Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o heptágono - 049

Heptágono é um polígono regular formado por 7 lados com a mesma medida e também por 7 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do heptágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários heptágonos equidistantes e numerando seus vértices em sentido horário a partir do heptágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no heptágono

Por ser um polígono com 7 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas por sequências com números ímpares e pares e sequências com pares e ímpares.

No vértice G, concentra-se os múltiplos de 7: (7, 14, 21, 28,...) e um só número primo, o próprio número 7.

Os demais números primos estão distribuídos de forma bem dispersa pelos outros 6 vértices dos heptágonos (círculos pretos).

Há três duplas de vértices: (A e F), (B e E) e (C e D) cujas somas em cada heptágono têm como resultados números múltiplos de 7 que se encontram no vértice G.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do heptágono central têm-se as sete principais sequências numéricas do heptágono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 7 unidades.

No vértice G, onde estão os múltiplos de 7, só há um número primo, o próprio 7.

1) Vértice A tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 1, 8, 15, 22, 29, ...

8 - 1 = 7

2) Vértice B tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 2, 9, 16, 23, 30, ...

9 - 2 = 7

3) Vértice C tem-se a sequência de números ímpares e pares: 3, 10, 17, 24, 31, ...

10 - 3 = 7

4) Vértice D tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 4, 11, 18, 25, 32, ...

11 - 4 = 4

5) Vértice E tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares: 5, 12, 19, 26, 33, ...

11 - 5 = 6

6) Vértice F tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 6, 13, 20, 27, 34, ...

12 - 6 = 6

7) Vértice G tem-se a seguinte sequência dos múliplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, ...

17 - 7 = 7

A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C.

1) A soma dos vértices A e B do primeiro heptágono.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro heptágono

2) A soma dos vértices A e B do segundo heptágono.

8 + 9 = 17

O 17 está no vértice C do terceiro heptágono

3) A soma dos vértices A e B do terceiro heptágono.

15 + 16 = 31

O 31 está no vértice C do quinto heptágono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice D.

1) A soma dos vértices B e C do primeiro heptágono.

2 + 3 = 5

O 5 está no vértice E do primeiro heptágono

2) A soma dos vértices B e C do segundo heptágono.

9 + 10 = 19

O 19 está no vértice E do terceiro heptágono

3) A soma dos vértices B e C do terceiro heptágono.

16 + 17 = 33

O 33 está no vértice E do quinto heptágono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices C e D estão opostos ao vértice G, formando um triângulo (cor vermelho).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices C e D do primeiro heptágono.

3 + 4 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono 1x7=7

2) A soma dos vértices C e D do segundo heptágono.

10 + 11 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono 3x7=21

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice B

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números que se encontram no vértice B.

1) A soma dos vértices D e E do primeiro heptágono.

4 + 5 = 9

O 9 está no vértice B do segundo heptágono

2) A soma dos vértices D e E do segundo heptágono.

11 + 12 = 23

O 23 está no vértice B do quarto heptágono

3) A soma dos vértices D e E do terceiro heptágono.

18 + 19 = 37

O 37 está no vértice B do sexto heptágono

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice D

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números que se encontram no vértice D.

1) A soma dos vértices E e F do primeiro heptágono.

5 + 6 = 11

O 11 está no vértice D do segundo heptágono

2) A soma dos vértices E e F do segundo heptágono.

12 + 13 = 25

O 25 está no vértice D do quarto heptágono

3) A soma dos vértices E e F do terceiro heptágono.

19 + 20 = 9

O 29 está no vértice D do sexto heptágono

A soma dos vértices A e F, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices A e F, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices A, F e G formam um triângulo (cor azul).

Os resultados da soma dos vértices A e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices A e F do primeiro heptágono.

1 + 6 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono. Obs: 1x7=7

2) A soma dos vértices A e F do segundo heptágono.

8 + 13 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono. Obs: 3x7=21

A soma dos vértices B e E, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices B e E, temos como resultados números múltiplos ímpares de 7 que se encontram no vértice G.

Os vértices B, F e G, formam um triângulo (cor verde).

Os resultados da soma dos vértices B e F aparecem no vértice G em heptágonos cujas posições são ímpares, que equivalem aos fatores ímpares que multiplicados por 7 produzem múltiplos ímpares.

1) A soma dos vértices B e F do primeiro heptágono.

2 + 5 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro heptágono.

Obs: 1 x 7 = 7

2) A soma dos vértices B e F do segundo heptágono.

9 + 12 = 21

O 21 está no vértice G do terceiro heptágono.

Obs: 3 x 7 = 21

As médias aritméticas

1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E.

4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F.

5) O vértice F é a média aritmética dos vértices E e G.

Números figurados heptagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números heptagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 8, 22, 43, 106, 148, 197, 253, ... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 8, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 8 e 22 - 1 intervalo

entre 22 e 43 - 2 intervalos

entre 43 e 106 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados heptagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados nonagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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