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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o heptágono - 049

Heptágono é um polígono regular formado por 7 lados com a mesma medida e também por 7 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do heptágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários heptágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do heptágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no heptágono

numeros_primos_heptagono

Por ser um polígono com 7 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências com números ímpares e pares e sequências com pares e ímpares.

No vértice G, concentra-se os múltiplos de 7: (7, 14, 21, 28,...) e um só número primo, o próprio número 7.

Os demais números primos estão distribuídos de forma bem dispersa pelos outros 6 vértices dos heptágonos (círculos pretos).

Há três duplas de vértices: (A e F), (B e E) e (C e D) cujas somas em cada heptágono têm como resultados números múltiplos de 7 que se encontram no vértice G.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do heptágono central têm-se as sete principais sequências numéricas do heptágono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 7 unidades.

No vértice G, onde estão os múltiplos de 7, só há um número primo, o próprio 7.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 1, 8, 15, 22, 29, ...

a) 8-1=7

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 2, 9, 16, 23, 30, ...

a) 9-2=7

2.3) Vértice C, tem-se a sequência de números ímpares e pares: 3, 10, 17, 24, 31, ...

a) 10-3=7

2.4) Vértice D, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 4, 11, 18, 25, 32, ...

a) 11-4=4

2.5) Vértice E, tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 5, 12, 19, 26, 33, ...

a) 11-5=6

2.6) Vértice F, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 6, 13, 20, 27, 34, ...

a) 12-6=6

2.7) Vértice G, tem-se a seguinte sequência dos múliplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...

a) 17-7=7

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS NO HEPTÁGONO
Ordem dos Vértices
Heptágonos A B C D E F G
1 1 2 3 4 5 6 7
2 8 9 10 11 12 13 14
3 15 16 17 18 19 20 21
4 22 23 24 25 26 27 28
5 29 30 31 32 33 34 35
6 36 37 38 39 40 41 42
7 43 44 45 46 47 48 49
8 50 51 52 53 54 55 56
9 57 58 59 60 61 62 63
10 64 65 66 67 68 69 70
11 71 72 73 74 75 76 77
12 78 79 80 81 82 83 84
13 85 86 87 88 89 90 91
14 92 93 94 95 96 97 98
15 99 100 101 102 103 104 105
16 106 107 108 109 110 111 112
17 113 114 115 116 117 118 119
18 120 121 122 123 124 125 126
19 127 128 129 130 131 132 133
20 134 135 136 137 138 139 140
21 141 142 143 144 145 146 147
22 148 149 150 151 152 153 154
23 155 156 157 158 159 160 161
24 162 163 164 165 166 167 168
25 169 170 171 172 173 174 175
26 176 177 178 179 180 181 182
27 183 184 185 186 187 188 189
28 190 191 192 193 194 195 196
29 197 198 199 200 201 202 203
30 204 205 206 207 208 209 210
31 211 212 213 214 215 216 217
32 218 219 220 221 222 223 224
33 225 226 227 228 229 230 231
34 232 233 234 235 236 237 238
35 239 240 241 242 243 244 245
36 246 247 248 249 250 251 252
37 253 254 255 256 257 258 259
38 260 261 262 263 264 265 266
39 267 268 269 270 271 272 273
40 274 275 276 277 278 279 280
41 281 282 283 284 285 286 287
42 288 289 290 291 292 293 294
43 295 296 297 298 299 300 301
44 302 303 304 305 306 307 308
45 309 310 311 312 313 314 315
46 316 317 318 319 320 321 322
47 323 324 325 326 327 328 329
48 330 331 332 333 334 335 336
49 337 338 339 340 341 342 343
50 344 345 346 347 348 349 350
               
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A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro heptágono.

1+2=3

O 3 está no vértice C do primeiro heptágono

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo heptágono.

8+9=17

O 17 está no vértice C do terceiro heptágono

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro heptágono.

15+16=31

O 31 está no vértice C do quinto heptágono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice D.

4.1) A soma dos vértices B e C do primeiro heptágono.

2+3=5

O 5 está no vértice E do primeiro heptágono

4.2) A soma dos vértices B e C do segundo heptágono.

9+10=19

O 19 está no vértice E do terceiro heptágono

4.3) A soma dos vértices B e C do terceiro heptágono.

16+17=33

O 33 está no vértice E do quinto heptágono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices C e D estão opostos ao vértice G, formando um triângulo (cor vermelho).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

5.1) A soma dos vértices C e D do primeiro heptágono.

3+4=7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono 1x7=7

5.2) A soma dos vértices C e D do segundo heptágono.

10+11=21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono 3x7=21

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice B

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números que se encontram no vértice B.

6.1) A soma dos vértices D e E do primeiro heptágono.

4+5=9

O 9 está no vértice B do segundo heptágono

6.2) A soma dos vértices D e E do segundo heptágono.

11+12=23

O 23 está no vértice B do quarto heptágono

6.3) A soma dos vértices D e E do terceiro heptágono.

18+19=37

O 37 está no vértice B do sexto heptágono

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice D

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números que se encontram no vértice D.

7.1) A soma dos vértices E e F do primeiro heptágono.

5+6=11

O 11 está no vértice D do segundo heptágono

7.2) A soma dos vértices E e F do segundo heptágono.

12+13=25

O 25 está no vértice D do quarto heptágono

7.3) A soma dos vértices E e F do terceiro heptágono.

19+20=39

O 29 está no vértice D do sexto heptágono

A soma dos vértices A e F, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices A e F, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices A, F e G formam um triângulo (cor azul).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

8.1) A soma dos vértices A e F do primeiro heptágono.

1+6=7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono. Obs: 1x7=7

8.2) A soma dos vértices A e F do segundo heptágono.

8+13=21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono. Obs: 3x7=21

A soma dos vértices B e E, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices B e E, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices B, F e G, formam um triângulo (cor verde).

Os resultados da soma dos vértices B e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

9.1) A soma dos vértices B e F do primeiro heptágono.

2+5=7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono.

Obs: 1x7=7

9.2) A soma dos vértices B e F do segundo heptágono.

9+12=21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono.

Obs: 3x7=21

As médias aritméticas

10.1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Heptágonos A C A e C Vértice B
1 1 3 4 2
2 8 10 18 9
3 15 17 32 16
4 22 24 46 23
5 29 31 60 30

10.2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Heptágonos B D B e D Vértice C
1 2 4 6 3
2 9 11 20 10
3 16 18 34 17
4 23 25 48 24
5 30 32 62 31

 

10.3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Heptágonos C E C e E Vértice D
1 3 5 8 4
2 10 12 22 11
3 17 19 36 18
4 24 26 50 25
5 31 33 64 32

10.4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Heptágonos D F D e F E
1 4 6 10 5
2 11 13 24 12
3 18 20 38 19
4 25 27 52 26
5 32 34 66 33

10.5) O vértice F é a média aritmética dos vértices E e G.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Heptágonos E G E e G Vértice F
1 5 7 12 6
2 12 14 26 13
3 19 21 40 20
4 26 28 54 27
5 33 35 68 34

Números figurados heptagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números heptagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 8, 22, 43, 106, 148, 197, 253, ... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 8, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 8 e 22 - 1 intervalo

entre 22 e 43 - 2 intervalos

entre 43 e 106 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados heptagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados nonagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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