Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o hexágono - 048

Hexágono é um polígono regular formado por 6 lados com a mesma medida e também por 6 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do hexágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários hexágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do hexágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no hexágono

Observando mais atentamente a figura do hexágono, constatamos uma simetria na disposição dos números.

Unindo-se os vértices A, C e E, temos uma triangulação de sequências de números ímpares.

Unindo-se os vértices B, D e F, temos uma triangulação de sequências de números pares.

No vértice C, temos a sequência dos múltiplos de 3 originários da múltiplicação do número 3 com um número ímpar.

No vértice F, oposto ao vértice C, podemos fazer duas leituras: a sequência dos múltiplos de 3 originários da multiplicação de 3 por um número par ou a propria sequências dos múltiplos de 6.

Nos vértices A e E, onde as sequências são números ímpares, constata-se uma regularidade, nestes dois vértices há uma maior concentração de números primos.

Observa-se também, que nos vértices A e E, não há ocorrência de números ímpares múltiplos de 3, pois todos os múltiplos ímpares de 3 ocorrem nos vértice C e F.

A disposição em que os números primos aparecem nos hexágonos são bastante significativas pelo fato de termos apenas dois vértices em que eles ocorrem com maior frequência, no vértice A e no vértice E.

Nos vértices B e C, temos a ocorrência de um só número primo cada um, no vértice B, temos o primo 2 e no vértice C, temos o primo 3. Por ser um polígono com 6 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências só de números ímpares e sequências só de pares.

Há duas duplas de vértices: (A e E) e (B e D), cujas somas em cada hexágono têm como resultados números múltiplos de 6 que se encontram no vértice G.

2 - As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do hexágono central têm-se as seis principais sequências numéricas do hexágono.

1) Vértice A tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, ... , com a ocorrência de números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

7 - 1 = 6

13 - 7 = 6

2) Vértice B tem-se a seguinte sequência de números pares: 2, 8, 14, 20, 26, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

8 - 2 = 6

14 - 8 = 6

3) Vértice C tem-se a sequência dos múltiplos de 3: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

9 - 3 = 6

15 - 9 = 6

4) Vértice D tem-se a seguinte sequência: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

10 - 4 = 6

16 - 10 = 6

5) Vértice E tem-se a seguinte sequência: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, ..., com a ocorrência de números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

11 - 5 = 6

17 - 11 = 6

5) Vértice F tem-se a seguinte sequência: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

12 - 6 = 6

18 - 12 = 6

A soma dos vértices A e B, corresponde ao vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números múltiplos de 3 que se encontram no vértice C.

Os vértices A e B estão em lados oposto a D e E.

1) A soma dos vértices A e B do primeiro hexágono.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro hexágono

2) A soma dos vértices A e B do segundo hexágono.

7 + 8 = 15

O 15 é um múltiplo de 3

O 15 está no vértice C do terceiro hexágono

3) A soma dos vértices A e B do terceiro hexágono.

13 + 14 = 27

O 27 é um múltiplo de 3

O 25 está no vértice C do quinto hexágono

A soma dos vértices D e E, corresponde ao vértice C

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números múltiplos de 3 que estão no vértice C.

Os vértices D e E estão em lados opostos A e B.

1) A soma dos vértices D e E do primeiro hexágono.

4 + 5 = 9

O 9 é um múltiplo de 3

O 9 está no vértice C do segundo hexágono

2) A soma dos vértices D e E do segundo hexágono.

10 + 11 = 21

O 21 é um múltiplo de 3

O 21 está no vértice C do quarto hexágono

3) A soma dos vértices D e E do terceiro hexágono.

16 + 17 = 33

O 33 é um múltiplo de 3

O 33 está no vértice C do sexto hexágono

A soma dos vértices B e C, corresponde ao vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares a partir de 5: (5, 17, 29, 41, 53,...) que se encontram no vértice E, com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices B e C estão em lados opostos a E e F.

1) A soma dos vértices B e C do primeiro hexágono.

2 + 3 = 5

O 5 é um número primo

O 5 está no vértice E do primeiro hexágono

2) A soma dos vértices B e C do segundo hexágono.

8 + 9 = 17

O 17 é um número primo

O 17 está no vértice E do terceiro hexágono

3) A soma dos vértices B e C do terceiro hexágono.

14 + 15 = 29

O 29 é um número primo

O 29 está no vértice E do quinto hexágono

A soma dos vértices E e F, corresponde ao vértice E

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares a partir de 11: (11, 23, 35, 47, 59,...) que se encontram no vértice E, com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices E e F estão em lados opostos a B e C.

1) A soma dos vértices E e F do primeiro hexágono.

5 + 6 = 11

O 11 é um número primo

O 11 está no vértice E do segundo hexágono

2) A soma dos vértices E e F do segundo hexágono.

11 + 12 = 23

O 23 é um número primo

O 23 está no vértice E do quarto hexágono

3) A soma dos vértices E e F do terceiro hexágono.

17 + 18 = 35

O 35 não é um número primo

O 35 está no vértice E do sexto hexágono

A soma dos vértices C e D, corresponde aos vértices F e A

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares a partir de 7: (7, 19, 31, 43, 55,...) com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices C e D estão em lados opostos a F e A que têm os mesmos resultados da soma.

1) A soma dos vértices C e D e F e A do primeiro hexágono.

3 + 4 = 7

O 7 é um número primo

6 + 1 = 7

2) A soma dos vértices C e D e F e A do segundo hexágono.

9 + 10 = 19

O 19 é um número primo

12 + 7 = 19

3) A soma dos vértices C e D e Fe A do terceiro hexágono.

15 + 16 = 31

O 31 é um número primo

18 + 13 = 318

As médias aritméticas no hexágono

1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E

4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F

Números figurados hexagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números hexagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217,...(células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 7, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 7 e 19 - 1 intervalo

entre 19 e 37 - 2 intervalos

entre 37 e 61 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados hexagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados octogonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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