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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo áureo inscrito em um quadrado - 149

O presente estudo faz demonstrações de construções geométricas de divisões de um quadrado de onde se originam dinamicamente novos quadrados e novos triângulos retângulos e também de triângulos áureos inscritos em um quadrado formando pontos de intersecções e eixos de simetria formando novos quadrados e novos triângulos áureos.

Quadrado e triângulo retângulo isóceles

A partir de um quadrado e traçando-se:

a) uma diagonal, obtem-se dois triângulos retângulos isóceles;

b) duas diagonais, obtem-se quatro triângulos retângulos isóceles;

c) seguimentos a partir dos pontos médios, obtemos novos quadrados e triângulos retângulos isóceles;

d) seguimentos de um ponto médio a um vértice de qualquer oitava parte do quadrado obtêm-se outros triângulos retângulos isóceles.

triângulo áureo - quadrado e triângulo retangulo isoceles

Quadrados a partir dos pontos médios dos lados dos quadrados

Interessante observar nesta construção geométrica é que temos duas séries de quadrados; uns que vão diminuindo em relação a largura e outros em relação a diagonal na proporção de 1:2 e que também se originam novos triângulos retângulos isóceles.

triângulo áureo - quadrado e triangulos retangulos isoceles

Quadrado inscrito num triângulo retângulo isóceles

A área do quadrado inscrito em um triângulo retângulo isóceles corresponde a metade da área de um triângulo retângulo isóceles originado de um quadrado.

a) área do triângulo retângulo isóceles

10 x 10 = 100

100 : 2 = 50

b) área do quadrado incrito

5 x 5 = 25

triângulo áureo - quadrado inscrito num triangulo retangulo isoceles

Triângulo Áureo

Triângulo Áureo, também chamado de Triângulo de Ouro, Triângulo Dourado ou Triângulo Sublime aparece naturalmente no pentagrama; estrela de cinco pontas quando desenhada a partir de um pentágono e no decágono.

O Triângulo Áureo possui dois ângulos de 72 graus e um de 36 graus e o comprimento do lado divido pela sua base tem como resultado, um número próximo ao número áureo: 1,618.

triangulo aureo

Triângulo Áureo inscrito em um quadrado

Pode-se inscrever um Triângulo Áureo em um quadrado da seguine forma:

a) marca-se o ponto médio da base e da lateral direita ou esqueda do quadrado;

b) traçam-se três seguimentos; um do vértice ao ponto médio da base, um do vértice ao ponto médio da lateral direita e outro seguimento ligando o ponto médio da base e ao ponto médio da lateral direita.

triangulo aureo inscrito em um quadrado

Triângulos Áureos inscritos em quadrados

Inscrevendo-se 4 triângulos áureos em um quadrado, criam-se pontos de intesecções nos quais são possíveis passarem duas linhas paralelas horizontais e duas linhas paralelas verticais, de modo que obtemos mais 9 pequenos quadrados com as seguintes características:

a) os quadrados dos vértices possuem um triângulo áureo inscrito;

b) os quadrados dos meios possuem dois triângulos áureos inscritos;

c) o quadrado central não possui nenhum triângulo áureo inscrito.

Nesta construção, nota-se uma belíssima simetria geométrica, entre pontos, ângulos, linhas e figuras formando um perfeito equilíbrio.

triangulos aureos inscritos em quadrados

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

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