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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados triangulares centrados e sequências numéricas - 320

Números figurados, números poligonais ou números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando as mais diversas figuras geométricas como: triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

Números poligonais centrados são uma classe de números figurados cujas figuras geométricas são construídas através de um ponto inicial central e acrescentando-se quantidades de pontos múltiplos de um número natural.

Neste estudo são demonstrados, entre outras regularidades numéricas:

a) que o triplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado triangular centrado;

b) que a soma de termos consecutivos da progressão aritmética ( 1, 4 , 7, 10, 13, 16, 19, ...) têm como resultados números pentagonais.

Números figurados triangulares centrados

Os números figurados triangulares centrados são formados construindo-se triângulos equiláteros por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 3.

1

1 + 3 = 4

4 + 6 = 10

10 + 9 = 19

19 + 12 = 31

31 + 15 = 46

46 + 18 = 64

64 + 21 = 85

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85,... são números figurados triangulares centrados.

números figurados triangulares centrados

Números figurados triangulares centrados e Progressão aritmética

A seguinte tabela apresenta padrões e regularidades numéricas entre números triangulares (cor laranja) e progressão artmética de razão 3 com a sequência de números triangulares centrados (cor amarela).

A progressão aritmética cujo primeiro termo é 1 e de razão 3 apresenta termos intercalados da sequência de números figurados triangulares centrados (cor amarela).

Cada número figurado triangular centrado, exceto o número 1, está a 1 posição abaixo de um número triangular.

Exemplos:

a) o número figurado triangular centrado 4 está abaixo do triangular 1;

b) o número figurado triangular centrado 10 está abaixo do triangular 3;

c) o número figurado triangular centrado 19 está abaixo do triangular 6.

Os intervalos entres números triangulares centrados e a progressão aritmética de razão 3 tem como resultado a sequências de números naturais.

Exemplos:

a) entre 4 e 10 há 1 intervalo;

b) entre 10 e 19 há 2 intervalos;

c) entre 19 e 31 há 3 intervalos e assim sucessivamente...

Na sequência dos números triangulares centrados há ocorrências de números primos: 19, 31,

Números figurados
triangulares centrados
         
posição/ números progressão números  
ordem trian-gulares aritmética trian-
gulares
intervalos
    razão 3 centrados  
         
1 1 1 1  
2   4 4  
3 3 7   1
4   10 10  
5   13   2
6 6 16  
7   19 19  
8   22   3
9   25  
10 10 28  
11   31 31  
12   34   4
13   37  
14   40  
15 15 43  
16   46 46  
17   49   5
18   52  
19   55  
20   58  
21 21 61  
22   64 64  
23   67   6
24   70  
25   73  
26   76  
27   79  
28 28 82  
29   85 85  
         
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Números figurados triangulares centrados e fórmula algébrica

Pode-se obter números figurados triangulares centrados a partir do termo 4 por meio do produto do número 3 por número número triangular somado de 1 unidade, utilizando-se a seguinte fórmula algébrica.

3 { n (n + 1) } + 1
_______
2

Exemplo:

3 { 1 (1 + 1) } + 1
_______
2
3 { 1 (2) } + 1
_______
2
3 { 2 } + 1
_______
2
3 { 1 } + 1
3 + 1
4

ou através de expressões numéricas em que o triplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado triangular centrado:

(3 x 1) + 1 = 4

(3 x 3) + 1 = 10

(3 x 6) + 1 = 19

(3 x 10) + 1 = 31

(3 x 15) + 1 = 46

Números figurados triangulares centrados e números pentagonais

A soma consecutiva dos termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) de termo incial 1 e razão 3 têm como resultados números pentagonais a partir de 5.

1 + 4 = 5

1 + 4 + 7 = 12

1 + 4 + 7 + 10 = 22

números figurados pentagonais
progressão Números
aritmética pentagonais
(1, 4, 7, 10, 13,...)
 
1
4 5
7 12
10 22
13 35
16 51
19 70
22 92
25 117
28 145
31 176
34 210
37 247
40 287
43 330
46 376
49 425
52 477
55 532
58 590
61 651
64 715
67 782
70 852
73 925
76 1001
79 1080
82 1162
85 1247
   
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A diferença entre dois números pentagonais têm como resultados o termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) de razão 3 a partir do termo 4.

5 - 1 = 4

12 - 5 = 7

22 - 12 = 10

Números progressão
pentagonais aritmética
  (1, 4, 7, 10, 13,...)
 
1  
5 4
12 7
22 10
35 13
51 16
70 19
92 22
117 25
145 28
176 31
210 34
247 37
287 40
330 43
376 46
425 49
477 52
532 55
590 58
651 61
715 64
782 67
852 70
925 73
1001 76
1080 79
1162 82
1247 85
   
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Progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13, 16,...) e propriedades

As divisões de termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) por um termo constante da própria progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...), excetuando-se o número 1, tem como resultado a própria progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...)

progressão dividido dividido dividido
aritmética por por por
(1, 4, 7, 10, 13,...) 4 7 10
 
1
4 1    
7   1  
10     1
13      
16 4    
19      
22      
25      
28 7 4  
31      
34      
37      
40 10   4
43      
46      
49   7  
52 13    
55      
58      
61      
64 16    
67      
70   10 7
73      
76 19    
79      
82      
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Conclusão

Progressões aritméticas cujos primeiros termos são o número 1 e a razão é um número natural igual ou maior que 3, são progressões aritméticas em que há intercalados entre seus termos sequências de números poligonais centrados e cujas somas de seus termos consecutivos têm como resultados números figurados poligonais.

Autor: Ricardo Silva - março/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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