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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o hexágono - 048

Hexágono é um polígono regular formado por 6 lados com a mesma medida e também por 6 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do hexágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários hexágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do hexágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no hexágono

números primos e figuras geométricas - hexágono

Observando mais atentamente a figura do hexágono, constatamos uma simetria na disposição dos números.

Unindo-se os vértices A, C e E, temos uma triangulação de sequências de números ímpares.

Unindo-se os vértices B, D e F, temos uma triangulação de sequências de números pares.

No vértice C, temos a sequência dos múltiplos de 3 originários da múltiplicação do número 3 com um número ímpar.

No vértice F, oposto ao vértice C, podemos fazer duas leituras: a sequência dos múltiplos de 3 originários da multiplicação de 3 por um número par ou a propria sequências dos múltiplos de 6.

Nos vértices A e E, onde as sequências são números ímpares, constata-se uma regularidade, nestes dois vértices há uma maior concentração de números primos.

Observa-se também, que nos vértices A e E, não há ocorrência de números ímpares múltiplos de 3, pois todos os múltiplos ímpares de 3 ocorrem nos vértice C e F.

A disposição em que os números primos aparecem nos hexágonos são bastante significativas pelo fato de termos apenas dois vértices em que eles ocorrem com maior frequência, no vértice A e no vértice E.

Nos vértices B e C, temos a ocorrência de um só número primo cada um, no vértice B, temos o primo 2 e no vértice C, temos o primo 3. Por ser um polígono com 6 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências só de números ímpares e sequências só de pares.

Há duas duplas de vértices: (A e E) e (B e D), cujas somas em cada hexágono têm como resultados números múltiplos de 6 que se encontram no vértice G.

2 - As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do hexágono central têm-se as seis principais sequências numéricas do hexágono.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, ... , com a ocorrência de números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 7-1=6

b) 13-7=6

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência de números pares: 2, 8, 14, 20, 26, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 8-2=6

b) 14-8=6

2.3) Vértice C, tem-se a sequência dos múltiplos de 3: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 9-3=6

b) 15-9=6

2.4) Vértice D, tem-se a seguinte sequência: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 10-4=6

b) 16-10=6

2.5) Vértice E, tem-se a seguinte sequência: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, ..., com a ocorrência de números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 11-5=6

b) 17-11=6

2.6) Vértice F, tem-se a seguinte sequência: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 6 unidades.

a) 12-6=6

b) 18-12=6

SEQUÊNCIAS NÚMERICAS
NO HEXÁGONO
      Múltiplos     Múltiplos
      de 3     de 3 ou 6
  Vértices
Ordem A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6
2 7 8 9 10 11 12
3 13 14 15 16 17 18
4 19 20 21 22 23 24
5 25 26 27 28 29 30
6 31 32 33 34 35 36
7 37 38 39 40 41 42
8 43 44 45 46 47 48
9 49 50 51 52 53 54
10 55 56 57 58 59 60
11 61 62 63 64 65 66
12 67 68 69 70 71 72
13 73 74 75 76 77 78
14 79 80 81 82 83 84
15 85 86 87 88 89 90
16 91 92 93 94 95 96
17 97 98 99 100 101 102
18 103 104 105 106 107 108
19 109 110 111 112 113 114
20 115 116 117 118 119 120
21 121 122 123 124 125 126
22 127 128 129 130 131 132
23 133 134 135 136 137 138
24 139 140 141 142 143 144
25 145 146 147 148 149 150
26 151 152 153 154 155 156
27 157 158 159 160 161 162
28 163 164 165 166 167 168
29 169 170 171 172 173 174
30 175 176 177 178 179 180
31 181 182 183 184 185 186
32 187 188 189 190 191 192
33 193 194 195 196 197 198
34 199 200 201 202 203 204
35 205 206 207 208 209 210
36 211 212 213 214 215 216
37 217 218 219 220 221 222
38 223 224 225 226 227 228
39 229 230 231 232 233 234
40 235 236 237 238 239 240
41 241 242 243 244 245 246
42 247 248 249 250 251 252
43 253 254 255 256 257 258
44 259 260 261 262 263 264
45 265 266 267 268 269 270
46 271 272 273 274 275 276
47 277 278 279 280 281 282
48 283 284 285 286 287 288
49 289 290 291 292 293 294
50 295 296 297 298 299 300
             
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A soma dos vértices A e B, corresponde ao vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números múltiplos de 3 que se encontram no vértice C.

Os vértices A e B estão em lados oposto a D e E.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro hexágono.

1+2=3

O 3 está no vértice C do primeiro hexágono

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo hexágono.

7+8=15

O 15 é um múltiplo de 3

O 15 está no vértice C do terceiro hexágono

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro hexágono.

13+14=27

O 27 é um múltiplo de 3

O 25 está no vértice C do quinto hexágono

A soma dos vértices D e E, corresponde ao vértice C

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números múltiplos de 3 que estão no vértice C.

Os vértices D e E estão em lados opostos A e B.

4.1) A soma dos vértices D e E do primeiro hexágono.

4+5=9

O 9 é um múltiplo de 3

O 9 está no vértice C do segundo hexágono

4.2) A soma dos vértices D e E do segundo hexágono.

10+11=21

O 21 é um múltiplo de 3

O 21 está no vértice C do quarto hexágono

4.3) A soma dos vértices D e E do terceiro hexágono.

16+17=33

O 33 é um múltiplo de 3

O 33 está no vértice C do sexto hexágono

A soma dos vértices B e C, corresponde ao vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares a partir de 5: (5, 17, 29, 41, 53,...) que se encontram no vértice E, com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices B e C estão em lados opostos a E e F.

5.1) A soma dos vértices B e C do primeiro hexágono.

2+3=5

O 5 é um número primo

O 5 está no vértice E do primeiro hexágono

5.2) A soma dos vértices B e C do segundo hexágono.

8+9=17

O 17 é um número primo

O 17 está no vértice E do terceiro hexágono

5.3) A soma dos vértices B e C do terceiro hexágono.

14+15=29

O 29 é um número primo

O 29 está no vértice E do quinto hexágono

A soma dos vértices E e F, corresponde ao vértice E

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares a partir de 11: (11, 23, 35, 47, 59,...) que se encontram no vértice E, com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices E e F estão em lados opostos a B e C.

6.1) A soma dos vértices E e F do primeiro hexágono.

5+6=11

O 11 é um número primo

O 11 está no vértice E do segundo hexágono

6.2) A soma dos vértices E e F do segundo hexágono.

11+12=23

O 23 é um número primo

O 23 está no vértice E do quarto hexágono

6.3) A soma dos vértices E e F do terceiro hexágono.

17+18=35

O 35 não é um número primo

O 35 está no vértice E do sexto hexágono

A soma dos vértices C e D, corresponde aos vértices F e A

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares a partir de 7: (7, 19, 31, 43, 55,...) com a diferença de 12 unidades entre eles e também com a ocorrência de números primos.

Os vértices C e D estão em lados opostos a F e A que têm os mesmos resultados da soma.

7.1) A soma dos vértices C e D e F e A do primeiro hexágono.

3+4=7

O 7 é um número primo

6+1=7

7.2) A soma dos vértices C e D e F e A do segundo hexágono.

9+10=19

O 19 é um número primo

12+7=19

7.3) A soma dos vértices C e D e Fe A do terceiro hexágono.

15+16=31

O 31 é um número primo

18+13=318 -

As médias aritméticas no hexágono

8.1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
hexágonos A C A e C Vértice B
1 1 3 4 2
2 7 9 16 8
3 13 15 28 14
4 19 21 30 20
5 25 27 42 26

8.2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
hexágonos B D B e D Vértice C
1 2 4 6 3
2 8 10 18 9
3 14 16 30 15
4 20 22 42 21
5 26 28 54 27

8.3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
hexágonos C E C e E Vértice D
1 3 5 8 4
2 9 11 20 10
3 15 17 32 16
4 21 23 44 22
5 27 29 56 28

8.4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
hexágonos D F D e F Vértice E
1 4 6 10 5
2 10 12 22 11
3 16 18 34 17
4 22 24 46 23
5 28 30 58 29

Números figurados hexagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números hexagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217,...(células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 7, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 7 e 19 - 1 intervalo

entre 19 e 37 - 2 intervalos

entre 37 e 61 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados hexagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados octogonais.

números hexagonais centrados

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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