Pentágono é um polígono regular formado por 5 lados com a mesma medida e também por 5 ângulos internos com a mesma medida.
Este estudo tem como base a figura geométrica do pentágono e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.
Desenhando-se vários pentágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do pentágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.
Uma das características na disposição das sequências númericas do pentágono é que cada sequência que parte de cada vértice têm números com duas terminações numéricas próprias: números terminados em (5 e 0); (1 e 6); (2 e 7); (3 e 8) e (4 e 9).
Excetuando-se o vértice E, onde só há um número primo, o número 5, os demais números primos estão distribuídos nos demais vértices dos pentágonos.
No vértice E, concentra-se os múltiplos de 5: (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...). Por ser um polígono com 5 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências de números ímpares e pares e sequências de pares e ímpares.
No vértice A, ocorrerá somente números primos terminados em 1; no vértice B, primos terminados em 7; no vértice C, primos terminados em 3 e no vértice D, primos terminados em 9.
Outra distribuição interessante são os números quadrados perfeitos, eles estão distribuídos nos vértices A, D e E que estão nos vértices superiores do pentágono: (1, 4, 9 ,36, 25,49,...).
Há duas duplas de vértices: (A e D) e (B e C), cujas somas em cada pentágono têm como resultados números múltiplos de 5 que se encontram no vértice E.
Partindo-se de cada vértice do pentágono central têm-se as cinco principais sequências numéricas do pentágono.
1) Vértice A tem-se a seguinte sequência: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 1 e 6.
6 - 1 = 5
11 - 6 = 5
2) Vértice B tem-se a seguinte sequência: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 3 unidades, com alternância de números terminados em 2 e 7.
7 - 2 = 5
12 - 7 = 5
Vértice C tem-se a seguinte sequência: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 3 e 8
8 - 3 = 5
13 - 8 = 54
Vértice D tem-se a seguinte sequência: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números termiandos em 4 e 9.
9 - 4 = 5
14 - 9 = 5
3) Vértice E tem-se a seguinte sequência: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 5 e 0, sendo todos múltiplos de 5.
Pentágono e Sequências Numéricas | |||||
---|---|---|---|---|---|
Ordem dos |
Vértices | (múltiplos de 5) |
|||
Pentágonos | A | B | C | D | Vértice E |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
3 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
4 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
5 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
6 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
7 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
8 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
9 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
10 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
11 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
12 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
13 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
14 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
15 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 |
16 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
17 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 |
18 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
19 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 |
20 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
21 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 |
22 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
23 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 |
24 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
25 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 |
26 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 |
27 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 |
28 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
29 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 |
30 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 |
31 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 |
32 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 |
33 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 |
34 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 |
35 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 |
36 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
37 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 |
38 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |
39 | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 |
40 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 |
41 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 |
42 | 206 | 207 | 208 | 209 | 210 |
43 | 211 | 212 | 213 | 214 | 215 |
44 | 216 | 217 | 218 | 219 | 220 |
45 | 221 | 222 | 223 | 224 | 225 |
46 | 226 | 227 | 228 | 229 | 230 |
47 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 |
48 | 236 | 237 | 238 | 239 | 240 |
49 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 |
50 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 |
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Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultado números terminados em 3 e que estão no vértice C dos pentágonos de ordem ímpar.
1) A soma dos vértices A e B do primeiro pentágono.
1 + 2 = 3
O 3 encontra-se no vértice C do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.
2) A soma dos vértices A e B do segundo pentágono.
6 + 7 = 13
O 13 encontra-se no vértice C do terceiro pentágono.
3) A soma dos vértices A e B do terceiro pentágono.
11 + 12 = 23
O 23 encontra-se no vértice C do quinto pentágono.
Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.
1) A soma dos vértices B e C do primeiro pentágono.
2 + 5 = 5
O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.
2) A soma dos vértices B e C do segundo pentágono.
7 + 8 = 15
O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.
3) A soma dos vértices B e C do terceiro pentágono.
12 + 13 = 25
O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.
Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números terminados em 7 e que estão no vértice B dos pentágonos de ordem par.
1) A soma dos vértices C e D do primeiro pentágono.
3 + 4 = 7
O 7 encontra-se no vértice B do segundo pentágono.
2) A soma dos vértices C e D do segundo pentágono.
8 + 9 = 17
O 17 encontra-se no vértice B do quarto pentágono.
3) A soma dos vértices C e D do terceiro pentágono.
13 + 14 = 27
O 27 encontra-se no vértice B do sexto pentágono6 -
Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números terminados em 9 e que estão no vértice D dos pentágonos de ordem par.
1) A soma dos vértices D e E do primeiro pentágono.
4 + 5 = 9
O 9 encontra-se no vértice D do segundo pentágono.
2) A soma dos vértices D e E do segundo pentágono.
9 + 10 = 19
O 19 encontra-se no vértice D do quarto pentágono.
3) A soma dos vértices D e E do terceiro pentágono.
14 + 15 = 29
O 29 encontra-se no vértice D do sexto pentágono.
Somando-se números dos vértices E e A, temos como resultados números terminados em 6 e que estão no vértice A dos pentágonos de ordem par.
1) A soma dos vértices E e A do primeiro pentágono.
5 + 1 = 6
O 6 encontra-se no vértice A do segundo pentágono.
2) A soma dos vértices E e A do segundo pentágono.
10 + 6 = 16
O 16 encontra-se no vértice A do quarto pentágono.
3) A soma dos vértices E e A do terceiro pentágono.
15 + 11 = 26
O 26 encontra-se no vértice A do sexto pentágono 8 -
Somando-se números dos vértices D e A, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.
1) A soma dos vértices D e A do primeiro pentágono.
4 + 5 = 1
O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.
2) A soma dos vértices D e A do segundo pentágono.
9 + 6 = 15
O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.
3) A soma dos vértices D e A do terceiro pentágono.
14 + 11 = 25
O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.
Analisando o gráfico do pentágono, podemos extrair médias aritméticas de duplas de vértices, cujos resultados se encontram no entre dois vértices.
1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.
Ordem dos | Vértice | Soma Vértices |
Média Aritmética |
|
Pentágonos | A | C | A e C | Vértice B |
1 | 1 | 3 | 4 | 2 |
2 | 6 | 8 | 14 | 7 |
3 | 11 | 13 | 24 | 12 |
4 | 16 | 18 | 34 | 17 |
5 | 21 | 23 | 44 | 22 |
2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.
Ordem dos | Vértices | Soma Vértices |
Média Aritmética |
|
Pentágonos | B | D | B e D | Vértice C |
1 | 2 | 4 | 6 | 3 |
2 | 7 | 9 | 16 | 8 |
3 | 12 | 14 | 26 | 13 |
4 | 17 | 19 | 36 | 18 |
5 | 22 | 24 | 46 | 23 |
3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E
Ordem dos | Vértices | Soma Vértices |
Média Aritmética |
|
Pentágonos | C | E | C e E | Vértice D |
1 | 3 | 5 | 8 | 4 |
2 | 8 | 10 | 18 | 9 |
3 | 13 | 15 | 28 | 14 |
4 | 18 | 20 | 38 | 19 |
5 | 23 | 25 | 48 | 24 |
No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números pentagonais centrados intercalados entre seus termos:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226..(células amarela na tabela acima).
O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 6, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.
entre 6 e 16 - 1 intervalo
entre 16 e 31 - 2 intervalos
entre 31 e 51 - 3 intervalos
e assim sucessivamente...
O números figurados pentagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados heptagonais.
Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).
Autor: Ricardo Silva
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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