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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados pentagonais - 246

Números figurados ou números poligonais são números que podem ser formados por arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.

Assim como há diversas propriedades numéricas, geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo, os números triangulares também as possuem, pois há diversas propriedades númericas que se relacionam com várias sequências númericas e figuras geométricas.

O presente estudo demonstra que a partir de números triangulares podem-ser obtidas diversas sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.

Números figurados triangulares

Pode-se obter números triangulares através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados triangulares

b) da soma de números consecutivos.

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

c) da fórmula

n x ( n + 1)
_______
2

Números figurados quadrados perfeitos

Pode-se obter números quadrados perfeitos através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados quadrados

b) da multiplicação de um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

c) da soma de números ímpares consecutivos.

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

d) da soma de dois números triangulares consecutivos.

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

e) elevando-se um número ao expoente 2.

12 = 1

22 = 4

32 = 9

Numeros figurados pentagonais

Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos pentágonos.

Pode-se obter números figurados pentagonais através:

a) de arranjos de pontos;

números figurados pentagonais

b) da seguinte fórmula.

3n2 - n
_______
2

Numeros figurados pentagonais centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais pentágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os pentágonos fiquem equidistantes.

números figurados pentagonais centrados

Tabela de números figurados

A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.

A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.

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Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28
5 15 25 35 45
6 21 36 51 66
7 28 49 70 91
8 36 64 92 120
9 45 81 117 153
10 55 100 145 190
11 66 121 176 231
12 78 144 210 276
13 91 169 247 325
14 105 196 287 378
15 120 225 330 435
16 136 256 376 496
17 153 289 425 561
18 171 324 477 630
19 190 361 532 703
20 210 400 590 780
21 231 441 651 861
22 253 484 715 946
23 276 529 782 1035
24 300 576 852 1128
25 325 625 925 1225
26 351 676 1001 1326
27 378 729 1080 1431
28 406 784 1162 1540
29 435 841 1247 1653
30 465 900 1335 1770
31 496 961 1426 1891
32 528 1024 1520 2016
33 561 1089 1617 2145
34 595 1156 1717 2278
35 630 1225 1820 2415
36 666 1296 1926 2556
37 666 1369 2035 2701
38 703 1444 2147 2850
39 741 1521 2262 3003
40 780 1600 2380 3160
41 820 1681 2501 3321
42 861 1764 2625 3486
43 903 1849 2752 3655
44 946 1936 2882 3828
45 990 2025 3015 4005
         
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Sequências numéricas nas linhas da Tabela de Números Figurados

Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.

Linha 2

A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

2 x 3   6    
____ = ____ = 3
2   2    

O fator 2 indica a ordem do triangular 3.

O número 3 é o segundo número triangular.

Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.

Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.

Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.

e assim sucessivamente...

Linha 3

A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.

Tabela de Números Figurados (Números Poligonais)
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

3 x 4   12    
____ = ____ = 6
2   2    

O fator 3 indica a ordem do triangular 6.

O número 6 é o terceiro número triangular.

Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.

Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.

Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.

e assim sucessivamente...

Linha 4

A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
         
  número número número número
ordem triangular quadrado pentagonal hexagonal
         
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
3 6 9 12 15
4 10 16 22 28

A média aritmética do produto de dois números consecutivos é um número triangular.

4 x 5   20    
____ = ____ = 10
2   2    

O fator 4 indica a ordem do triangular 10.

O número 10 é o quarto número triangular.

Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.

Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.

Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.

e assim sucessivamente...

Sequências numéricas nas colunas da Tabela de Números Figurados

Números figurados
(Números Poligonais)
número
triangular
centrado
número número número  
ordem triangular quadrado pentagonal diferença
 
1 1 1 1  
2 3 4 5 4
3 6 9 12 7
4 10 16 22 10
5 15 25 35 13
6 21 36 51 16
7 28 49 70 19
8 36 64 92 22
9 45 81 117 25
10 55 100 145 28
11 66 121 176 31
12 78 144 210 34
13 91 169 247 37
14 105 196 287 40
15 120 225 330 43
16 136 256 376 46
17 153 289 425 49
18 171 324 477 52
19 190 361 532 55
20 210 400 590 58
21 231 441 651 61
22 253 484 715 64
23 276 529 782 67
24 300 576 852 70
25 325 625 925 73
26 351 676 1001 76
27 378 729 1080 79
28 406 784 1162 82
29 435 841 1247 85
30 465 900 1335 88
31 496 961 1426 91
32 528 1024 1520 94
33 561 1089 1617 97
34 595 1156 1717 100
35 630 1225 1820 103
36 666 1296 1926 106
37 703 1369 2035 109
38 741 1444 2147 112
39 780 1521 2262 115
40 820 1600 2380 118
41 861 1681 2501 121
42 903 1764 2625 124
43 946 1849 2752 127
44 990 1936 2882 130
45 1035 2025 3015 133
46 1081 2116 3151 136
         
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Diferença entre números pentagonais

A diferença entre os números pentagonais tem como resultado a seguinte progressão aritmética: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 28, 31,...

1   5   12   22   35   51
  4   7   10   13   16  

A progressão aritmética: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 28, 31,...tem razão 3 (diferença entre os termos).

4   7   10   13   16   19
  3   3   3   3   3  

A partir de 1 e somando-se sempre o número 3 (razão) obtem-se a progressão aritmética da diferença entre os números pentagonais:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,...

1   4   7   10   13   16
  3   3   3   3   3  

A soma de números consecutivos cuja razão é 3 e o primeiro termo é 1 tem como resultado a sequência dos números pentagonais.

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,...

1

1 + 4 = 5

1 + 4 + 7 = 12

1 + 4 + 7 + 10 = 22

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

Número pentagonais

1, 5, 12, 22, 35, 51,...

 

Números figurados triangulares centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais triângulos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os triangulos fiquem equidistantes.

Pode-se obter números figurados triangulares centrados através da soma de dois ou três números triangulares consecutivos.

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 6 = 10

3 + 6 + 10 = 19

6 + 10 + 15 = 31

números figurados triangulares centrados

A diferença entre os números pentagonais tem como resultado a sequência dos números figurados triangulares centrados a partir do número 4: 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136...

Números figurados triangulares centrados e regularidades numéricas

a) os intervalos entre os números figurados triangulares centrados formam a sequência dos números naturais:

entre 4 e 10 há 1 intervalo

entre 10 e 19 há 2 intervalos

entre 19 e 31 há 3 intervalos

b) na coluna ordem, estão marcados na cor laranja números que são triangulares, e os números figurados triangulares centrados estão sempre uma posição posterior a um triangular.

Tabela de Números figurados
(Números Poligonais)
número
triangular
centrado
número número número  
ordem triangular quadrado pentagonal diferença
 
1 1 1 1  
2 3 4 5 4
3 6 9 12 7
4 10 16 22 10
5 15 25 35 13
6 21 36 51 16
7 28 49 70 19
8 36 64 92 22
9 45 81 117 25
10 55 100 145 28
11 66 121 176 31
12 78 144 210 34
13 91 169 247 37
14 105 196 287 40
15 120 225 330 43
16 136 256 376 46

c) a diferença entre dois números quadrados é número ímpar.

d) na coluna diferença (número ímpar), há números ímpares marcados na cor verde.

e) os números triangulares centrados estão nas posições de um número mútiplo de 2 mais 1 unidade.

f) o segundo fator é número triangular

(2 x 1) + 1 = 3

(2 x 3) + 1 = 7

(2 x 6) + 1 = 13

(2 x 10) + 1 = 21

(2 x 15) + 1 = 31

(2 x 21) + 1 = 43

Tabela de Números Figurados
(Números Poligonais)
   
número número
ímpar triangular
centrado
número diferença número  
ordem triangular de quadrados pentagonal diferença
 
1 1   1  
2 3 3 5 4
3 6 5 12 7
4 10 7 22 10
5 15 9 35 13
6 21 11 51 16
7 28 13 70 19
8 36 15 92 22
9 45 17 117 25
10 55 19 145 28
11 66 21 176 31
12 78 23 210 34
13 91 25 247 37
14 105 27 287 40
15 120 29 330 43
16 136 31 376 46

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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

Cota, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011

Huntley, H.E. A divina proporção - Um Ensaio da Beleza Matemática - tradução de Luis Carlos Ascênio Nunes. Brasilia, Editora Universidade de Brasilia, 1985

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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