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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados e números quadrados perfeitos ímpares - 109

Marcando-se os números quadrado perfeitos ímpares em um diagrama construído com pequenos círculos obtem-se uma sequência de números ímpares entre o intervalo de quadrado e outro na linha diagonal.

A sequência 3, 7, 11, 15, 19, 23,... é uma progressão aritmética cuja diferença entre um termo e outro é de 4 unidades.

Métodos de obtenção de números quadrados perfeitos

a) Números quadrados perfeitos podem ser obtidos através da soma consecutivas de números ímpares:

1 1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25 e assim sucessivamente...

b) Pode-se também obter números quadrados perfeitos por meio de arranjos de pontos como mostrado no diagrama abaixo.

A partir do 1 ponto, acrescenta-se 3 pontos e forma-se a figura de um quadrado com 4 pontos.

Cada vez que se acrescenta quantidades ímpares de pontos, formam-se novos quadrados.

Números quadrados perfeitos ímpares

Com o mesmo diagrama, podemos fazer uma nova leitura e encontrar outras sequências númericas.

a) marca-se o ponto 1 - quadrado perfeito 1;

b) Conta-se a quantidade de pontos em formato da letra "L" ( cor vermelha) invertido que seja um número quadrado perfeito, no exemplo, o quadrado perfeito 9.

c) Os próximos números quadrados a aparecerem são 25 e 49, aumentando-se o diagrama, consequentemente marcaríamos mais números quadrados.

Nesta pequena demonstração no diagrama acima. percebe-se que os números quadrados que aparecem são quadrados perfeitos ímpares.

O números de pontos entre os números quadrados na diagonal

Entre o quadrado 1 e 9 há 3 pontos (cor verde).

Entre o quadrado 9 e 25 há 7 pontos (cor laranja).

Entre o quadrado 25 e 49 há 11 pontos (cor azul).

A quantidade de pontos entre os números quadrados na diagonal são quantidades ímpares e formam uma sequência númérica:

3, 7, 11, 15, 19, 23, etc...

Determinando a quantidade de pontos entre os quadrados na diagonal

exemplo 1)

Diferença entre o quadrado 9 e 1

9 - 1 = 8

Divide-se a diferença por 2

8 : 2 = 4

Subtrai-se 1 da metade a diferença

4 - 1 = 3 (é a quantidade de pontos entre 1 e 9 na diagonal do diagrama)

exemplo 2)

Diferença entre o quadrado 25 e 9

25 - 9 = 16

Divide-se a diferença por 2

16 : 2 = 8

Subtrai-se 1 da metade a diferença

8 - 1 = 7 (é a quantidade de pontos entre 9 e 25 na diagonal do diagrama)

exemplo 3)

Diferença entre o quadrado 49 e 25

49 - 25 = 24

Divide-se a diferença por 2

24 : 2 = 12

Subtrai-se 1 da metade a diferença

12 - 1 = 11 (é a quantidade de pontos entre 25 e 49 na diagonal do diagrama)

Montando-se uma tabela, verifica-se que:

a) a Diferença entre quadrados ímpares são números múltiplos de 8 (Coluna C).

b) a quantidade de pontos entre dois quadrados ímpares na diagonal do diagrama é um números ímpar e formam uma sequência númerica: 3, 7, 11, 15, 19, ..., etc. (Coluna E).

A diferença entre números quadrados perfeitos
         
Número Quadrado Diferença Metade da Metade menos
      diferença 1 unidade
         
1
1
8
4
3
3
9
16
8
7
5
25
24
12
11
7
49
32
16
15
9
81
40
20
19
11
121
48
24
23
13
169
56
28
27
15
225
64
32
31
17
289
72
36
35
19
361
80
40
39
21
441
88
44
43
23
529
96
48
47
25
625
104
52
51
27
729
112
56
55
29
841
120
60
59
31
961
128
64
63
33
1089
136
68
67
35
1225
144
72
71
37
1369
152
76
75
39
1521
160
80
79
41
1681
168
84
83
43
1849
176
88
87
45
2025
184
92
91
47
2209
192
96
95
49
2401
200
100
99
51
2601
208
104
103

Autor: Ricardo Silva - novembro/2015

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