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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo áureo inscrito em um quadrado - 149

O presente estudo faz demonstrações de construções geométricas de divisões de um quadrado de onde se originam dinamicamente novos quadrados e novos triângulos retângulos e também de triângulos áureos inscritos em um quadrado formando pontos de intersecções e eixos de simetria formando novos quadrados e novos triângulos áureos.

Quadrado e triângulo retângulo isóceles

A partir de um quadrado e traçando-se:

a) uma diagonal, obtem-se dois triângulos retângulos isóceles;

b) duas diagonais, obtem-se quatro triângulos retângulos isóceles;

c) seguimentos a partir dos pontos médios, obtemos novos quadrados e triângulos retângulos isóceles;

d) seguimentos de um ponto médio a um vértice de qualquer oitava parte do quadrado obtêm-se outros triângulos retângulos isóceles.

triângulo áureo - quadrado e triângulo retangulo isoceles

Quadrados a partir dos pontos médios dos lados dos quadrados

Interessante observar nesta construção geométrica é que temos duas séries de quadrados; uns que vão diminuindo em relação a largura e outros em relação a diagonal na proporção de 1:2 e que também se originam novos triângulos retângulos isóceles.

triângulo áureo - quadrado e triangulos retangulos isoceles

Quadrado inscrito num triângulo retângulo isóceles

A área do quadrado inscrito em um triângulo retângulo isóceles corresponde a metade da área de um triângulo retângulo isóceles originado de um quadrado.

a) área do triângulo retângulo isóceles

10 x 10 = 100

100 : 2 = 50

b) área do quadrado incrito

5 x 5 = 25

triângulo áureo - quadrado inscrito num triangulo retangulo isoceles

Triângulo Áureo

Triângulo Áureo, também chamado de Triângulo de Ouro, Triângulo Dourado ou Triângulo Sublime aparece naturalmente no pentagrama; estrela de cinco pontas quando desenhada a partir de um pentágono e no decágono.

O Triângulo Áureo possui dois ângulos de 72 graus e um de 36 graus e o comprimento do lado divido pela sua base tem como resultado, um número próximo ao número áureo: 1,618.

triangulo aureo

Triângulo Áureo inscrito em um quadrado

Pode-se inscrever um Triângulo Áureo em um quadrado da seguine forma:

a) marca-se o ponto médio da base e da lateral direita ou esqueda do quadrado;

b) traçam-se três seguimentos; um do vértice ao ponto médio da base, um do vértice ao ponto médio da lateral direita e outro seguimento ligando o ponto médio da base e ao ponto médio da lateral direita.

triangulo aureo inscrito em um quadrado

Triângulos Áureos inscritos em quadrados

Inscrevendo-se 4 triângulos áureos em um quadrado, criam-se pontos de intesecções nos quais são possíveis passarem duas linhas paralelas horizontais e duas linhas paralelas verticais, de modo que obtemos mais 9 pequenos quadrados com as seguintes características:

a) os quadrados dos vértices possuem um triângulo áureo inscrito;

b) os quadrados dos meios possuem dois triângulos áureos inscritos;

c) o quadrado central não possui nenhum triângulo áureo inscrito.

Nesta construção, nota-se uma belíssima simetria geométrica, entre pontos, ângulos, linhas e figuras formando um perfeito equilíbrio.

triangulos aureos inscritos em quadrados

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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