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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o octógono - 050

Octógono é um polígono regular formado por 8 lados com a mesma medida e também por 8 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do octógono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários octógonos equidistantes e numerando os seus vértices em sentido horário a partir do octógono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no octógono

Números primos e figuras geométricas - o octógono

Por ser um polígono com 8 lados, cada sequência que parte de cada vértice são formadas só com sequências de números ímpares e sequências só com pares.

A disposição dos números se apresenta da seguinte forma: 4 vértices com números pares e 4 vértices com números ímpares. No vértice B, há somente um único número primo par, o número 2.

Nos vértices A, C, E e G, concentra-se os demais números primos, distribuídos em forma de um "XIS" ou uma cruz enclinada a 45º.

Unindo-se os vértices A, C, E e G, formamos a figura de um quadrado. Há três duplas de vértices: (A e G), (B e F) e (C e E), cujas somas em cada octógono têm como resultados números múltiplo de 8 que se encontram no vértice H.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do octógono central têm-se oito principais sequências numéricas do octógono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 8 unidades.

1) Vértice A tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 9, 17, 25, 33, ..., entre eles, números primos.

9 - 1 = 8

2) Vértice B tem-se a seguinte sequência de números pares: 2, 10, 18, 26, 34, ...

10 - 2 = 8

3) Vértice C tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 3, 11, 19, 27, 35, ..., entre eles, números primos.

11 - 3 = 8

4) Vértice D tem-se a seguinte sequência de múltiplo de 4: 4, 12, 20, 28, 36, ..., originários de 4 multiplicados por fatores ímpares: (4x1=4), (4x3=12), etc.

12 - 4 = 8

5) Vértice E tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 5, 13, 21, 29, 37, ..., entre eles, números primos.

13 - 5 = 8

6) Vértice F tem-se a seguinte sequência de números pares: 6, 14, 22, 30, 38, ...

14 - 6 = 8

7) Vértice G, tem-se a seguinte sequência números ímpares: 7, 15, 23, 31, 39, ..., entre eles, números primos.

17 - 7 = 7

8) Vértice H tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...

16 - 8 = 8

Octógono e sequências numéricas

Ordem dos	Vértices
Octógonos	A	B	C	D	E	F	G	H

1	1	2	3	4	5	6	7	8
2	9	10	11	12	13	14	15	16
3	17	18	19	20	21	22	23	24
4	25	26	27	28	29	30	31	32
5	33	34	35	36	37	38	39	40
6	41	42	43	44	45	46	47	48
7	49	50	51	52	53	54	55	56
8	57	58	59	60	61	62	63	64
9	65	66	67	68	69	70	71	72
10	73	74	75	76	77	78	79	80
11	81	82	83	84	85	86	87	88
12	89	90	91	92	93	94	95	96
13	97	98	99	100	101	102	103	104
14	105	106	107	108	109	110	111	112
15	113	114	115	116	117	118	119	120
16	121	122	123	124	125	126	127	128
17	129	130	131	132	133	134	135	136
18	137	138	139	140	141	142	143	144
19	145	146	147	148	149	150	151	152
20	153	154	155	156	157	158	159	160
21	161	162	163	164	165	166	167	168
22	169	170	171	172	173	174	175	176
23	177	178	179	180	181	182	183	184
24	185	186	187	188	189	190	191	192
25	193	194	195	196	197	198	199	200
26	201	202	203	204	205	206	207	208
27	209	210	211	212	213	214	215	216
28	217	218	219	220	221	222	223	224
29	225	226	227	228	229	230	231	232
30	233	234	235	236	237	238	239	240
31	241	242	243	244	245	246	247	248
32	249	250	251	252	253	254	255	256
33	257	258	259	260	261	262	263	264
34	265	266	267	268	269	270	271	272
35	273	274	275	276	277	278	279	280
36	281	282	283	284	285	286	287	288
37	289	290	291	292	293	294	295	296
38	297	298	299	300	301	302	303	304
39	305	306	307	308	309	310	311	312
40	313	314	315	316	317	318	319	320
41	321	322	323	324	325	326	327	328
42	329	330	331	332	333	334	335	336
43	337	338	339	340	341	342	343	344
44	345	346	347	348	349	350	351	352
45	353	354	355	356	357	358	359	360
46	361	362	363	364	365	366	367	368
47	369	370	371	372	373	374	375	376
48	377	378	379	380	381	382	383	384
49	385	386	387	388	389	390	391	392
50	393	394	395	396	397	398	399	400

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A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C de octógono de ordem ímpar.

1) A soma dos vértices A e B do primeiro octógono.

1 + 2 = 3

O 3 está no vértice C do primeiro octógono

2) A soma dos vértices A e B do segundo octógono.

9 + 10 = 19

O 19 está no vértice C do terceiro octógono

3) A soma dos vértices A e B do terceiro octógono.

17 + 18 = 35

O 35 está no vértice C do quinto octógono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice E de octógono de ordem ímpar.

1) A soma dos vértices B e C do primeiro octógono.

2 + 3 = 5

O 5 está no vértice D do primeiro octógono

2) A soma dos vértices B e C do segundo octógono.

10 + 11 = 21

O 21 está no vértice E do terceiro octógono

3) A soma dos vértices B e C do terceiro octógono.

18 + 19 = 37

O 37 está no vértice E do quinto octógono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice G de octógono de ordem ímpar.

1) A soma dos vértices C e D do primeiro octógono.

3 + 4 = 7

O 7 está no vértice G do primeiro octógono

2) A soma dos vértices C e D do segundo octógono.

11 + 12 = 23

O 23 está no vértice G do terceiro octógono

3) A soma dos vértices C e D do terceiro octógono.

19 + 20 = 39

O 39 está no vértice G do quinto octógono

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice A

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice A de octógono de ordem par.

1) A soma dos vértices D e E do primeiro octógono.

4 + 5 = 9

O 9 está no vértice A do segundo octógono

2) A soma dos vértices D e E do segundo octógono.

12 + 13 = 25

O 25 está no vértice A do quarto octógono

3) A soma dos vértices D e E do terceiro octógono.

20 + 21 = 41

O 41 está no vértice A do sexto octógono

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice C de octógono de ordem par.

1) A soma dos vértices E e F do primeiro octógono.

5 + 6 = 11

O 11 está no vértice C do segundo octógono

2) A soma dos vértices E e F do segundo octógono.

13 + 14 = 27

O 27 está no vértice C do quarto octógono

3) A soma dos vértices E e F do terceiro octógono.

21 + 22 = 43

O 43 está no vértice C do sexto octógono

A soma dos vértices F e G, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices F e G, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice E de octógono de ordem par.

1) A soma dos vértices F e G do primeiro octógono.

6 + 7 = 13

O 13 está no vértice E do segundo octógono

2) A soma dos vértices F e G do segundo octógono.

14 + 15 = 29

O 29 está no vértice E do quarto octógono

3) A soma dos vértices F e G do terceiro octógono.

22 + 23 = 45

O 45 está no vértice E do sexto octógono

A soma dos vértices G e H, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices G e H, temos como resultados números ímpares que se encontram no vértice G de octógono de ordem par.

1) A soma dos vértices G e H do primeiro octógono.

7 + 8 = 15

O 15 está no vértice G do segundo octógono

2) A soma dos vértices G e G do segundo octógono.

15 + 16 = 31

O 31 está no vértice G do quarto octógono

3) A soma dos vértices G e H do terceiro octógono.

23 + 24 = 47

O 47 está no vértice G do sexto octógono

As médias aritméticas

1) O vértice B é a média aritmética dos vértices A e C.

Ordem dos	Vértices		Soma Vértices	Média Aritmética

Octógonos	A	C	A e C	Vértice B

1	1	3	4	2
2	9	11	20	10
3	17	19	36	18
4	25	27	52	26
5	33	35	68	34

2) O vértice C é a média aritmética dos vértices B e D.

Ordem dos	Vértices	Soma Vértices	Média Aritmética

Octógonos	B	D	B e D	Vértice B

1	2	4	6	3
2	10	12	22	11
3	18	20	38	19
4	26	28	54	27
5	34	36	70	35

3) O vértice D é a média aritmética dos vértices C e E.

Ordem dos	Vértices		Soma Vértices	Média Aritmética

Octógonos	C	E	C e E	Vértice D

1	3	5	8	4
2	11	13	24	12
3	19	21	40	20
4	27	29	56	28
5	35	37	72	36

4) O vértice E é a média aritmética dos vértices D e F.

Ordem	Vértices		Soma Vértices	Média Aritmética

Octógono	D	F	D e F	Vértice E

1	4	6	10	5
2	12	14	26	13
3	20	22	42	21
4	28	30	58	29
5	36	38	74	37

5) O vértice F é a média aritmética dos vértices E e G.

Ordem dos	Vértices		Soma Vértices	Média Aritmética

Octógonos	E	G	E e G	Vértice F

1	5	7	12	6
2	13	15	28	14
3	21	23	44	22
4	29	31	60	30
5	37	39	76	38

6) O vértice G é a média aritmética dos vértices F e H.

Ordem dos	Vértices		Soma Vértices	Média Aritmética

Octógonos	F	H	F e H	Vértice G

1	6	8	14	7
2	14	16	30	15
3	22	24	46	23
4	30	32	62	31
5	38	40	78	39

Números figurados octogonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números octogonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 8, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 9 e 25 - 1 intervalo

entre 25 e 49 - 2 intervalos

entre 49 e 81 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Interessante observar que nos números figurados octogonais centrados há ocorrências de números quadrados perfeitos ímpares: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 19, 225, 289,...

Os números figurados octagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados decagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva