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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados hexagonais estrelados - 249

Números figurados são números que podem ser representados por arranjos de pontos com os quais podem ser formados figuras geométrias como triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

A partir de números triagulares podem ser construídos os demais números figurados que representam figuras geométricas regulares.

Veja matérias relacionadas:

011-estudos-248-numeros-figurados-e-numeros-poligonais.

Números figurados triangulares

Obtem-se números triangulares através da soma de números consecutivos:

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

da mesma forma, a partir de um ponto acrescenta-se outras quantidades em um dos lados para se formar triângulos equiláteros.

números figurados triangulares

Números figurados hexagonais centrados

Partindo-se de um ponto central, os demais hexágonos são formados marcando-se os vértices e posteriormente distribuindo os pontos em seus lados de forma que os hexágonos fiquem equidistantes.

números figurados hexagonais centrados

Números figurados triangulares especiais

Determinados números figurados triangulares apresentam números figurados hexagonais centrados inscritos.

Os números 10, 28, 55, 91, 136 e outros estão em rol de números figurados triangulares em que contém figuras de hexágonos centrados inscritos.

números figurados triagulares especiais

Número figurado hexagonal estrelado de 13 pontos

Sobrepondo dois triângulos figurados de 10 pontos forma-se um hexágono estrelado de 13 pontos.

Cada lado do hexágono contêm um triângulo figurado de 1 ponto, totalizando 6 triângulo figurados.

número hexagonal estrelado 13

Hexágono estrelado 13 e números consecutivos

Hexágono estrelado construído com 13 pontos e numerados com os 13 primeiros números naturais apresenta as seguintes relações numéricas com hexágono centrado de 7 pontos:

a) o número 7, que corresponde ao segundo hexágono centrado se encontra no centro do hexágono estrelado;

b) a soma de dois termos equidistante do centro do hexágono estrelado tem como resultado 14, que é o dobro de 7;

c) a soma dos números: 1 + 5 + 12 + 13 + 9 + 2 = 42 que o produto de 6x7;

d) a soma dos números: 3 + 4 + 8 + 11 + 10 + 6 = 42 que o produto de 6x7;

e) a soma de três números em sentido diagonal tem como resultado 21.

hexagono estrelado 13 - numeros consecutivos

Número figurado hexagonal estrelado 37

Sobrepondo dois triângulos figurados de 28 pontos forma-se um hexágono estrelar de 37 pontos.

Cada lado do hexágono contêm um triângulo figurado de 3 pontos, totalizando 6 triângulo figurados.

numero figurado hexagonal 37

Hexágono estrelado 37 - números consecutivos

Hexágono estrelado construído com 37 pontos e numerados com os 37 primeiros números naturais apresenta as seguintes relações numéricas com hexágono centrado de 19 pontos:

a) o número 19, que corresponde ao terceiro hexágono centrado se encontra no centro do hexágono estrelado;

b) a soma de dois termos equidistante do centro do hexágono estrelado tem como resultado 38, que é o dobro de 19;

c) a soma dos números: 1 + 10 + 34 + 37 + 28 + 4 = 114 que o produto de 6x19;

d) a soma dos números: 2 + 3 + 9 + 16 + 27 + 33 + 36 + 35 + 29 + 28 + 11 + 5 = 228 que o produto de 12x19;

e) a soma dos números: 6 + 7 + 8 + 15 + 21 + 26 + 32 + 31 + 30 + 23 + 17 + 12 = 228 que o produto de 12x19;

f) a soma dos números: 13 + 14 + 20 + 25 + 24 + 18 = 114 que o produto de 6x19.

hexagono estrelado 37 - numeros consecutivos

Números figurados hexagonais estrelados a partir de triângulos equiláteros

Justapondo-se triângulos equiláteros é possível construir hexágonos estrelados.

Os triângulos equiláteros estão numerados, assim como seus vértices e em quantidades de múltiplos de 6 e apresentam interessantes propriedades geométricas e numéricas com hexágonos estrelados centrados construídos por pontos.

Hexágono estrelado - 12 triângulos

Hexágono estrelar construído com 12 triângulos equiláteros.

Termos equidistantes

Dispondo os termos da sequência (1, 2,...11, 12) em uma tabela verifica-se a propriedade de uma progressão aritmética finita em que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = 78
                           
1                     12 = 13
  2                 11   = 13
    3             10     = 13
      4         9       = 13
        5     8         = 13
          6 7           = 13

A mesma propriedade se observa na disposição da sequência numérica (1, 2, 3,...10, 11, 12) no formato de estrela de 6 pontas.

 

hexágono estrelado - 12 triângulos

Soma dos termos

A soma dos termos 1 + 2 + .....+ 11 + 12 = 78

O 120 número triangular é 78.

Soma dos termos nas pontas da estrela

1 + 6 + 11 + 12 + 7 + 2 = 39

39 é a metade de 78.

A quantidade de triângulos equiláteros que formam as pontas da estrela é igual a quantidade que formam o hexágono.

6 triângulos equiláteros formam as pontas da estrela.

6 triângulos equiláteros formam o hexágono.

Soma dos termos no hexágono

4 + 5 + 10 + 9 + 8 + 3 = 39

39 é a metade de 78.

A quantidade de triângulos equiláteros que formam o hexágono é igual a quantidade que formam as pontas da estrela.

6 triângulos equiláteros formam o hexágono.

6 triângulos equiláteros formam as pontas da estrela.

Quantidade de vértices

A quantidade de vértices é igual a soma de dois termos equidistantes.

13 vértices.

13 é o hexágono estrelar centrado construído por pontos.

Hexágono estrelado - 48 triângulos

Hexágono estrelado construído com 48 triângulos equiláteros.

hexágono estrelado - 48 triângulos

 

Soma do termos

A soma dos termos 1 + 2 + .....+ 47 + 48 = 1176

O 480 número triangular é 1176.

Soma dos termos nas pontas da estrela

        Sub-total
        0
1 2 3 4 10
13 14 15 24 66
33 42 43 44 162
45 46 47 48 186
25 34 35 36 130
5 6 7 16 34
0
Total 588

588 é a metade de 1176.

A quantidade de triângulos equiláteros que formam as pontas da estrela é igual a quantidade que formam os hexágonos.

24 triângulos equiláteros formam as pontas da estrela.

24 triângulos equiláteros formam os dois hexágonos.

Soma dos termos nos hexágonos

            Sub-total
            0
19 20 21 28 29 30 147
0
8 9 10 11 12 50
17 18 22 23 80
26 27 31 32 116
37 38 39 40 41 195
0
Total 588

588 é a metade de 1176.

A quantidade de triângulos equiláteros que formam os hexágonos é igual a quantidade que formam as pontas da estrela.

24 triângulos equiláteros formam os hexágonos.

24 triângulos equiláteros formam as pontas da estrela.

Quantidade de vértices

37 vértices.

37 é o hexágono estrelar centrado construído por pontos.

Tabela de números hexagonais estrelados

Tabela com os 50 primeiro números hexagonais estrelados.

Pode-se obter números hexagonais estrelados por meio da seguinte fórmula algébrica:

12 { n (n + 1) } + 1
_______
2

ou de modo prático multiplicando o número 12 por um número triangular somado de 1 unidade.

O número 1 por convenção é um número poligonal.

1

(12 x 1) + 1 = 13

(12 x 3) + 1 = 37

(12 x 6) + 1 = 73

(12 x 10) + 1 = 121

(12 x 15) + 1 = 181

Números
Hexagonais Estrelados
   
posição números
/ordem hexagonais estrelados
   
1 1
2 13
3 37
4 73
5 121
6 181
7 253
8 337
9 433
10 541
11 661
12 793
13 937
14 1093
15 1261
16 1441
17 1633
18 1837
19 2053
20 2281
21 2521
22 2773
23 3037
24 3313
25 3601
26 3901
27 4213
28 4537
29 4873
30 5221
31 5581
32 5953
33 6337
34 6733
35 7141
36 7561
37 7993
38 8437
39 8893
40 9361
41 9841
42 10333
43 10837
44 11353
45 11881
46 12421
47 12973
48 13537
49 14113
50 14701
   
wwww.osfantasticosnúmerosprimos.com.br

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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