÁGONO
Ordem
dos
Vértices
(múltiplos
de 5)
Pentágonos
A
B
C
D
Vértice E
1
1
2
3
4
5
2
6
7
8
9
10
3
11
12
13
14
15
4
16
17
18
19
20
5
21
22
23
24
25
6
26
27
28
29
30
7
31
32
33
34
35
8
36
37
38
39
40
9
41
42
43
44
45
10
46
47
48
49
50
11
51
52
53
54
55
12
56
57
58
59
60
13
61
62
63
64
65
14
66
67
68
69
70
15
71
72
73
74
75
16
76
77
78
79
80
17
81
82
83
84
85
18
86
87
88
89
90
19
91
92
93
94
95
20
96
97
98
99
100
21
101
102
103
104
105
22
106
107
108
109
110
23
111
112
113
114
115
24
116
117
118
119
120
25
121
122
123
124
125
26
126
127
128
129
130
27
131
132
133
134
135
28
136
137
138
139
140
29
141
142
143
144
145
30
146
147
148
149
150
31
151
152
153
154
155
32
156
157
158
159
160
33
161
162
163
164
165
34
166
167
168
169
170
35
171
172
173
174
175
36
176
177
178
179
180
37
181
182
183
184
185
38
186
187
188
189
190
39
191
192
193
194
195
40
196
197
198
199
200
41
201
202
203
204
205
42
206
207
208
209
210
43
211
212
213
214
215
44
216
217
218
219
220
45
221
222
223
224
225
46
226
227
228
229
230
47
231
232
233
234
235
48
236
237
238
239
240
49
241
242
243
244
245
50
246
247
248
249
250

A soma dos vértices A e B corresponde a números do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultado números terminados em 3 e que estão no vértice C dos pentágonos de ordem ímpar.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro pentágono.

1+2=3

O 3 encontra-se no vértice C do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo pentágono.

6+7=13

O 13 encontra-se no vértice C do terceiro pentágono.

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro pentágono.

11+12=23

O 23 encontra-se no vértice C do quinto pentágono.

A soma dos vértices B e C, corresponde a números do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.

4.1) A soma dos vértices B e C do primeiro pentágono.

2+5=5

O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

4.2) A soma dos vértices B e C do segundo pentágono.

7+8=15

O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.

4.3) A soma dos vértices B e C do terceiro pentágono.

12+13=25

O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.

5 - A soma dos vértices C e D, corresponde a números do vértice B

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números terminados em 7 e que estão no vértice B dos pentágonos de ordem par.

5.1) A soma dos vértices C e D do primeiro pentágono.

3+4=7

O 7 encontra-se no vértice B do segundo pentágono.

5.2) A soma dos vértices C e D do segundo pentágono.

8+9=17

O 17 encontra-se no vértice B do quarto pentágono.

5.3) A soma dos vértices C e D do terceiro pentágono.

13+14=27

O 27 encontra-se no vértice B do sexto pentágono 6 -

A soma dos vértices D e E, corresponde a números do vértice D

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números terminados em 9 e que estão no vértice D dos pentágonos de ordem par.

6.1) A soma dos vértices D e E do primeiro pentágono.

4+5=9

O 9 encontra-se no vértice D do segundo pentágono.

6.2) A soma dos vértices D e E do segundo pentágono.

9+10=19

O 19 encontra-se no vértice D do quarto pentágono.

6.3) A soma dos vértices D e E do terceiro pentágono.

14+15=29

O 29 encontra-se no vértice D do sexto pentágono.

A soma dos vértices E e A, corresponde a números do vértice A

Somando-se números dos vértices E e A, temos como resultados números terminados em 6 e que estão no vértice A dos pentágonos de ordem par.

7.1) A soma dos vértices E e A do primeiro pentágono.

5+1=6

O 6 encontra-se no vértice A do segundo pentágono.

7.2) A soma dos vértices E e A do segundo pentágono.

10+6=16

O 16 encontra-se no vértice A do quarto pentágono.

7.3) A soma dos vértices E e A do terceiro pentágono.

15+11=26

O 26 encontra-se no vértice A do sexto pentágono 8 -

A soma dos vértices D e A, corresponde a números do vértice E

Somando-se números dos vértices D e A, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.

8.1) A soma dos vértices D e A do primeiro pentágono.

4+5=1

O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

8.2) A soma dos vértices D e A do segundo pentágono.

9+6=15

O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.

8.3) A soma dos vértices D e A do terceiro pentágono.

14+11=25

O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.

As médias aritméticas.

Analisando o gráfico do pentágono, podemos extrair médias aritméticas de duplas de vértices, cujos resultados se encontram no entre dois vértices.

9.1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos
Vértice
Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos
A
C
A e C
Vértice B
1
1
3
4
2
2
6
8
14
7
3
11
13
24
12
4
16
18
34
17
5
21
23
44
22

9.2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos
Vértices
Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos
B
D
B e D
Vértice C
1
2
4
6
3
2
7
9
16
8
3
12
14
26
13
4
17
19
36
18
5
22
24
46
23

9.3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E

Ordem dos
Vértices
Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos
C
E
C e E
Vértice D
1
3
5
8
4
2
8
10
18
9
3
13
15
28
14
4
18
20
38
19
5
23
25
48
24

Autor: Ricardo Silva

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