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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados triangulares centrados e sequências numéricas - 320

Números figurados, números poligonais ou números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando as mais diversas figuras geométricas como: triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

Números poligonais centrados são uma classe de números figurados cujas figuras geométricas são construídas através de um ponto inicial central e acrescentando-se quantidades de pontos múltiplos de um número natural.

Neste estudo são demonstrados, entre outras, as seguintes regularidades numéricas:

a) que o triplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado triangular centrado;

b) que a soma de termos consecutivos da progressão aritmética ( 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...) têm como resultados números pentagonais.

Números figurados triangulares centrados

Os números figurados triangulares centrados são formados construindo-se triângulos equiláteros por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 3.

1 + 3 = 4

4 + 6 = 10

10 + 9 = 19

19 + 12 = 31

31 + 15 = 46

46 + 18 = 64

64 + 21 = 85

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85,... são números figurados triangulares centrados.

Números figurados triangulares centrados e Progressão aritmética

A seguinte tabela apresenta padrões e regularidades numéricas entre números triangulares (cor laranja) e progressão artmética de razão 3 com a sequência de números triangulares centrados (cor amarela).

A progressão aritmética cujo primeiro termo é 1 e de razão 3 apresenta termos intercalados da sequência de números figurados triangulares centrados (cor amarela).

Cada número figurado triangular centrado, exceto o número 1, está a 1 posição abaixo de um número triangular.

Exemplos:

a) o número figurado triangular centrado 4 está abaixo do triangular 1;

b) o número figurado triangular centrado 10 está abaixo do triangular 3;

c) o número figurado triangular centrado 19 está abaixo do triangular 6.

Os intervalos entres números triangulares centrados e a progressão aritmética de razão 3 tem como resultado a sequências de números naturais.

Exemplos:

a) entre 4 e 10 há 1 intervalo;

b) entre 10 e 19 há 2 intervalos;

c) entre 19 e 31 há 3 intervalos e assim sucessivamente...

Na sequência dos números triangulares centrados há ocorrências de números primos: 19, 31,

Números figurados
triangulares centrados

ordem /	números	progressão	números
posição	trian-gulares	aritmética	trian- gulares	intervalos
		razão 3	centrados

1	1	1	1
2		4	4
3	3	7		1
4		10	10
5		13		2
6	6	16		2
7		19	19
8		22		3
9		25
10	10	28
11		31	31
12		34		4
13		37
14		40
15	15	43
16		46	46
17		49		5
18		52
19		55
20		58
21	21	61
22		64	64
23		67		6
24		70
25		73
26		76
27		79
28	28	82
29		85	85

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Números figurados triangulares centrados e fórmula algébrica

Pode-se obter números figurados triangulares centrados a partir do termo 4 por meio do produto do número 3 por número número triangular somado de 1 unidade, utilizando-se a seguinte fórmula algébrica.

3 { n (n + 1) } + 1

_______

Exemplo:

3 { 1 (1 + 1) } + 1

_______

3 { 1 (2) } + 1

_______

3 { 2 } + 1

_______

3 { 1 } + 1

3 + 1

ou através de expressões numéricas em que o triplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado triangular centrado:

(3 x 1) + 1 = 4

(3 x 3) + 1 = 10

(3 x 6) + 1 = 19

(3 x 10) + 1 = 31

(3 x 15) + 1 = 46

Números figurados triangulares centrados e números pentagonais

A soma consecutiva dos termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) de termo incial 1 e razão 3 têm como resultados números pentagonais a partir de 5.

1 + 4 = 5

1 + 4 + 7 = 12

1 + 4 + 7 + 10 = 22

progressão	Números
aritmética	pentagonais
(1, 4, 7, 10, 13,...)

1
4	5
7	12
10	22
13	35
16	51
19	70
22	92
25	117
28	145
31	176
34	210
37	247
40	287
43	330
46	376
49	425
52	477
55	532
58	590
61	651
64	715
67	782
70	852
73	925
76	1001
79	1080
82	1162
85	1247

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A diferença entre dois números pentagonais têm como resultados o termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) de razão 3 a partir do termo 4.

5 - 1 = 4

12 - 5 = 7

22 - 12 = 10

Números	progressão
pentagonais	aritmética
	(1, 4, 7, 10, 13,...)

1
5	4
12	7
22	10
35	13
51	16
70	19
92	22
117	25
145	28
176	31
210	34
247	37
287	40
330	43
376	46
425	49
477	52
532	55
590	58
651	61
715	64
782	67
852	70
925	73
1001	76
1080	79
1162	82
1247	85

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Progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13, 16,...) e propriedades

As divisões de termos da progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...) por um termo constante da própria progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...), excetuando-se o número 1, tem como resultado a própria progressão aritmética (1, 4, 7, 10, 13,...)

progressão	dividido	dividido	dividido
aritmética	por	por	por
(1, 4, 7, 10, 13,...)	4	7	10

1
4	1
7		1
10			1
13
16	4
19
22
25
28	7	4
31
34
37
40	10		4
43
46
49		7
52	13
55
58
61
64	16
67
70		10	7
73
76	19
79
82
85

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Conclusão

Progressões aritméticas cujos primeiros termos são o número 1 e a razão é um número natural igual ou maior que 3, são progressões aritméticas em que há intercalados entre seus termos sequências de números poligonais centrados e cujas somas de seus termos consecutivos têm como resultados números figurados poligonais.

Autor: Ricardo Silva - março/2021