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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados e números quadrados perfeitos ímpares - 109

Números figurados são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas como triângulos, quadrados, retângulos, pentágonos, etc.

Neste estudo é apresentado modelo matemático de quadrado formado por arranjos de pontos marcados em quantidade de números quadrado perfeitos ímpares em formato da letra L (éle) cuja diagonal secundária forma uma progressão aritmética de números ímpares de razão 4, isto é, a diferença entre os termos são de 4 unidades.

Obtenção de números quadrados perfeitos

Números quadrados perfeitos podem ser obtidos através:

a) da soma de números ímpares consecutivos;

1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

e assim sucessivamente...

b) por meio de arranjos de pontos;

A partir do primeiro ponto, acrescenta-se sucessivamante quantidades ímpares de pontos.

Números quadrados perfeitos ímpares

Com o mesmo diagrama, pode-se fazer uma nova construção geométrica e encontrar outras sequências numéricas.

a) marca-se o ponto 1 - quadrado perfeito 1;

b) Conta-se a quantidade de pontos em formato da letra "L" (cor vermelha) invertido que seja um número quadrado perfeito, no exemplo, o quadrado perfeito 9.

c) Os próximos números quadrados a serem marcados são 25 e 49, aumentando-se o diagrama, consequentemente marcaríamos mais números quadrados.

Nesta pequena demonstração no diagrama acima, percebe-se que os números quadrados que aparecem são quadrados perfeitos ímpares.

Números de pontos entre os números quadrados

Entre o quadrado 1 e 9 há 3 pontos (cor verde).

Entre o quadrado 9 e 25 há 7 pontos (cor laranja).

Entre o quadrado 25 e 49 há 11 pontos (cor azul).

A quantidade de pontos entre os números quadrados na diagonal são quantidades ímpares e formam uma sequência númérica de razão 4: 3, 7, 11, 15, 19, 23,...

Quantidade de pontos entre os quadrados na diagonal

exemplo 1)

Diferença entre o quadrado 9 e 1

9 - 1 = 8

Divide-se a diferença por 2

8 : 2 = 4

Subtrai-se 1 da metade a diferença

4 - 1 = 3

(3 é a quantidade de pontos entre 1 e 9 na diagonal secundária)

exemplo 2)

Diferença entre o quadrado 25 e 9

25 - 9 = 16

Divide-se a diferença por 2

16 : 2 = 8

Subtrai-se 1 da metade a diferença

8 - 1 = 7

(7 é a quantidade de pontos entre 9 e 25 na diagonal secundária)

exemplo 3)

Diferença entre o quadrado 49 e 25

49 - 25 = 24

Divide-se a diferença por 2

24 : 2 = 12

Subtrai-se 1 da metade a diferença

12 - 1 = 11

(11 é a quantidade de pontos entre 25 e 49 na diagonal secundária)

Tabela de números quadrados perfeitos

Montando-se uma tabela, verifica-se que:

a) a Diferença entre quadrados ímpares são números múltiplos de 8 (Coluna C).

b) a quantidade de pontos entre dois quadrados ímpares na diagonal do diagrama é um números ímpar e formam a sequência númerica: 3, 7, 11, 15, 19, ..., etc. (Coluna E).

Diferença entre
números quadrados perfeitos
         
Número Quadrado Diferença Metade Metade
      da menos
      diferença 1 unidade
         
    C   E
         
1 1 8 4 3
3 9 16 8 7
5 25 24 12 11
7 49 32 16 15
9 81 40 20 19
11 121 48 24 23
13 169 56 28 27
15 225 64 32 31
17 289 72 36 35
19 361 80 40 39
21 441 88 44 43
23 529 96 48 47
25 625 104 52 51
27 729 112 56 55
29 841 120 60 59
31 961 128 64 63
33 1089 136 68 67
35 1225 144 72 71
37 1369 152 76 75
39 1521 160 80 79
41 1681 168 84 83
43 1849 176 88 87
45 2025 184 92 91
47 2209 192 96 95
49 2401 200 100 99
51 2601 208 104 103

Autor: Ricardo Silva - novembro/2015

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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