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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e figuras geométricas - o eneágono - 051

Eneágono é um polígono regular formado por 9 lados com a mesma medida e também por 9 ângulos internos com a mesma medida.

Este estudo tem como base a figura geométrica do eneágono e as sequências numéricas originárias a partir de sua forma.

Desenhando-se vários eneágonos concêntricos e numerando os seus vértices em sentido horário a partir do eneágono central, obtêm-se várias sequências numéricas que veremos a seguir.

As sequências numéricas no eneágono

numros_primos_eneagono

A disposição dos números a partir de cada vértice, apresenta-se de forma mesclada, isto é, há vértices com alternância entre números impares e pares e há vértices com alternância entre pares e ímpares.

Uma outra disposição interessante que caracteriza a distribuição dos números no eneágono são os multiplos de 3.

Unindo-se os vértices C, F e I, forma-se uma triangulação de números múltiplos de 3, de forma que nesta triangulação, apenas apareça um só número primo, o número 3 no vértice C.

No vértice I, há números que são simultaneamente múltiplos de 3 e de 9.

O eneágono por ser um polígono regular de 9 lados e 9 ser um múltiplo de 3, os múltiplos de 3 são distribuídos em 3 vértices equitativamente a medida que se acrenta mais eneágonos, formando um triângulo.

Excluindo-se os números múltiplos de 3 e conservando ele próprio, excluindo-se os demais números pares de todos os vértices, conseguimos ter uma visão geral de como os números primos estão distribuídos.

O número primo 3 aparece em um só vértice e os demais primos aparecem totalmente dispersos, distribuídos nos outros 6 vértices.

Há três duplas de vértices: (A e H), (B e G) e (D e E), cujas somas em cada eneágono têm como resultados números ímpares múltiplos de 9 que se encontram no vértice I em eneágonos de ordem ímpar.

As sequências numéricas principais

Partindo-se de cada vértice do eneágono central têm-se as nove principais sequências numéricas do eneágono.

A diferença entre um número posterior e anterior de cada vértice é de 9 unidades.

2.1) Vértice A, tem-se a seguinte sequência de números ímpares: 1, 10, 19, 28, 37, ..., entre eles, números primos.

10-1=9

2.2) Vértice B, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares : 2, 11, 20, 29, 38, ..., entre eles, números primos.

11-2=9

2.3) Vértice C, tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3 : 3, 12, 21, 30, 39, ...

12-3=9

2.4) Vértice D, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares : 4, 13, 22, 31, 40, ..., entre eles, números primos.

13-4=9

2.5) Vértice E, tem-se a seguinte sequência de números ímpares e pares : 5, 14, 23, 32, 41, ..., entre eles, números primos.

14-5=9

2.6) Vértice F, tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3: 6, 15, 24, 33, 42, ...

15-6=9

2.7) Vértice G, tem-se a seguinte sequência números ímpares e pares 7, 16, 25, 34, 43, ..., entre eles, números primos.

16-7=9

2.8) Vértice H, tem-se a seguinte sequência de números pares e ímpares: 8, 17, 26, 35, 44, ..., entre eles, números primos.

16-8=8

2.9) Vértice I, tem-se a seguinte sequência dos múltiplos de 3 e de 9: 9, 18, 27, 36, 45, ..., entre eles, números primos.

18-9=9

Sequências numéricas no Eneágono
   
Ordem dos Vértices
Eneágono A B C D E F G H I
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60 61 62 63
64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81
10º 82 83 84 85 86 87 88 89 90
11º 91 92 93 94 95 96 97 98 99
12º 100 101 102 103 104 105 106 107 108
13º 109 110 111 112 113 114 115 116 117
14º 118 119 120 121 122 123 124 125 126
15º 127 128 129 130 131 132 133 134 135
16º 136 137 138 139 140 141 142 143 144
17º 145 146 147 148 149 150 151 152 153
18º 154 155 156 157 158 159 160 161 162
19º 163 164 165 166 167 168 169 170 171
20º 172 173 174 175 176 177 178 179 180
21º 181 182 183 184 185 186 187 188 189
22º 190 191 192 193 194 195 196 197 198
23º 199 200 201 202 203 204 205 206 207
24º 208 209 210 211 212 213 214 215 216
25º 217 218 219 220 221 222 223 224 225
26 226 227 228 229 230 231 232 233 234
27º 235 236 237 238 239 240 241 242 243
28º 244 245 246 247 248 249 250 251 252
29º 253 254 255 256 257 258 259 260 261
30º 262 263 264 265 266 267 268 269 270
31º 271 272 273 274 275 276 277 278 279
32º 280 281 282 283 284 285 286 287 288
33º 289 290 291 292 293 294 295 296 297
34º 298 299 300 301 302 303 304 305 306
35º 307 308 309 310 311 312 313 314 315
36º 316 317 318 319 320 321 322 323 324
37º 325 326 327 328 329 330 331 332 333
38º 334 335 336 337 338 339 340 341 342
39º 343 344 345 346 347 348 349 350 351
40º 352 353 354 355 356 357 358 359 360
41º 361 362 363 364 365 366 367 368 369
42º 370 371 372 373 374 375 376 377 378
43º 379 380 381 382 383 384 385 386 387
44º 388 389 390 391 392 393 394 395 396
45º 397 398 399 400 401 402 403 404 405
46º 406 407 408 409 410 411 412 413 414
47º 415 416 417 418 419 420 421 422 423
48º 424 425 426 427 428 429 430 431 432
49º 433 434 435 436 437 438 439 440 441
50º 442 443 444 445 446 447 448 449 450
                   
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A soma dos vértices A e B, corresponde a um número do vértice C

Somando-se números dos vértices A e B, temos como resultados números múltiplos ímpares de 3 que se encontram no vértice C de eneágono de ordem ímpar.

3.1) A soma dos vértices A e B do primeiro eneágono.

1+2=3

O 3 está no vértice C do primeiro eneágono

3.2) A soma dos vértices A e B do segundo eneágono.

10+11=21

O 21 está no vértice C do terceiro eneágono

3.3) A soma dos vértices A e B do terceiro eneágono.

19+20=39

O 39 está no vértice C do quinto eneágono

A soma dos vértices B e C, corresponde a um número do vértice E

Somando-se números dos vértices B e C, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice E em eneágonos de ordem ímpar.

4.1) A soma dos vértices B e C do primeiro eneágono.

2+3=5

O 5 está no vértice E do primeiro eneágono

4.2) A soma dos vértices B e C do segundo eneágono.

11+12=23

O 23 está no vértice E do terceiro eneágono

4.3) A soma dos vértices B e C do terceiro eneágono.

20+21=41

O 41 está no vértice E do quinto eneágono

A soma dos vértices C e D, corresponde a um número do vértice G

Somando-se números dos vértices C e D, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice G em eneágonos de ordem ímpar.

Soma dos vértices C e D
correspondem ao vértice G
       
Ordem dos Vértices Soma
Ordem dos
Eneágonos C D Vértice G Eneágonos
         
3 4 7
12 13 25
21 22 43
30 31 61
39 40 79

A soma dos vértices D e E, corresponde a um número do vértice I

Somando-se números dos vértices D e E, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice I em eneágonos de ordem ímpar.

Soma dos vértices D e E
correspondem ao vértice I
         
Ordem dos Vértices
Soma Ordem dos
Eneágonos D E Vértice I Eneágonos
         
4 5 9
13 14 27
22 23 45
31 32 63
40 41 81

A soma dos vértices E e F, corresponde a um número do vértice B

Somando-se números dos vértices E e F, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice B em eneágonos de ordem par.

Soma dos vértices E e F
correspondem ao vértice B
         
Ordem dos Vértices Soma Ordem dos
Eneágonos E F Vértice B Eneágonos
         
5 6 11
14 15 29
23 24 47
32 33 65
41 42 83 10º

A soma dos vértices F e G, corresponde a um número do vértice D

Somando-se números dos vértices F e G, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice D em eneágonos de ordem par.

Soma dos vértices F e G
correspondem ao vértice D
         
Ordem dos Vértices Soma Ordem dos
Eneágonos F G Vértice D Eneágonos
         
6 7 13
15 16 31
24 25 49
33 34 67
42 43 85 10º

A soma dos vértices G e H, corresponde a um número do vértice F

Somando-se números dos vértices G e H, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice F em eneágonos de ordem par.

Soma dos vértices G e H
correspondem ao vértice F
         
Ordem dos Vértices Soma Ordem dos
Eneágonos G H Vértice F Eneágonos
         
7 8 15
16 17 33
25 26 51
34 35 69
43 44 87 10º

A soma dos vértices H e I, corresponde a um número do vértice H

Somando-se números dos vértices H e I, temos como resultados números ímpares, entre eles, números primos que se encontram no vértice H em eneágonos de ordem par.

Soma dos vértices H e I correspondem ao vértice H
         
Ordem dos Vértices Soma Ordem dos
Eneágonos H I Vértice H Eneágonos
         
8 9 17
17 18 35
26 27 53
35 36 71
44 45 89 10º

Números figurados nonagonais centrados

No vértice A, há a ocorrência de termos da sequência dos números nonagonais centrados intercalados entre seus termos:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325... (células amarela na tabela acima).

O intervalo entre um termo e outro a partir do termo 10, na tabela acima, ocorre a sequência dos números naturais.

entre 10 e 28 - 1 intervalo

entre 28 e 55 - 2 intervalos

entre 55 e 91 - 3 intervalos

e assim sucessivamente...

Os números figurados nonagonais centrados também podem ser obtidos da diferença entre os termos da sequência dos números figurados hendecagonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais).

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Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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