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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo inscrito em retângulo áureo - 148

Revendo o vídeo da OBEMEP 2006 - ESTÁGIO DOS PROFESSORES PREMIADOS - PALESTRA: O NÚMERO DE OURO - PROFESSOR MICHEL SPIRA, vídeo este publicado no Canal do Youtube: Conteúdo Digitais, postado em 2011.

Na Palestra, o Professor Michel Spira apresenta vários exemplos com equações algébricas e modelos matemáticos onde ocorrem O Número de Ouro, Secção de Ouro, Número Dourado.

Um detalhe me chamou a atenção, aos 42 minutos da palestra, o Professor apresenta um modelo matemático com um triângulo inscrito em um retângulo arbitrário:

a) desenha-se um retângulo de medidas quaisquer;

b) o triângulo tem que estar com um dos vértices em um dos vértices do retângulo;

c) os dois outros vértices do triângulo tem que estar: um na base e o outro na lateral do retângulo;

d) aparecem mais três novos triângulos e a pergunta é: Quando os três novos triângulos têm as mesmas áreas?

O Professor dá a seguinte resposta: "Os três novos triângulos terão as mesmas áreas quando dois vértices do triângulo inscrito estiverem no ponto áureo da base e no ponto áureo da lateral do retângulo".

Então fiz alguns modelos matemáticos para comprovar se um triângulo inscrito em um retângulo, criam três novos triângulos de mesmas áreas.

Triângulo inscrito em um retângulo - modelo 1

Na construção do modelo-1, originam-se dois novos triângulos com a metade da área do triângulo inscrito.

Juntando-se o dois novos triângulos, formamos um triângulo de mesma área que o triângulo inscrito.

triangulo inscrito em um retangulo

Triângulo inscrito em um retângulo - modelo 2

Na construção do modelo-2, originam-se dois novos triângulos com a metade da área do triângulo inscrito.

Juntando-se o dois triângulos, formamos um triângulo de mesma área que o triângulo inscrito.

triangulo inscrito em um retângulo

Triângulo inscrito em um retângulo - modelo 3

Na construção do modelo-3, um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre o ponto médio da base do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre o ponto médio da lateral direta do retângulo.

Originam-se três novo triângulos: 1, 2 e 3, os quais, só dois têm as mesmas áreas.

triangulo inscrito em um retângulo

Triângulo inscrito em um retângulo - modelo 4

Na construção do modelo-4, um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre 1/4 da base do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre 1/4 da lateral direta do retângulo.

Originam-se três novos triângulos: 1, 2 e 3 de áreas diferentes.

triangulo inscrito em um retangulo

Triângulo inscrito em um retângulo áureo - modelo 5

Na construção do modelo - 5, desenhou-se um retângulo áureo a partir de um quadrado de lado de 10 cm.

Um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre o ponto áureo da base do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre o ponto áreo da lateral direta do retângulo.

Originam-se três novo triângulos: 1, 2 e 3 de áreas diferentes.

triangulo inscrito em um retangulo aureo

Triângulo inscrito em um retângulo áureo de Fibonacci - modelo 6

Na construção do modelo - 6, desenhou-se um retângulo áureo com as medidas 13 cm x 8 cm (Sequência de Fibonacci) a partir de um quadrado de lado de 8 cm.

Um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre o ponto áureo da base do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre o ponto áreo da lateral direta do retângulo.

Originam-se três novo triângulos: 1, 2 e 3 de áreas diferentes.

triangulo inscrito em um retangulo de fibonacci

Triângulo inscrito em um retângulo arbitrário - modelo 7

Na construção do modelo-7, desenhou-se um retângulo com as medidas 10 cm x 5 cm.

Dividiu-se tanto o comprimento e a largura por 1,6 e marcando-se os pontos áureos.

Um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre o ponto áureo da base do retângulo.

Observação: a medida de 3,8 cm parte do vértice esquerdo inferior do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre o ponto áreo da lateral direta do retângulo.

Originaram-se três novos triângulos: 1 e 2 com área iguais e o 3 com 0,1 de diferença.

triangulo incrito em retangulo arbritario

Triângulo isóceles inscrito em um retângulo áureo - modelo 8

Na construção do modelo - 8, desenhou-se um retângulo áureo a partir de um quadrado de lado de 10 cm.

Um dos vértices do triângulo inscrito parte de um dos vértice do retângulo.

O segundo vértice do triângulo está sobre o ponto áureo da base do retângulo

Observação: a medida de 6,1 cm parte do vertice esquerdo inferior do retângulo.

O terceiro vértice do triângulo está sobre o ponto áureo da lateral direta do retângulo.

Originaram-se três novos triângulos: 1, 2 e 3 de áreas iguais.

O triângulo central é um triângulo retângulo isóceles.

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

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