Números figurados ou números poligonais são números que podem ser formados por arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.
Assim como há diversas propriedades numéricas, geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo, os números triangulares também as possuem, pois há diversas propriedades numéricas que se relacionam com várias outras sequências numéricas e figuras geométricas.
O presente estudo demonstra que a partir de números triangulares podem ser obtidas diversas outras sequências de números poligonais bem como sequências numéricas intercaladas entre números poligonais.
Pode-se obter números triangulares através:
a) de arranjos de pontos;
b) da soma de números consecutivos.
progressão aritmética (razão 1): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
c) da fórmula algébrica
n x ( n + 1) |
_________ |
2 |
Pode-se obter números quadrados perfeitos através:
a) de arranjos de pontos;
b) da multiplicação de um número por ele mesmo;
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
c) da soma de números ímpares consecutivos.
progressão aritmética (razão 2): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
d) da soma de dois números triangulares consecutivos.
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
e) elevando-se um número ao expoente 2.
12 = 1
22 = 4
32 = 9
Partindo-se de um dos vértices, os pontos são alocados nos próprios vértices e posteriormente distribuídos formandos os lados dos pentágonos.
Pode-se obter números figurados pentagonais através:
a) de arranjos de pontos;
c) soma consecutiva da progressão aritmética (razão 3): 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, ...
1
1 + 4 = 5
1 + 4 + 7= 12
1 + 4 + 7 + 10 = 22
1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35
1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51
b) da seguinte fórmula algébrica.
3n2 - n |
______ |
2 |
Partindo-se de um ponto central, os demais pentágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os pentágonos fiquem equidistantes.
Pode-se obter números figurados pentagonais centrados através:
a) de arranjos de pontos;
c) de termos intercalados na progressão aritmética (razão 5): 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 45, 51... que também pode ser obtida da diferença dos números figurados heptagonais.
1 | 7 | 18 | 34 | 55 | ||||
6 | 11 | 16 | 21 |
d) do produto do número 5 por número triangular somado de 1 unidade;
5 { n (n + 1) } + 1 |
_______ |
2 |
(5 x 1) + 1 = 6
(5 x 3) + 1 = 16
(5 x 6) + 1 = 31
(5 x 10) + 1 = 51
(5 x 15) + 1 = 76
(5 x 21) + 1 = 106
A seguinte tabela contêm as primeiras 45 sequências dos números figurados triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais.
A disposição de números figurados em tabela proporciona o estudo de suas propriedades numéricas bem com regularidades entre os números triagulares com os demais números poligonais.
Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais)
Tabela de Números Figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | número | número | número | |
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
6 | 21 | 36 | 51 | 66 |
7 | 28 | 49 | 70 | 91 |
8 | 36 | 64 | 92 | 120 |
9 | 45 | 81 | 117 | 153 |
10 | 55 | 100 | 145 | 190 |
11 | 66 | 121 | 176 | 231 |
12 | 78 | 144 | 210 | 276 |
13 | 91 | 169 | 247 | 325 |
14 | 105 | 196 | 287 | 378 |
15 | 120 | 225 | 330 | 435 |
16 | 136 | 256 | 376 | 496 |
17 | 153 | 289 | 425 | 561 |
18 | 171 | 324 | 477 | 630 |
19 | 190 | 361 | 532 | 703 |
20 | 210 | 400 | 590 | 780 |
21 | 231 | 441 | 651 | 861 |
22 | 253 | 484 | 715 | 946 |
23 | 276 | 529 | 782 | 1035 |
24 | 300 | 576 | 852 | 1128 |
25 | 325 | 625 | 925 | 1225 |
26 | 351 | 676 | 1001 | 1326 |
27 | 378 | 729 | 1080 | 1431 |
28 | 406 | 784 | 1162 | 1540 |
29 | 435 | 841 | 1247 | 1653 |
30 | 465 | 900 | 1335 | 1770 |
31 | 496 | 961 | 1426 | 1891 |
32 | 528 | 1024 | 1520 | 2016 |
33 | 561 | 1089 | 1617 | 2145 |
34 | 595 | 1156 | 1717 | 2278 |
35 | 630 | 1225 | 1820 | 2415 |
36 | 666 | 1296 | 1926 | 2556 |
37 | 666 | 1369 | 2035 | 2701 |
38 | 703 | 1444 | 2147 | 2850 |
39 | 741 | 1521 | 2262 | 3003 |
40 | 780 | 1600 | 2380 | 3160 |
41 | 820 | 1681 | 2501 | 3321 |
42 | 861 | 1764 | 2625 | 3486 |
43 | 903 | 1849 | 2752 | 3655 |
44 | 946 | 1936 | 2882 | 3828 |
45 | 990 | 2025 | 3015 | 4005 |
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Cada sequência numérica em cada linha da Tabela de Números Figurados tem como razão (diferença) um número triangular anterior.
A razão entre os números 3, 4, 5, 6 é o número triangular 1.
Tabela de Números Figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | número | número | número | |
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 é um número triangular.
2 x 3 | 6 | |||
____ | = | ____ | = | 3 |
2 | 2 |
O fator 2 indica a ordem do triangular 3.
O número 3 é o segundo número triangular.
Somando-se o triangular 3 + 1, obtem-se o quadrado 4.
Somando-se o triangular 3 + 2, obtem-se o pentagonal 5.
Somando-se o triangular 3 + 3, obtem-se o hexagonal 6.
e assim sucessivamente...
A razão entre os números 6, 9, 12, 15 é o número triangular 3.
Tabela de Números Figurados (Números Poligonais) | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | número | número | número | |
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 é um número triangular.
3 x 4 | 12 | |||
____ | = | ____ | = | 6 |
2 | 2 |
O fator 3 indica a ordem do triangular 6.
O número 6 é o terceiro número triangular.
Somando-se o triangular 6 + 3, obtem-se o quadrado 9.
Somando-se o triangular 6 + 6, obtem-se o pentagonal 12.
Somando-se o triangular 6 + 9, obtem-se o hexagonal 15.
e assim sucessivamente...
A razão entre os números 10, 16, 22, 28 é o número triangular 6.
Tabela de Números Figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | número | número | número | |
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | hexagonal |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
4 | 10 | 16 | 22 | 28 |
O produto de dois números consecutivos dividido por 2 é um número triangular.
4 x 5 | 20 | |||
____ | = | ____ | = | 10 |
2 | 2 |
O fator 4 indica a ordem do triangular 10.
O número 10 é o quarto número triangular.
Somando-se o triangular 10 + 6, obtem-se o quadrado 16.
Somando-se o triangular 10 + 12, obtem-se o pentagonal 22.
Somando-se o triangular 10 + 18, obtem-se o hexagonal 28.
e assim sucessivamente...
Números figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | ||||
triangular | ||||
centrado | ||||
número | número | número | ||
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | diferença |
1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 3 | 4 | 5 | 4 |
3 | 6 | 9 | 12 | 7 |
4 | 10 | 16 | 22 | 10 |
5 | 15 | 25 | 35 | 13 |
6 | 21 | 36 | 51 | 16 |
7 | 28 | 49 | 70 | 19 |
8 | 36 | 64 | 92 | 22 |
9 | 45 | 81 | 117 | 25 |
10 | 55 | 100 | 145 | 28 |
11 | 66 | 121 | 176 | 31 |
12 | 78 | 144 | 210 | 34 |
13 | 91 | 169 | 247 | 37 |
14 | 105 | 196 | 287 | 40 |
15 | 120 | 225 | 330 | 43 |
16 | 136 | 256 | 376 | 46 |
17 | 153 | 289 | 425 | 49 |
18 | 171 | 324 | 477 | 52 |
19 | 190 | 361 | 532 | 55 |
20 | 210 | 400 | 590 | 58 |
21 | 231 | 441 | 651 | 61 |
22 | 253 | 484 | 715 | 64 |
23 | 276 | 529 | 782 | 67 |
24 | 300 | 576 | 852 | 70 |
25 | 325 | 625 | 925 | 73 |
26 | 351 | 676 | 1001 | 76 |
27 | 378 | 729 | 1080 | 79 |
28 | 406 | 784 | 1162 | 82 |
29 | 435 | 841 | 1247 | 85 |
30 | 465 | 900 | 1335 | 88 |
31 | 496 | 961 | 1426 | 91 |
32 | 528 | 1024 | 1520 | 94 |
33 | 561 | 1089 | 1617 | 97 |
34 | 595 | 1156 | 1717 | 100 |
35 | 630 | 1225 | 1820 | 103 |
36 | 666 | 1296 | 1926 | 106 |
37 | 703 | 1369 | 2035 | 109 |
38 | 741 | 1444 | 2147 | 112 |
39 | 780 | 1521 | 2262 | 115 |
40 | 820 | 1600 | 2380 | 118 |
41 | 861 | 1681 | 2501 | 121 |
42 | 903 | 1764 | 2625 | 124 |
43 | 946 | 1849 | 2752 | 127 |
44 | 990 | 1936 | 2882 | 130 |
45 | 1035 | 2025 | 3015 | 133 |
46 | 1081 | 2116 | 3151 | 136 |
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A diferença entre os números pentagonais tem como resultado a seguinte progressão aritmética: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 28, 31,...
1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | |||||
4 | 7 | 10 | 13 | 16 |
A progressão aritmética: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 28, 31,...tem razão 3 (diferença entre os termos).
4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | |||||
3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
A partir de 1 e somando-se sempre o número 3 (razão) obtem-se a progressão aritmética da diferença entre os números pentagonais:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,...
1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | |||||
3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
A soma de números consecutivos cuja razão é 3 e o primeiro termo é 1 tem como resultado a sequência dos números pentagonais.
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,...
1
1 + 4 = 5
1 + 4 + 7 = 12
1 + 4 + 7 + 10 = 22
1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35
Número pentagonais
1, 5, 12, 22, 35, 51,...
Partindo-se de um ponto central, os demais triângulos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os triangulos fiquem equidistantes.
Pode-se obter números figurados triangulares centrados através:
a) da soma de dois ou três números triangulares consecutivos.
1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 6 = 10
3 + 6 + 10 = 19
6 + 10 + 15 = 31
b) de números pentagonais: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176,...
A diferença entre dois números pentagonais têm como resultados termos da sequência dos números figurados triangulares centrados a partir do número 4: 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136...
5 - 1 = 4
12 - 5 = 7
22 - 12 = 10
35 - 22 = 13
51 - 35 = 16
70 - 51 = 19
92 - 70 = 22
117 - 92 = 25
c) de termos intercalados da progressão aritmética cujo primeiro termo é 1 e razão 3;
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31,...
1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | |||||
3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
d) do produto do número 3 por número número triangular somado de 1 unidade;
3 { n (n + 1) } + 1 |
_______ |
2 |
(3 x 1) + 1 = 4
(3 x 3) + 1 = 10
(3 x 6) + 1 = 19
(3 x 10) + 1 = 31
(3 x 15) + 1 = 46
a) os intervalos entre os números figurados triangulares centrados formam a sequência dos números naturais:
entre 4 e 10 há 1 intervalo
entre 10 e 19 há 2 intervalos
entre 19 e 31 há 3 intervalos
b) na coluna ordem, estão marcados na cor laranja números que são triangulares, e os números figurados triangulares centrados estão sempre uma posição posterior a um triangular.
Tabela de Números figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | ||||
triangular | ||||
centrado | ||||
número | número | número | ||
ordem | triangular | quadrado | pentagonal | diferença |
1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 3 | 4 | 5 | 4 |
3 | 6 | 9 | 12 | 7 |
4 | 10 | 16 | 22 | 10 |
5 | 15 | 25 | 35 | 13 |
6 | 21 | 36 | 51 | 16 |
7 | 28 | 49 | 70 | 19 |
8 | 36 | 64 | 92 | 22 |
9 | 45 | 81 | 117 | 25 |
10 | 55 | 100 | 145 | 28 |
11 | 66 | 121 | 176 | 31 |
12 | 78 | 144 | 210 | 34 |
13 | 91 | 169 | 247 | 37 |
14 | 105 | 196 | 287 | 40 |
15 | 120 | 225 | 330 | 43 |
16 | 136 | 256 | 376 | 46 |
c) a diferença entre dois números quadrados é número ímpar.
d) na coluna diferença (número ímpar), há números ímpares marcados na cor verde.
e) os números triangulares centrados estão nas posições de um número mútiplo de 2 mais 1 unidade.
f) o segundo fator é número triangular
(2 x 1) + 1 = 3
(2 x 3) + 1 = 7
(2 x 6) + 1 = 13
(2 x 10) + 1 = 21
(2 x 15) + 1 = 31
(2 x 21) + 1 = 43
Tabela de Números Figurados | ||||
---|---|---|---|---|
(Números Poligonais) | ||||
número | número | |||
ímpar | triangular | |||
centrado | ||||
número | diferença | número | ||
ordem | triangular | de quadrados | pentagonal | diferença |
1 | 1 | 1 | ||
2 | 3 | 3 | 5 | 4 |
3 | 6 | 5 | 12 | 7 |
4 | 10 | 7 | 22 | 10 |
5 | 15 | 9 | 35 | 13 |
6 | 21 | 11 | 51 | 16 |
7 | 28 | 13 | 70 | 19 |
8 | 36 | 15 | 92 | 22 |
9 | 45 | 17 | 117 | 25 |
10 | 55 | 19 | 145 | 28 |
11 | 66 | 21 | 176 | 31 |
12 | 78 | 23 | 210 | 34 |
13 | 91 | 25 | 247 | 37 |
14 | 105 | 27 | 287 | 40 |
15 | 120 | 29 | 330 | 43 |
16 | 136 | 31 | 376 | 46 |
Faça o downlod da Tabela de Números Figurados (Números Poligonais)
Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020
COTA, Adreia Caroline da Silva. Euler e os números pentagonais. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2011
HUNTLEY, H.E. A divina proporção - Um Ensaio da Beleza Matemática - tradução de Luis Carlos Ascênio Nunes. Brasilia, Editora Universidade de Brasilia, 1985
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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