O presente estudo faz demonstrações de construções geométricas de divisões de um quadrado de onde se originam dinamicamente novos quadrados e novos triângulos retângulos e também de triângulos áureos inscritos em um quadrado formando pontos de intersecções e eixos de simetria formando novos quadrados e novos triângulos áureos.
A partir de um quadrado e traçando-se:
a) uma diagonal, obtem-se dois triângulos retângulos isóceles;
b) duas diagonais, obtem-se quatro triângulos retângulos isóceles;
c) seguimentos a partir dos pontos médios, obtemos novos quadrados e triângulos retângulos isóceles;
d) seguimentos de um ponto médio a um vértice de qualquer oitava parte do quadrado obtêm-se outros triângulos retângulos isóceles.
Interessante observar nesta construção geométrica é que temos duas séries de quadrados; uns que vão diminuindo em relação a largura e outros em relação a diagonal na proporção de 1:2 e que também se originam novos triângulos retângulos isóceles.
A área do quadrado inscrito em um triângulo retângulo isóceles corresponde a metade da área de um triângulo retângulo isóceles originado de um quadrado.
a) área do triângulo retângulo isóceles
10 x 10 = 100
100 : 2 = 50
b) área do quadrado incrito
5 x 5 = 25
Triângulo Áureo, também chamado de Triângulo de Ouro, Triângulo Dourado ou Triângulo Sublime aparece naturalmente no pentagrama; estrela de cinco pontas quando desenhada a partir de um pentágono e no decágono.
O Triângulo Áureo possui dois ângulos de 72 graus e um de 36 graus e o comprimento do lado divido pela sua base tem como resultado, um número próximo ao número áureo: 1,618.
Pode-se inscrever um Triângulo Áureo em um quadrado da seguine forma:
a) marca-se o ponto médio da base e da lateral direita ou esqueda do quadrado;
b) traçam-se três seguimentos; um do vértice ao ponto médio da base, um do vértice ao ponto médio da lateral direita e outro seguimento ligando o ponto médio da base e ao ponto médio da lateral direita.
Inscrevendo-se 4 triângulos áureos em um quadrado, criam-se pontos de intesecções nos quais são possíveis passarem duas linhas paralelas horizontais e duas linhas paralelas verticais, de modo que obtemos mais 9 pequenos quadrados com as seguintes características:
a) os quadrados dos vértices possuem um triângulo áureo inscrito;
b) os quadrados dos meios possuem dois triângulos áureos inscritos;
c) o quadrado central não possui nenhum triângulo áureo inscrito.
Nesta construção, nota-se uma belíssima simetria geométrica, entre pontos, ângulos, linhas e figuras formando um perfeito equilíbrio.
Autor: Ricardo Silva - novembro/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
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