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capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o quadrado - 046

Este estudo tem como base a figura geométrica do quadrado e as sequências numéricas que surgem a partir de sua forma.

Desenhando-se vários quadrados equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do quadrado central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

Sequências numéricas no quadrado

números primos e a figura do quadrado

Cada vértice do quadrado há uma só concentração de números pares e outra só de números ímpares.

Os números quadrados perfeitos encontram-se na parte superior do quadrado: nos vértices A e D.

Os lados de um polígono determina o vértice, ou os vértices em que a sequência numérica são os seus múltiplos, como o quadrado têm 4 vértices, no vértice D ocorre a sequência dos seu múltiplos, neste caso os múltiplos de 4.

O interessante a ser observado nestas sequências obtidas através dos vértices do quadrado é que o vértice D, vai concentrando os múltiplos de 4 e os vértice A e C, os números primos a medida que vai inserindo mais quadrados.

Sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do quadrado central têm-se as quatro principais sequências numéricas.

2.1) Vértice A, tem-se a sequência de números ímpares: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 31, ... e entre eles, os números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

a) 5-1=4

b) 9-5=4

2.2) Vértice B, tem-se a sequência de números pares: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 32, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

a) 6-2=4

b) 10-6=4

2.3) Vértice C, tem-se a sequência de números ímpares: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, ... e entre eles, os números primos.

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

a) 7-3=4

b) 11-7=4

2.4) Vértice D, tem-se a sequência de números pares: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

A diferença entre um número posterior e anterior é de 4 unidades.

a) 7-3=4

b) 11-7=4

Nesta sequência aparece os mútiplos de 4 (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...),

Sequências
Numéricas no quadrado
Ordem dos
Vértice
A
Vértice
B
Vértice
C
Vértice
D
dos quadrados
1
1
2
3
4
2
5
6
7
8
3
9
10
11
12
4
13
14
15
16
5
17
18
19
20
6
21
22
23
24
7
25
26
27
28
8
29
30
31
32
9
33
34
35
36
10
37
38
39
40
11
41
42
43
44
12
45
46
47
48
13
49
50
51
52
14
53
54
55
56
15
57
58
59
60
16
61
62
63
64
17
65
66
67
68
18
69
70
71
72
19
73
74
75
76
20
77
78
79
80
21
81
82
83
84
22
85
86
87
88
23
89
90
91
92
24
93
94
95
96
25
97
98
99
100
26
101
102
103
104
27
105
106
107
108
28
109
110
111
112
29
113
114
115
116
30
117
118
119
120
31
121
122
123
124
32
125
126
127
128
33
129
130
131
132
34
133
134
135
136
35
137
138
139
140
36
141
142
143
144
37
145
146
147
148
38
149
150
151
152
39
153
154
155
156
40
157
158
159
160
41
161
162
163
164
42
165
166
167
168
43
169
170
171
172
44
173
174
175
176
45
177
178
179
180
46
181
182
183
184
47
185
186
187
188

A soma dos números dos vértices opostos A e C

A soma dos números dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares tem como resultado um múltiplo de 4.

3.1) A soma dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.

1+3=4

3.2) A soma dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.

5+7=12

3.3) A soma dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.

9+11=20

A sequência começa pelo número 4 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 4: (4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68...).

Observação: Esses múltiplos divididos por 4 tem como quocientes números impares.

Sequências
Numéricas no quadrado
Soma dos
vértices A e C
Ordem dos
Soma
Quadrados
Vértice
A
Vértice
C
(múltiplo de 4)
1
1
3
4
2
5
7
12
3
9
11
20
4
13
15
28
5
17
19
36
6
21
23
44
7
25
27
52
8
29
31
60
9
33
35
68
10
37
39
76
11
41
43
84
12
45
47
92
13
49
51
100
14
53
55
108
15
57
59
116
16
61
63
124
17
65
67
132
18
69
71
140
19
73
75
148
20
77
79
156
21
81
83
164
22
85
87
172
23
89
91
180
24
93
95
188
25
97
99
196
26
101
103
204
27
105
107
212
28
109
111
220
29
113
115
228
30
117
119
236
31
121
123
244
32
125
127
252
33
129
131
260
34
133
135
268
35
137
139
276
36
141
143
284
37
145
147
292
38
149
151
300
39
153
155
308
40
157
159
316
41
161
163
324
42
165
167
332
43
169
171
340
44
173
175
348
45
177
179
356
46
181
183
364
47
185
187
372
48
189
191
380
49
193
195
388
50
197
199
396

A soma dos números dos vértices opostos B e D

A soma dos números dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares tem como resultado um múltiplo de 2.  

4.1) A soma dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.  

2+4=6  

4.2) A soma dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.  

6+8=14

4.3) A soma dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.

10+12=22

A sequência começa pelo número 6 e somando-se 8 unidades seguidamente, obteremos a seguinte sequência dos múltiplos de 2: (6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, ...).

Observação: Esses múltiplos divididos por 2 tem como quocientes números impares.

Sequências Numéricas no quadrado
Soma dos vértices B e D
Ordem dos
Soma
Quadrados
Vértice B
Vértice D
(múltiplos de 2)
1
2
4
6
2
6
8
14
3
10
12
22
4
14
16
30
5
18
20
38
6
22
24
46
7
26
28
54
8
30
32
62
9
34
36
70
10
38
40
78
11
42
44
86
12
46
48
94
13
50
52
102
14
54
56
110
15
58
60
118
16
62
64
126
17
66
68
134
18
70
72
142
19
74
76
150
20
78
80
158
21
82
84
166
22
86
88
174
23
90
92
182
24
94
96
190
25
98
100
198
26
102
104
206
27
106
108
214
28
110
112
222
29
114
116
230
30
118
120
238
31
122
124
246
32
126
128
254
33
130
132
262
34
134
136
270
35
138
140
278
36
142
144
286
37
146
148
294
38
150
152
302
39
154
156
310
40
158
160
318
41
162
164
326
42
166
168
334
43
170
172
342
44
174
176
350
45
178
180
358
46
182
184
366
47
186
188
374
48
190
192
382
49
194
196
390
50
198
200
398

O vértice B é a média aritmética dos vértices opostos A e C

O número do vértice B é a média aritmética dos vértices opostos A e C de cada quadrado, cuja diagonal aparece números ímpares e tem como resultado um múltiplo de 4.

5.1) A média aritmética dos números dos vértices A e C do primeiro quadrado.

1+3=4

4:2=2 (média artimética)

5.2) A média aritmética dos números dos vértices A e C do segundo quadrado.

5+7=12

12:2=6 (média artimética)

5.3) A média aritmética dos números dos vértices A e C do terceiro quadrado.

9+11=20

20:2=10 (média artimética)

Sequências Numéricas no quadrado
Soma dos vértices A e C
Ordem dos
média aritmética
Quadrados
Vértice A
Vértice C
Soma
Vértice B
1
1
3
4
2
2
5
7
12
6
3
9
11
20
10
4
13
15
28
14
5
17
19
36
18
6
21
23
44
22
7
25
27
52
26
8
29
31
60
30
9
33
35
68
34
10
37
39
76
38
11
41
43
84
42
12
45
47
92
46
13
49
51
100
50
14
53
55
108
54
15
57
59
116
58
16
61
63
124
62
17
65
67
132
66
18
69
71
140
70
19
73
75
148
74
20
77
79
156
78
21
81
83
164
82
22
85
87
172
86
23
89
91
180
90
24
93
95
188
94
25
97
99
196
98
26
101
103
204
102
27
105
107
212
106
28
109
111
220
110
29
113
115
228
114
30
117
119
236
118
31
121
123
244
122
32
125
127
252
126
33
129
131
260
130
34
133
135
268
134
35
137
139
276
138
36
141
143
284
142
37
145
147
292
146
38
149
151
300
150
39
153
155
308
154
40
157
159
316
158
41
161
163
324
162
42
165
167
332
166
43
169
171
340
170
44
173
175
348
174
45
177
179
356
178
46
181
183
364
182
47
185
187
372
186
48
189
191
380
190
49
193
195
388
194
50
197
199
396
198

O vértice C é a média aritmética dos vértices opostos B e D

O número do vértice C é a média aritmética dos vértices opostos B e D de cada quadrado, cuja diagonal aparece números pares e tem como resultado um múltiplo de 2.

6.1) A média aritmética dos números dos vértices B e D do primeiro quadrado.

2+4=6

6:3=3 (média aritmética)

6.2) A média aritmética dos números dos vértices B e D do segundo quadrado.

6+8=14

14:2=7 (média aritmética)

6.3) A média aritmética dos números dos vértices B e D do terceiro quadrado.

10+12=22

22:2=11 (média aritmética)

Sequências Numéricas no quadrado
Soma dos vértices B e D
Ordem dos
Soma
média aritmética
Quadrados
Vértice B
Vértice D
(múltiplos de 2)
Vértice C
1
2
4
6
3
2
6
8
14
7
3
10
12
22
11
4
14
16
30
15
5
18
20
38
19
6
22
24
46
23
7
26
28
54
27
8
30
32
62
31
9
34
36
70
35
10
38
40
78
39
11
42
44
86
43
12
46
48
94
47
13
50
52
102
51
14
54
56
110
55
15
58
60
118
59
16
62
64
126
63
17
66
68
134
67
18
70
72
142
71
19
74
76
150
75
20
78
80
158
79
21
82
84
166
83
22
86
88
174
87
23
90
92
182
91
24
94
96
190
95
25
98
100
198
99
26
102
104
206
103
27
106
108
214
107
28
110
112
222
111
29
114
116
230
115
30
118
120
238
119
31
122
124
246
123
32
126
128
254
127
33
130
132
262
131
34
134
136
270
135
35
138
140
278
139
36
142
144
286
143
37
146
148
294
147
38
150
152
302
151
39
154
156
310
155
40
158
160
318
159
41
162
164
326
163
42
166
168
334
167
43
170
172
342
171
44
174
176
350
175
45
178
180
358
179
46
182
184
366
183
47
186
188
374
187
48
190
192
382
191
49
194
196
390
195
50
198
200
398
199

A soma dos vértices D e A é igual soma dos vértices C e B

A soma dos vértices D e A tem resultado igual a soma dos vértices C e D.

7.1) A soma dos vértices do primeiro quadrado.

D e A

4+1=5

C e B

3+2=5

7.2) A soma dos vértices do segundo quadrado.

D e A

8+5=13

C e B

7+6=13

7.3) A soma dos vértices do terceiro quadrado.

D e A

12+9=21

C e B

11+10=21

Sequências Numéricas no quadrado
Vértice D
Vértice A
Soma (D+A)
Vértice C
Vértice B
Soma (C+B)
4
1
5
3
2
5
8
5
13
7
6
13
12
9
21
11
10
21
16
13
29
15
14
29
20
17
37
19
18
37
24
21
45
23
22
45
28
25
53
27
26
53
32
29
61
31
30
61
36
33
69
35
34
69
40
37
77
39
38
77
44
41
85
43
42
85
48
45
93
47
46
93
52
49
101
51
50
101
56
53
109
55
54
109
60
57
117
59
58
117
64
61
125
63
62
125
68
65
133
67
66
133
72
69
141
71
70
141
76
73
149
75
74
149
80
77
157
79
78
157
84
81
165
83
82
165
88
85
173
87
86
173
92
89
181
91
90
181
96
93
189
95
94
189
100
97
197
99
98
197
104
101
205
103
102
205
108
105
213
107
106
213
112
109
221
111
110
221
116
113
229
115
114
229
120
117
237
119
118
237
124
121
245
123
122
245
128
125
253
127
126
253
132
129
261
131
130
261
136
133
269
135
134
269
140
137
277
139
138
277
144
141
285
143
142
285
148
145
293
147
146
293
152
149
301
151
150
301
156
153
309
155
154
309
160
157
317
159
158
317
164
161
325
163
162
325
168
165
333
167
166
333
172
169
341
171
170
341
176
173
349
175
174
349
180
177
357
179
178
357
184
181
365
183
182
365
188
185
373
187
186
373

Autor: Ricardo Silva

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