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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o pentágono - 047

Pentágono é um polígono regular formado por 5 lados com a mesma medida e também por 5 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do pentágono e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.

Desenhando-se vários pentágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do pentágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no pentágono

numeros primos e figuras geométricas - pentágono

Uma das características na disposição das sequências númericas do pentágono é que cada sequência que parte de cada vértice têm números com duas terminações numéricas próprias: números terminados em (5 e 0); (1 e 6); (2 e 7); (3 e 8) e (4 e 9).

Excetuando-se o vértice E, onde só há um número primo, o número 5, os demais números primos estão distribuídos nos demais vértices dos pentágonos.

No vértice E, concentra-se os múltiplos de 5: (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...). Por ser um polígono com 5 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências de números ímpares e pares e sequências de pares e ímpares.

No vértice A, ocorrerá somente números primos terminados em 1; no vértice B, primos terminados em 7; no vértice C, primos terminados em 3 e no vértice D, primos terminados em 9.

Outra distribuição interessante são os números quadrados perfeitos, eles estão distribuídos nos vértices A, D e E que estão nos vértices superiores do pentágono: (1, 4, 9 ,36, 25,49,...).

Há duas duplas de vértices: (A e D) e (B e C), cujas somas em cada pentágono têm como resultados números múltiplos de 5 que se encontram no vértice E.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do pentágono central têm-se as cinco principais sequências numéricas do pentágono.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 1 e 6.

a) 6-1=5

b) 11-6=5

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 3 unidades, com alternância de números terminados em 2 e 7.

a) 7-2=5

b) 12-7=5

Vértice C, tem-se a seguinte sequência: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 3 e 8

a) 8-3=5

b) 13-8=54)

Vértice D, tem-se a seguinte sequência: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números termiandos em 4 e 9.

a) 9-4=5

b) 14-9=5

2.3) Vértice E, tem-se a seguinte sequência: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 5 unidades, com alternância de números terminados em 5 e 0, sendo todos múltiplos de 5.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
NO PENTÁGONO
Ordem
dos
Vértices (múltiplos
de 5)
Pentágonos A B C D Vértice E
1 1 2 3 4 5
2 6 7 8 9 10
3 11 12 13 14 15
4 16 17 18 19 20
5 21 22 23 24 25
6 26 27 28 29 30
7 31 32 33 34 35
8 36 37 38 39 40
9 41 42 43 44 45
10 46 47 48 49 50
11 51 52 53 54 55
12 56 57 58 59 60
13 61 62 63 64 65
14 66 67 68 69 70
15 71 72 73 74 75
16 76 77 78 79 80
17 81 82 83 84 85
18 86 87 88 89 90
19 91 92 93 94 95
20 96 97 98 99 100
21 101 102 103 104 105
22 106 107 108 109 110
23 111 112 113 114 115
24 116 117 118 119 120
25 121 122 123 124 125
26 126 127 128 129 130
27 131 132 133 134 135
28 136 137 138 139 140
29 141 142 143 144 145
30 146 147 148 149 150
31 151 152 153 154 155
32 156 157 158 159 160
33 161 162 163 164 165
34 166 167 168 169 170
35 171 172 173 174 175
36 176 177 178 179 180
37 181 182 183 184 185
38 186 187 188 189 190
39 191 192 193 194 195
40 196 197 198 199 200
41 201 202 203 204 205
42 206 207 208 209 210
43 211 212 213 214 215
44 216 217 218 219 220
45 221 222 223 224 225
46 226 227 228 229 230
47 231 232 233 234 235
48 236 237 238 239 240
49 241 242 243 244 245
50 246 247 248 249 250
           
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A soma dos vértices A e B corresponde a números do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultado números terminados em 3 e que estão no vértice C dos pentágonos de ordem ímpar.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro pentágono.

1+2=3

O 3 encontra-se no vértice C do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo pentágono.

6+7=13

O 13 encontra-se no vértice C do terceiro pentágono.

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro pentágono.

11+12=23

O 23 encontra-se no vértice C do quinto pentágono.

A soma dos vértices B e C, corresponde a números do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.

4.1) A soma dos vértices B e C do primeiro pentágono.

2+5=5

O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

4.2) A soma dos vértices B e C do segundo pentágono.

7+8=15

O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.

4.3) A soma dos vértices B e C do terceiro pentágono.

12+13=25

O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.

5 - A soma dos vértices C e D, corresponde a números do vértice B

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números terminados em 7 e que estão no vértice B dos pentágonos de ordem par.

5.1) A soma dos vértices C e D do primeiro pentágono.

3+4=7

O 7 encontra-se no vértice B do segundo pentágono.

5.2) A soma dos vértices C e D do segundo pentágono.

8+9=17

O 17 encontra-se no vértice B do quarto pentágono.

5.3) A soma dos vértices C e D do terceiro pentágono.

13+14=27

O 27 encontra-se no vértice B do sexto pentágono6 -

A soma dos vértices D e E, corresponde a números do vértice D

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números terminados em 9 e que estão no vértice D dos pentágonos de ordem par.

6.1) A soma dos vértices D e E do primeiro pentágono.

4+5=9

O 9 encontra-se no vértice D do segundo pentágono.

6.2) A soma dos vértices D e E do segundo pentágono.

9+10=19

O 19 encontra-se no vértice D do quarto pentágono.

6.3) A soma dos vértices D e E do terceiro pentágono.

14+15=29

O 29 encontra-se no vértice D do sexto pentágono.

A soma dos vértices E e A, corresponde a números do vértice A

Somando-se números dos vértices E e A, temos como resultados números terminados em 6 e que estão no vértice A dos pentágonos de ordem par.

7.1) A soma dos vértices E e A do primeiro pentágono.

5+1=6

O 6 encontra-se no vértice A do segundo pentágono.

7.2) A soma dos vértices E e A do segundo pentágono.

10+6=16

O 16 encontra-se no vértice A do quarto pentágono.

7.3) A soma dos vértices E e A do terceiro pentágono.

15+11=26

O 26 encontra-se no vértice A do sexto pentágono 8 -

A soma dos vértices D e A, corresponde a números do vértice E

Somando-se números dos vértices D e A, temos como resultados números terminados em 5 e que estão no vértice E dos pentágonos de ordem ímpar.

8.1) A soma dos vértices D e A do primeiro pentágono.

4+5=1

O 5 encontra-se no vértice E do mesmo pentágono, isto é, o primeiro pentágono.

8.2) A soma dos vértices D e A do segundo pentágono.

9+6=15

O 15 encontra-se no vértice E do terceiro pentágono.

8.3) A soma dos vértices D e A do terceiro pentágono.

14+11=25

O 25 encontra-se no vértice E do quinto pentágono.

As médias aritméticas.

Analisando o gráfico do pentágono, podemos extrair médias aritméticas de duplas de vértices, cujos resultados se encontram no entre dois vértices.

9.1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos Vértice Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos A C A e C Vértice B
1 1 3 4 2
2 6 8 14 7
3 11 13 24 12
4 16 18 34 17
5 21 23 44 22

9.2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos B D B e D Vértice C
1 2 4 6 3
2 7 9 16 8
3 12 14 26 13
4 17 19 36 18
5 22 24 46 23

9.3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Pentágonos C E C e E Vértice D
1 3 5 8 4
2 8 10 18 9
3 13 15 28 14
4 18 20 38 19
5 23 25 48 24

Números figurados pentagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números pentagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226..(células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 6, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 6 e 16 - 1 intervalo

entre 16 e 31 - 2 intervalos

entre 31 e 51 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

O números figurados pentagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados heptagonais.

números pentagonais centrados

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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