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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequências Numéricas e Algarismos - 274

Na sequência dos números naturais de 1 a n, qualquer que seja o número, ele tem como último algarismo, um dos algarismos indo-arábicos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 0, e a cada 10 números a sequência: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 0 que se repete ciclicamente.

O algarismo final de um número também se relaciona com o tipo de sequência numérica em que ele está inserido, isto é, há padrões nas terminações das sequências, sejam elas aritméticas ou geométricas.

Sequências númericas na Tabuada

A principal propriedade da Tabuada de Multiplicação é que de uma forma sintética é possível obter os múltiplos dos números naturais de 1 a 10 bem como seus respectivos produtos entre dois números naturais.

A Tabuada de Multiplicação possui diversas outras propriedades aritméticas e algébricas embutidas na sua contrução e que estão publicadas no livro digital Tabuada de Pythágoras e Sequências Numéricas que inclusive apresenta um nova sequência numérica formadas por potências em que as bases e expoentes são números ímpares: 31 , 53 , 75, 9 7 , 119,...

Tabuada de Multiplicação
                   
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
                   
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Sequências numéricas de algarismos finais de múltiplos ímpares

Os algarismos finais de múltiplos ímpares apresentam simetrias entre eles e podemos melhor analisá-los na presente tabela:

a) os algarismos nos extremos, excluindo-se o 0 (zero), em diagonais, são os mesmos;

b) a soma de dois termos equidistantes, tanto horizontal e verticamente, tem como resultado 10;

c) o número 5, excluindo-se o 0 (zero), é o termo médio de cada sequência, bem como a média aritmética da soma de termos equidistantes;

Algarismos finais
de múltiplos ímpares
números algarismos finais
ímpares                    
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
3 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0
7 7 4 1 8 5 2 9 6 3 0
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
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Sequências numéricas de algarismos finais de múltiplos pares

Os algarismos finais de múltiplos pares apresentam simetrias entre eles e podemos melhor analisá-los na presente tabela:

a) os algarismos nos extremos, excluindo-se o 0 (zero), da última coluna à direita, em diagonais, são os mesmos;

b) o número 0, excluindo-se o 0 (zero), da última coluna à direita, é o que divide cada sequência;

c) a soma de dois termos equidistantes, tanto horizontal quanto verticamente, tem como resultado 10;

Algarismos finais
de múltiplos pares
números algarismos finais
pares                    
2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0
4 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0
6 6 2 8 4 0 6 2 8 4 0
8 8 6 4 2 0 8 6 4 2 0
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Sequências numéricas de algarismos finais de Potências

Assim como na sequência dos números naturais e na Tabuada de Multiplicação, nas potências de números naturais ocorrem também regularidades numéricas quanto aos algarismos finais de seus termos.

Números quadrados

Sequência dos 10 primeiros números quadrados perfeitos.

Números quadrados perfeitos terminam em 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0.

Não há números quadrados terminados em 2, 3, 7 e 8.

número quadrados
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100

Números Cúbicos

Sequência dos 10 primeiros números cúbicos perfeitos.

Números cúbicos terminam em 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9 e 0.

número cubos
1 1
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729
10 1000

Números de 4a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 4a potências.

Números de 4a potência terminam em 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1 e 0.

número 4a potências
1 1
2 16
3 81
4 256
5 625
6 1296
7 2401
8 4096
9 6561
10 10000

Números de 5a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 5a potências.

Números de 5a potência terminam em 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 0.

número 5a potências
1 1
2 32
3 243
4 1024
5 3125
6 7776
7 16807
8 32768
9 59049
10 100000

Números de 6a potênciad

Sequência dos 10 primeiros números de 6a potências.

Números de 6a potências terminam em 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 e 0.

número 6a potência
1 1
2 64
3 729
4 4096
5 15625
6 46656
7 117649
8 262144
9 531441
10 1000000

Números de 7a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 7a potências.

Números de 7a potências terminam em 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9 e 0.

número 7a potência
1 1
2 128
3 2187
4 16384
5 78125
6 279936
7 823543
8 2097152
9 4782969
10 10000000

Números de 8a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 8a potências.

Números de 8a potências terminam em 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1 e 0.

número 8a potência
1 1
2 256
3 6561
4 65536
5 390625
6 1679616
7 5764801
8 16777216
9 43046721
10 100000000

Números de 9a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 9a potências.

Números de 9a potências terminam em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0.

número 9a potência
1 1
2 512
3 19683
4 262144
5 1953125
6 10077696
7 40353607
8 134217728
9 387420489
10 1000000000

Números de 10a potências

Sequência dos 10 primeiros números de 10a potências.

Números de 10a potências terminam em 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0.

número 10a potência
1 1
2 1024
3 59049
4 1048576
5 9765625
6 60466176
7 282475249
8 1073741824
9 3486784401
10 10000000000

Potências e algarismos finais

Construindo-se uma tabela com os algarismos finais de cada número referente a cada sequência de potências observa-se que:

a) os algarismos finais das 2a, 6a e 10a potências são iguais;

b) os algarismos finais das 3a e 7a potências são iguais;

c) os algarismos finais das 4a e 8a potências são iguais;

d) os algarismos finais das 5a e 9a potências são iguais;

e) o algarismo 1 é o termo incial de cada sequência;

f) o algarismo 0 é o termo final de cada sequência;

g) o algarismos 5 e 6 se encontram nos meios das sequências.

Potências
e algarismos finais
                     
numero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
                     
2a Potência - quadrado 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0
                     
3a Potência - cubo 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0
                     
4a Potência 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0
                     
5a Potência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
                     
6a Potência 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0
                     
7a Potência 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0
                     
8a Potência 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0
                     
9a Potência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
                     
10a Potência 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0
                     
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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