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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o octógono - 050

Octógono é um polígono regular formado por 7 lados com a mesma medida e também por 7 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do octógono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários octógonos equidistantes e numerando os seus vértices em sentido horário a partir do octógono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no octógono

numeros_primos_octogono

Por ser um polígono com 8 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas só com sequências de números ímpares e sequências só com pares.

A disposição dos números se apresenta da seguinte forma: 4 vértices com números pares e 4 vértices com números ímpares. No vértice B, há somente um único número primo par, o número 2.

Nos vértices A, C, E e G, concentra-se os demais números primos, distribuídos em forma de um "XIS" ou uma cruz enclinada a 45º.

Unindo-se os vértices A, C, E e G, formamos a figura de um quadrado. Há três duplas de vértices: (A e G), (B e F) e (C e E), cujas somas em cada octógono têm como resultados números múltiplo de 8 que se encontram no vértice H.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do octógono central têm-se oito principais sequências numéricas do octógono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 8 unidades.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 9, 17, 25, 33, ..., entre eles, números primos.

9-1=8

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência de números pares: 2, 10, 18, 26, 34, ...

10-2=8

2.3) Vértice C, tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 3, 11, 19, 27, 35, ..., entre eles, números primos.

11-3=8

2.4) Vértice D, tem-se a seguinte sequência de múltiplo de 4: 4, 12, 20, 28, 36, ..., originários de 4 multiplicados por fatores ímpares: (4x1=4), (4x3=12), etc.

12-4=8

2.5) Vértice E, tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 5, 13, 21, 29, 37, ..., entre eles, números primos.

13-5=8

2.6) Vértice F, tem-se a seguinte sequência de números pares: 6, 14, 22, 30, 38, ...

14-6=8

2.7) Vértice G, tem-se a seguinte sequência números ímpares: 7, 15, 23, 31, 39, ..., entre eles, números primos.

17-7=7

2.8) Vértice H, tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...

16-8=8

SEQUÊNCIAS NÚMÉRICAS
NO OCTÓGONO
Ordem dos Vértices
Octógonos A B C D E F G H
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 9 10 11 12 13 14 15 16
3 17 18 19 20 21 22 23 24
4 25 26 27 28 29 30 31 32
5 33 34 35 36 37 38 39 40
6 41 42 43 44 45 46 47 48
7 49 50 51 52 53 54 55 56
8 57 58 59 60 61 62 63 64
9 65 66 67 68 69 70 71 72
10 73 74 75 76 77 78 79 80
11 81 82 83 84 85 86 87 88
12 89 90 91 92 93 94 95 96
13 97 98 99 100 101 102 103 104
14 105 106 107 108 109 110 111 112
15 113 114 115 116 117 118 119 120
16 121 122 123 124 125 126 127 128
17 129 130 131 132 133 134 135 136
18 137 138 139 140 141 142 143 144
19 145 146 147 148 149 150 151 152
20 153 154 155 156 157 158 159 160
21 161 162 163 164 165 166 167 168
22 169 170 171 172 173 174 175 176
23 177 178 179 180 181 182 183 184
24 185 186 187 188 189 190 191 192
25 193 194 195 196 197 198 199 200
26 201 202 203 204 205 206 207 208
27 209 210 211 212 213 214 215 216
28 217 218 219 220 221 222 223 224
29 225 226 227 228 229 230 231 232
30 233 234 235 236 237 238 239 240
31 241 242 243 244 245 246 247 248
32 249 250 251 252 253 254 255 256
33 257 258 259 260 261 262 263 264
34 265 266 267 268 269 270 271 272
35 273 274 275 276 277 278 279 280
36 281 282 283 284 285 286 287 288
37 289 290 291 292 293 294 295 296
38 297 298 299 300 301 302 303 304
39 305 306 307 308 309 310 311 312
40 313 314 315 316 317 318 319 320
41 321 322 323 324 325 326 327 328
42 329 330 331 332 333 334 335 336
43 337 338 339 340 341 342 343 344
44 345 346 347 348 349 350 351 352
45 353 354 355 356 357 358 359 360
46 361 362 363 364 365 366 367 368
47 369 370 371 372 373 374 375 376
48 377 378 379 380 381 382 383 384
49 385 386 387 388 389 390 391 392
50 393 394 395 396 397 398 399 400
                 
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A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C de octógono de ordem ímpar.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro octógono.

1+2=3

O 3 está no vértice C do primeiro octógono

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo octógono.

9+10=19

O 19 está no vértice C do terceiro octógono

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro octógono.

17+18=35

O 35 está no vértice C do quinto octógono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice E de octógono de ordem ímpar.

4.1) A soma dos vértices B e C do primeiro octógono.

2+3=5

O 5 está no vértice D do primeiro octógono

4.2) A soma dos vértices B e C do segundo octógono.

10+11=21

O 21 está no vértice E do terceiro octógono

4.3) A soma dos vértices B e C do terceiro octógono.

18+19=37

O 37 está no vértice E do quinto octógono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice G de octógono de ordem ímpar.

5.1) A soma dos vértices C e D do primeiro octógono.

3+4=7

O 7 está no vértice G do primeiro octógono

5.2) A soma dos vértices C e D do segundo octógono.

11+12=23

O 23 está no vértice G do terceiro octógono

5.3) A soma dos vértices C e D do terceiro octógono.

19+20=39

O 39 está no vértice G do quinto octógono

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice A

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice A de octógono de ordem par.

6.1) A soma dos vértices D e E do primeiro octógono.

4+5=9

O 9 está no vértice A do segundo octógono

6.2) A soma dos vértices D e E do segundo octógono.

12+13=25

O 25 está no vértice A do quarto octógono

6.3) A soma dos vértices D e E do terceiro octógono.

20+21=41

O 41 está no vértice A do sexto octógono

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C de octógono de ordem par.

7.1) A soma dos vértices E e F do primeiro octógono.

5+6=11

O 11 está no vértice C do segundo octógono

7.2) A soma dos vértices E e F do segundo octógono.

13+14=27

O 27 está no vértice C do quarto octógono

7.3) A soma dos vértices E e F do terceiro octógono.

21+22=43

O 43 está no vértice C do sexto octógono

A soma dos vértices F e G, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices F e G, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice E de octógono de ordem par.

8.1) A soma dos vértices F e G do primeiro octógono.

6+7=13

O 13 está no vértice E do segundo octógono

8.2) A soma dos vértices F e G do segundo octógono.

14+15=29

O 29 está no vértice E do quarto octógono

8.3) A soma dos vértices F e G do terceiro octógono.

22+23=45

O 45 está no vértice E do sexto octógono

A soma dos vértices G e H, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices G e H, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice G de octógono de ordem par.

9.1) A soma dos vértices G e H do primeiro octógono.

7+8=15

O 15 está no vértice G do segundo octógono

9.2) A soma dos vértices G e G do segundo octógono.

15+16=31

O 31 está no vértice G do quarto octógono

9.3) A soma dos vértices G e H do terceiro octógono.

23+24=47

O 47 está no vértice G do sexto octógono

As médias aritméticas

10.1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógonos A C A e C Vértice B
1 1 3 4 2
2 9 11 20 10
3 17 19 36 18
4 25 27 52 26
5 33 35 68 34

10.2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógonos B D B e D Vértice B
1 2 4 6 3
2 10 12 22 11
3 18 20 38 19
4 26 28 54 27
5 34 36 70 35

10.3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógonos C E C e E Vértice D
1 3 5 8 4
2 11 13 24 12
3 19 21 40 20
4 27 29 56 28
5 35 37 72 36

10.4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F.

Ordem Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógono D F D e F Vértice E
1 4 6 10 5
2 12 14 26 13
3 20 22 42 21
4 28 30 58 29
5 36 38 74 37

10.5) O vértice F é a média aritmética dos vértices E e G.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógonos E G E e G Vértice F
1 5 7 12 6
2 13 15 28 14
3 21 23 44 22
4 29 31 60 30
5 37 39 76 38

10.6) O vértice G é a média aritmética dos vértices F e H.

Ordem dos Vértices Soma
Vértices
Média
Aritmética
Octógonos F H F e H Vértice G
1 6 8 14 7
2 14 16 30 15
3 22 24 46 23
4 30 32 62 31
5 38 40 78 39

Números figurados octogonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números octogonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 8, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 9 e 25 - 1 intervalo

entre 25 e 49 - 2 intervalos

entre 49 e 81 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Interessante observar que nos números figurados octogonais centrados há ocorrências de números quadrados perfeitos ímpares: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 19, 225, 289,...

Os números figurados octagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados decagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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