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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo equilátero e números figurados - 117

Por meio de arranjos de pontos podem ser construídos figuras geométricas diversas, como triângulos, quadrados, pentágonos, etc.

Neste estudo são utilizados figuras geométricas de triângulos equiláteros para formar também figuras geométricas de triângulos equiláteros e hexágonos os quais apresentam interessantes formações de sequências numéricas.

Números triangulares

Podem-se obter números triângulares das seguintes formas:

a) por meio da soma consecutiva de números naturais:

1

1+ 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

e assim sucessivamente...

b) por meio de arrajos de pontos formando figuras de triângulos equiláteros:

triângulo equilátero e sequências numéricas

Triângulos equiláteros e sequências numéricas

Exemplo1)

Desenhando-se dois triângulos retângulos com 30, 60 e 90 graus, de forma que os catetos menores fiquem como base e encostando-se os catetos maiores, consegue-se se formar um triângulo equilátero (amarelo) como no exemplo da figura 2.

Replicando-se vários triângulos retângulos e os colocando na base do triângulo equilátero (amarelo), a altura aumenta a cada fileira acrescentada.

Na primeira fileira (topo) temos 2 triângulos retângulos amarelo que formam 1 triângulo equilátero.

Na segunda fileira (base) temos 6 triângulos retângulos vermelho que formam 3 triângulos equiláteros.

A cada linha acrescentada na base e somando-se sempre 4 triângulos retângulos as quatidades de triângulos retângulos anteriores, obtem-se a seguinte sequência númerica de números pares: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, ... de razão 4.

2

2 + 4 = 6

6 + 4 = 10

10 + 4 = 14

14 + 4 = 18

e assim sucessivamente...

triângulo equilátero e sequências numéricas

Exemplo 2)

A partir de triângulos equiláteros replicados e acrescentando os a base de outros triângulos equiláteros, aumentam-se suas alturas e consequentemente os seus lados.

Acrescentado-se sempre 2 triângulos equiláteros a partir do triângulo equilátero vermelho, obtemos a sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 , ...

1

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5

5 + 2 = 7

7 + 2 = 9

e assim sucessivamente...

Somando-se as quantidades de triângulos equiláteros de cada linha consecutivamente, obtem-se a sequência de números quadrados perfeitos:

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

triângulo equilátero e sequências numéricas

Autor: Ricardo Silva - abril/2016

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