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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados hexagonais - 247

O presente estudo demonstra que a partir de números triangulares podem-ser obtidas diversas sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.

Números figurados ou números poligonais são números que podem ser formados por arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.

Assim como há diversas propriedades numéricas, geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo, os números triangulares também as possuem, pois há diversas propriedades númericas que se relacionam com várias sequências númericas e figuras geométricas.

Números figurados triangulares

Pode-se obter números triangulares através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados triangulares

b) da soma de números consecutivos.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

c) da fórmula

n x ( n + 1)
_______
2

Números figurados quadrados perfeitos

Pode-se obter números quadrados perfeitos através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados quadrados

b) da multiplicação de um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

c) da soma de números ímpares consecutivos.

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

d) da soma de dois números triangulares consecutivos.

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

e) elevando-se um número ao expoente 2.

12 = 1

22 = 4

32 = 9

Numeros figurados hexagonais

Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos hexágonos.

Pode-se obter números figurados hexagonais através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados hexagonais

b) da seguinte fórmula.

2n2 - n

Numeros figurados hexagonais centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais hexágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os hextágonos fiquem equidistantes.

números hexagonais centrados

Tabela de números figurados

A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.

A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.

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Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28
5 15 25 35 45
6 21 36 51 66
7 28 49 70 91
8 36 64 92 120
9 45 81 117 153
10 55 100 145 190
11 66 121 176 231
12 78 144 210 276
13 91 169 247 325
14 105 196 287 378
15 120 225 330 435
16 136 256 376 496
17 153 289 425 561
18 171 324 477 630
19 190 361 532 703
20 210 400 590 780
21 231 441 651 861
22 253 484 715 946
23 276 529 782 1035
24 300 576 852 1128
25 325 625 925 1225
26 351 676 1001 1326
27 378 729 1080 1431
28 406 784 1162 1540
29 435 841 1247 1653
30 465 900 1335 1770
31 496 961 1426 1891
32 528 1024 1520 2016
33 561 1089 1617 2145
34 595 1156 1717 2278
35 630 1225 1820 2415
36 666 1296 1926 2556
37 666 1369 2035 2701
38 703 1444 2147 2850
39 741 1521 2262 3003
40 780 1600 2380 3160
41 820 1681 2501 3321
42 861 1764 2625 3486
43 903 1849 2752 3655
44 946 1936 2882 3828
45 990 2025 3015 4005
         
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Sequências numéricas nas linhas da Tabela de Números Figurados

Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.

Linha 2

A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

2 x 3   6    
____ = ____ = 3
2   2    

O fator 2 indica a ordem do triangular 3.

O número 3 é o segundo número triangular.

Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.

Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.

Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.

e assim sucessivamente...

Linha 3

A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

3 x 4   12    
____ = ____ = 6
2   2    

O fator 3 indica a ordem do triangular 6.

O número 6 é o terceiro número triangular.

Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.

Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.

Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.

e assim sucessivamente...

Linha 4

A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

4 x 5   20    
____ = ____ = 10
2   2    

O fator 4 indica a ordem do triangular 10.

O número 10 é o quarto número triangular.

Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.

Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.

Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.

e assim sucessivamente...

Sequências numéricas nas colunas da Tabela de Números Figurados

Tabela de Números figurados
(Números Poligonais)
número
quadrado
centrado
número número número  
ordem triangular quadrado hexagonal diferença
 
1 1 1 1  
2 3 4 6 5
3 6 9 15 9
4 10 16 28 13
5 15 25 45 17
6 21 36 66 21
7 28 49 91 25
8 36 64 120 29
9 45 81 153 33
10 55 100 190 37
11 66 121 231 41
12 78 144 276 45
13 91 169 325 49
14 105 196 378 53
15 120 225 435 57
16 136 256 496 61
17 153 289 561 65
18 171 324 630 69
19 190 361 703 73
20 210 400 780 77
21 231 441 861 81
22 253 484 946 85
23 276 529 1035 89
24 300 576 1128 93
25 325 625 1225 97
26 351 676 1326 101
27 378 729 1431 105
28 406 784 1540 109
29 435 841 1653 113
30 465 900 1770 117
31 496 961 1891 121
32 528 1024 2016 125
33 561 1089 2145 129
34 595 1156 2278 133
35 630 1225 2415 137
36 666 1296 2556 141
37 703 1369 2701 145
38 741 1444 2850 149
39 780 1521 3003 153
40 820 1600 3160 157
41 861 1681 3321 161
42 903 1764 3486 165
43 946 1849 3655 169
44 990 1936 3828 173
45 1035 2025 4005 177
46 1081 2116 4186 181
         
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Diferença entre números hexagonais

A diferença entre os números hexagonais tem como resultado a seguinte progressão aritmética: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

1   6   15   28   45   66
  5   9   13   17   21  

A progressão aritmética: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,... tem razão 4 (diferença entre os termos).

5   9   13   17   21   25
  4   4   4   4   4  

A partir de 1 e somando-se sempre o número 4 (razão) obtem-se a progressão aritmética da diferença entre os números hexagonais:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

1   5   9   13   17   21
  4   4   4   4   4  

A soma de números consecutivos cuja razão é 4 e o primeiro termo é 1 tem como resultado a sequência dos números hexagonais.

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37,...

1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 45

Número hexagonais

1, 6, 15, 28, 45, 66,...

 

Números figurados quadrados centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais quadrados são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os quadrados fiquem equidistantes.

números figurados quadrados centrados

A diferença entre os números hexagonais tem como resultado a sequência dos números figurados quadrados centrados a partir do número 5: 5, 13, 25, 41, 61, 85,...

Números figurados quadrados centrados e regularidades numéricas

a) os intervalos entre os números figurados quadrados centrados formam a sequência dos números naturais:

entre 5 e 13 há 1 intervalo

entre 13 e 25 há 2 intervalos

entre 25 e 41 há 3 intervalos

b) na coluna ordem, estão marcados na cor laranja números que são triangulares, e os números figurados quadrados centrados estão sempre uma posição posterior a um triangular.

 

Tabela de Números figurados
(Números Poligonais)
 
número
quadrado
centrado
número número número  
ordem triangular quadrado hexagonal diferença
 
1 1 1 1  
2 3 4 6 5
3 6 9 15 9
4 10 16 28 13
5 15 25 45 17
6 21 36 66 21
7 28 49 91 25
8 36 64 120 29
9 45 81 153 33
10 55 100 190 37
11 66 121 231 41
12 78 144 276 45
13 91 169 325 49
14 105 196 378 53
15 120 225 435 57
16 136 256 496 61

 

c) a diferença entre dois números quadrados é número ímpar.

d) na coluna diferença (número ímpar), há números ímpares marcados na cor verde.

e) os números quadrados centrados estão nas posições de um número mútiplo de 2 mais 1 unidade.

f) o segundo fator é número triangular.

(2 x 1) + 1 = 3

(2 x 3) + 1 = 7

(2 x 6) + 1 = 13

(2 x 10) + 1 = 21

(2 x 15) + 1 = 31

(2 x 21) + 1 = 43

Tabela de Números figurados
(Números Poligonais)
 
número número
ímpar quadrado
centrado
número diferença de número  
ordem triangular quadrado hexagonal diferença
 
1 1   1  
2 3 3 6 5
3 6 5 15 9
4 10 7 28 13
5 15 9 45 17
6 21 11 66 21
7 28 13 91 25
8 36 15 120 29
9 45 17 153 33
10 55 19 190 37
11 66 21 231 41
12 78 23 276 45
13 91 25 325 49
14 105 27 378 53
15 120 29 435 57
16 136 31 496 61

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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

Cota, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011

Huntley, H.E. A divina proporção - Um Ensaio da Beleza Matemática - tradução de Luis Carlos Ascênio Nunes. Brasilia, Editora Universidade de Brasilia, 1985

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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