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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados e números poligonais - 248

Números figurados ou números poligonais são números que podem ser modelados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.

Os números figurados podem ser classificados como números lineares, planos e sólidos.

Os números lineares são os que se apresentam em uma só dimensão.

Os números planos são os que podem representar figuras geométricas em duas dimensões: triângulos, quadrados, pentagonos, etc.

O números solidos são os que podem representar figuras geométricas em três dimensões.

O presente estudo demonstra que a partir da sequência de números triangulares podem-ser obtidas diversas outras sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.

Números naturais

A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 1 (unidade) formamos a sequência de números naturais.

1   2   3   4   5   6   7   8
  1   1   1   1   1   1   1  

Números figurados triangulares

Pode-se obter números triangulares através:

a) da soma de números naturais consecutivos.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

b) de arranjos de pontos;

números figurados triangulares

 

c) da fórmula algébrica em que A média aritmética do produto de dois números consecutivos tem como resultado um número triangular.

n x ( n + 1)
_______
2

Números ímpares

A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 2 (unidades) formamos a sequência de números ímpares.

1   3   5   7   9   11   13   15
  2   2   2   2   2   2   2  

Números figurados quadrados perfeitos

Pode-se obter números quadrados perfeitos através:

a) da soma de números ímpares consecutivos.

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

b) da soma de dois números triangulares consecutivos.

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

c) da multiplicação de um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

d) elevando-se um número ao expoente 2.

12 = 1

22 = 4

32 = 9

e) de arranjos de pontos;

números figurados quadrados

Números figurados triangulares centrados

A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 3 (unidades) formamos a seguinte sequência numérica na qual está inserida a sequência de números triangulares centrados.

1   4   7   10   13   16   19   22
  3   3   3   3   3   3   3  

Utilizando a fórmula algébrica:

an = 3n - 2

Partindo-se de um ponto central, os demais triângulos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os triângulos fiquem equidistantes.

números figurados triangulares centrados

Números figurados pentagonais

Pode-se obter a sequência de números figurados pentagonais através:

a) da soma consecutiva de números da sequência numérica que forma a sequência de números figurados triangulares centrados.

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,..

1

1 + 4 = 5

1 + 4 + 7 = 12

1 + 4 + 7 + 10 = 22

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

b) da seguinte fórmula algébrica.

3n2 - n
_______
2

c) de arrajos de pontos.

partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos pentágonos.

números figurados pentagonais

Números figurados quadrados centrados

A partir do número 1 e somando-se sempre a mesma razão de 4 (unidades) formamos a seguinte sequência numérica na qual está inserida a sequência de números figurados quadrados centrados.

1   5   9   13   17   21   25   29
  4   4   4   4   4   4   4  

Utilizando a fórmula algébrica:

an = 4n - 3

Partindo-se de um ponto central, os demais quadrados são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os quadrados fiquem equidistantes.

números figurados quadrados centrados

Numeros figurados hexagonais

Pode-se obter números figurados hexagonais através:

a) da soma consecutiva de números da sequência numérica que forma a sequência de números figurados quadrados centrados.

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...

1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 35

b) da seguinte fórmula algébrica.

2n2 - n

c) de arranjos de pontos;

Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos hexágonos.

números figurados hexagonais

Numeros figurados hexagonais centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais hexágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os hextágonos fiquem equidistantes.

números hexagonais centrados

Tabela de números figurados

A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.

A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.

Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais)

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Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28
5 15 25 35 45
6 21 36 51 66
7 28 49 70 91
8 36 64 92 120
9 45 81 117 153
10 55 100 145 190
11 66 121 176 231
12 78 144 210 276
13 91 169 247 325
14 105 196 287 378
15 120 225 330 435
16 136 256 376 496
17 153 289 425 561
18 171 324 477 630
19 190 361 532 703
20 210 400 590 780
21 231 441 651 861
22 253 484 715 946
23 276 529 782 1035
24 300 576 852 1128
25 325 625 925 1225
26 351 676 1001 1326
27 378 729 1080 1431
28 406 784 1162 1540
29 435 841 1247 1653
30 465 900 1335 1770
31 496 961 1426 1891
32 528 1024 1520 2016
33 561 1089 1617 2145
34 595 1156 1717 2278
35 630 1225 1820 2415
36 666 1296 1926 2556
37 666 1369 2035 2701
38 703 1444 2147 2850
39 741 1521 2262 3003
40 780 1600 2380 3160
41 820 1681 2501 3321
42 861 1764 2625 3486
43 903 1849 2752 3655
44 946 1936 2882 3828
45 990 2025 3015 4005
         
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Sequências numéricas nas linhas da Tabela de Números Figurados

Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.

Linha 2

A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

2 x 3   6    
____ = ____ = 3
2   2    

O fator 2 indica a ordem do triangular 3.

O número 3 é o segundo número triangular.

Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.

Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.

Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.

e assim sucessivamente...

Interessante observar que na linha 2 forma a sequência de números naturais, começando pelo 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10,...

Linha 3

A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

3 x 4   12    
____ = ____ = 6
2   2    

O fator 3 indica a ordem do triangular 6.

O número 6 é o terceiro número triangular.

Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.

Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.

Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.

e assim sucessivamente...

Interessante observar que na linha 3 formam múltiplos de 3, começando pelo triangular 6: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,...

Linha 4

A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

4 x 5   20    
____ = ____ = 10
2   2    

O fator 4 indica a ordem do triangular 10.

O número 10 é o quarto número triangular.

Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.

Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.

Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.

e assim sucessivamente...

Interessante observar que na linha 4 formam múltiplos de 4 intercalados: 16, 28, 40, 52, 64,...

Soma de números triangulares e números poligonais

A soma de número triangular com um múltiplo de seu antecessor tem como resultado um número poligonal.

Soma de números triangulares e números quadrados

A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 1 (um) tem como resultado um número quadrado perfeito.

Soma de um número triangular
com um múltiplo de seu antecessor
     
número   número
triangular   quadrado
     
1   1
3 + (1 x 1) = 4
6 + ( 3 x 1) = 9
10 + (6 x 1) = 16
15 + (10 x 1) = 25
21 + ( 15 x 1) = 36
28 + ( 21 x 1) = 49
36 + ( 28 x 1) = 64
45 + ( 36 x 1) = 81
55 + ( 45 x 1) = 100
     
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Soma de números triangulares e números pentagonais

A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 2 (dois) tem como resultado um número pentagonal.

Soma de um número triangular
com um múltiplo de seu antecessor
     
número   número
triangular   pentagonal
     
1   1
3 + (1 x 2) = 5
6 + ( 3 x 2) = 12
10 + (6 x 2) = 22
15 + (10 x 2) = 35
21 + ( 15 x 2) = 51
28 + ( 21 x 2) = 92
36 + ( 28 x 2) = 64
45 + ( 36 x 2) = 117
55 + ( 45 x 2) = 145
     
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Soma de números triangulares e números hexagonais

A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 3 (três) tem como resultado um número hexagonal.

Soma de um número triangular
com um múltiplo de seu antecessor
     
número   número
triangular   hexagonal
     
1   1
3 + (1 x 3) = 6
6 + ( 3 x 3) = 15
10 + (6 x 3) = 28
15 + (10 x 3) = 45
21 + ( 15 x 3) = 66
28 + ( 21 x 3) = 91
36 + ( 28 x 3) = 120
45 + ( 36 x 3) = 153
55 + ( 45 x 3) = 190
     
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Soma de números triangulares e números heptagonais

A soma de um número triangular com o seu antecessor multiplicado por 4 (quatro) tem como resultado um número heptagonal.

Soma de um número triangular
com um múltiplo de seu antecessor
     
número   número
triangular   heptagonal
     
1   1
3 + (1 x 4) = 7
6 + ( 3 x 4) = 18
10 + (6 x 4) = 34
15 + (10 x 4) = 55
21 + ( 15 x 4) = 81
28 + ( 21 x 4) = 112
36 + ( 28 x 4) = 148
45 + ( 36 x 4) = 189
55 + ( 45 x 4) = 235
     
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

Cota, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011

Huntley, H.E. A divina proporção - Um Ensaio da Beleza Matemática - tradução de Luis Carlos Ascênio Nunes. Brasilia, Editora Universidade de Brasilia, 1985

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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