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Triângulo inscrito em um quadrado - 116

Através de alguns métodos são possíveis fazer construções geométricas nas quais podemos inscrever um triângulo em um quadrado, neste estudo são apresentados técnicas interessantes com as quais podem-se contruir passatempos tipo Quebra-cabeça semelhante ao Tangran e construir triângulo equilátero de mesma área de um quadrado.

Quadrado que se transforma em triângulo

No livro DESIGN E COMUNICAÇÃO VISUAL, autor BRUNO MUNARI, Editora Martins Fontes, edição de 2001, página 139, há um esquema de um quadrado que dividindo-o em 4 partes e posteriormente rotacionando e montando estas partes, forma-se a figura de um triângulo que no livro diz ser um triângulo equilátero.

A divisão do quadrado mostrado no livro lembra o quebra-cabeça japonês TANGRAN, um quadrado dividido em 7 partes com as quais são possíveis montarem milhares de figuras.

Fiz o esquema mostrado no livro, utilizando papel melimetrado conforme a figura 1, só que quando montado, o triângulo resultante é um triângulo isóceles e não um triângulo equilátero.

No exemplo abaixo, os pontos E, F, G e H são os pontos médios de cada lado do quadrado e o ponto I é o ponto médio do seguimento EF.

Em um triângulo isóceles há dois lados com medidas iguais e um lado com medida diferente.

triângulo inscrito em quadrado

Não ficando satisfeito, fiz e ainda continuo fazendo nos tempos vagos, outros quadrados com outras divisões para tentar montar um triângulo equilátero com a mesma área de um quadrado, não deixa de ser um desafio para fazer os neurônios se eletrizarem.

Tudo isto, fez me lembrar de um dos grandes problemas matemático e geométrico: A QUADRATURA DO CÍRCULO, que consiste em construir uma região quadrada que tenha a mesma área que um círculo dado.

Triângulo equilátero inscrito em quadrado - método 1

A partir de um quadrado, com centro em C e abertura em D, faça um arco; com a mesma abertura, centro em D, faça o segundo o arco e marque o ponto E. Una os pontos C, D e E, formando-se assim um triângulo equilátero.

Nesta construção, obtem-se dois triângulos equiláteros: o amarelo e o azul e sobra uma parte vermelha.

triângulo equilátero inscrito em um quadrado

Triângulo equilátero inscrito em quadrado - método 2

A partir do ponto D do quadrado, com o transferidor ou com uso de compasso marca-se 15 graus a partir da base e faça um seguimento até a lateral direita, marcando o ponto F; marque 15 graus a partir da lateral esquerda do quadrado e faça o segundo seguimento até o topo do quadrado, marcando o ponto E. Tem-se um triângulo equilátero DEF.

Nesta construção também, obtêm-se dois triângulos equiláteros: o amarelo e o azul e sobra uma parte vermelha.

triângulo equilátero inscrito em um quadrado

Triângulo equilátero inscrito em quadrado - método 3

Neste exemplo de construção, têm-se triângulos equiláteros: sendo um principal em amarelo e um segundo em azul dividos em "gomos" de triângulos retângulos de 30, 60 e 90 graus de mesma largura e altura e um terceiro em vermelho, menor, construído com fatias da parte que sobra do quadrado.

triângulo equilátero inscrito em um quadrado

Com a mesma construção geométrica da figura 4, pode-se fazer um novo remanejamento dos "gomos" de triângulos retângulos e aumentar o triângulo equilátero a partir de sua base, ficando este com sua altura maior.

Interessante obsevar nesta disposição é que o retângulo que sobra no topo do quadrado é possível montar um triângulo equilátero vermelho para se finalizar o encaixe do triângulo equilátero maior.

As partes laranja são o que sobram do retângulo do topo do quadrado.

triângulo equilátero inscrito em um quadrado

Triângulo equilátero inscrito em quadrado - método 4

Veja outra forma de construção geométrica no site do Professor Marco Manetta:

Site: www.dinamatica.com.br

http://www.dinamatica.com.br/2011/11/triangulo-equilatero-inscrito-no.html

Triângulo equilátero que se transforma em quadrado

Veja a construção geométrica de dividir um triângulo equilátero em 4 partes e posteriormente montar um quadrado de mesma área do matemático inglês Henry Ernest Dudeney (10 April 1857 – 23 April 1930) no site do Professor Marco Manetta

Site: www.dinamatica.com.br

Triângulo equilátero que se transforma em quadrado - variante do método de Henry Dudeney

a) Marque o ponto médio D de AC e E de AB;

b) projete o ponto médio D em BC (linha pontilhada) e marque o ponto F;

c) projete o ponto médio E em BC (linha pontilhada) e marque o ponto G;

d) faça o seguimento EF;

e) faça um seguimento perpendicular em EF a partir de D e marque o ponto H;

f) faça outro seguimento perpendicular em EF a partir de G e marque o ponto I;

triângulo equilátero inscrito em quadrado

Triângulo equilátero inscrito em quadrado - método 5

Exemplo extraído do livro PROBLEMAS DE DESENHO LINEAR GEOMÉTRICO - COLEÇÃO MANUAIS TÉCNICOS LEP - Editora LEP SA - 8a. edição - 1960 - pág. 81.

a) desenha-se um quadrado ABCD;

b) centro em D, traça-se um arco com abertura até a diagonal;

c) marca-se os pontos E no lado esquerdo e F na base do quadrado;

d) unindo-se os pontos BEF, tem-se um triângulo equilátero. Nesta construção também, obtêm-se dois triângulos equiláteros: o amarelo e o magenta e sobram as partes azul e as aréas de sobreposições laranja.

triângulo equilátero inscrito em um quadrado

Se você quiser participar deste desafio, mande um link ou um outro modelo diferente de construção de triângulo equilátero inscrito em um quadrado.

Autor: Ricardo Silva abril/2016

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