Todo número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos.
O presente estudo demonstram novas propriedades relacionadas a números ímpares:
a) primos;
b) compostos;
c) quadrados perfeitos, em relações à diferenças entre números quadrados perfeitos sucessor e antecessor, bem como, suas raízes quadradas.
Número ímpar primo é a diferença exclusiva de uma única dupla de números quadrados perfeitos.
Números ímpares compostos, entre eles, quadrados perfeitos são diferenças de mais de uma dupla de números quadrados perfeitos.
Propriedades estas que estão estritamente relacionadas a divisores de um número ímpar.
A Tabela a seguir demontram as 14 primeiras diferenças entre 2 números quadrados perfeitos (consecutivos) sendo um quadrado sucessor e o outro quadrado antecessor.
| Diferença entre | |||
| 2 Números Quadrados Perfeitos | |||
| quadrado | quadrado | diferença | |
| (raiz) | sucessor | antecessor | (números |
| ímpares) | |||
| 1 | 1 | ||
| 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 9 | 4 | 5 |
| 4 | 16 | 9 | 7 |
| 5 | 25 | 16 | 9 |
| 6 | 36 | 25 | 11 |
| 7 | 49 | 36 | 13 |
| 8 | 64 | 49 | 15 |
| 9 | 81 | 64 | 17 |
| 10 | 100 | 81 | 19 |
| 11 | 121 | 100 | 21 |
| 12 | 144 | 121 | 23 |
| 13 | 169 | 144 | 25 |
| 14 | 196 | 169 | 27 |
| 15 | 225 | 196 | 29 |
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Número ímpar igual ou maior que 3 pode ser decomposto / escrito como soma de 2 números consecutivos.
Exemplos:
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
Somando-se o número 3 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a primeira soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 3 é a diferença exclusiva entre 2 quadrados perfeitos: o quadrado 4 e quadrado 1.
| Número Primo 3 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 3 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 3 | 1 | 1 | 4 | 2 |
| 3 | 2 | 4 | 7 | 2,645 |
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Somando-se o número 5 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a segunda soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 5 é a diferença exclusiva entre 2 quadrados perfeitos: o quadrado 9 e quadrado 4.
| Número Primo 5 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 5 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 5 | 1 | 1 | 6 | 2,449 |
| 5 | 2 | 4 | 9 | 3 |
| 5 | 3 | 9 | 14 | 3,741 |
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Somando-se o número 7 (número primo) com números quadrados perfeitos até próximo de seu valor, a única soma cujo resultado é também um quadrado perfeito é a terceira soma (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número primo 7 é a diferença exclusiva e principal entre 2 quadrados perfeitos, o quadrado 16 e quadrado 9.
| Número Primo 7 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 7 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 7 | 1 | 1 | 8 | 2,828 |
| 7 | 2 | 4 | 11 | 3,316 |
| 7 | 3 | 9 | 16 | 4 |
| 7 | 4 | 16 | 23 | 4,795 |
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Somando-se o número 9 (número quadrado perfeito) com números quadrados perfeitos até o quadrado 25, as somas cujos resultados são também quadrados perfeitos são a primeira e quinta somas (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número quadrado 9 é a diferença entre 2 duplas de quadrados perfeitos: o quadrado 9 e quadrado 0 e o quadrado 25 e o quadrado 16.
| Número Quadrado 9 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 9 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 9 | 0 | 0 | 9 | 3 |
| 9 | 1 | 1 | 10 | 3,162 |
| 9 | 2 | 4 | 13 | 3,605 |
| 9 | 3 | 9 | 18 | 4,242 |
| 9 | 4 | 16 | 25 | 5 |
| 9 | 5 | 25 | 34 | 5,830 |
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Efetuando os cálculos por meio das seguintes fórmulas, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
Para mais informações sobre as fórmulas, veja abaixo, Matérias Relacionadas.
5 é a raiz quadrada de 25.
| 9 + 1² | 10 | |||
| ____ | = | ___ | = | 5 |
| 2 x 1 | 2 |
4 é a raiz quadrada de 16.
| 9 - 1² | 8 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 1 | 2 |
Nos primeiros cálculos tem-se a comprovação de que 9 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
4 + 5 = 9
3 é a raiz quadrada de 9.
| 9 + 3² | 18 | |||
| ____ | = | ___ | = | 3 |
| 2 x 3 | 6 |
0 é a raiz quadrada de 0.
| 9 - 3² | 0 | |||
| ____ | = | ___ | = | 0 |
| 2 x 3 | 6 |
Somando-se o número 15 (número composto) com números quadrados perfeitos até o quadrado 64, as somas cujos resultados são também quadrados perfeitos são a sengunda e oitava somas (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número composto 15 é a diferença entre 2 duplas de quadrados perfeitos: o quadrado 16 e quadrado 1 e o quadrado 64 e o quadrado 49.
| Número Composto 15 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 15 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 15 | 0 | 0 | 15 | 3,872 |
| 15 | 1 | 1 | 16 | 4 |
| 15 | 2 | 4 | 19 | 4,358 |
| 15 | 3 | 9 | 24 | 4,898 |
| 15 | 4 | 16 | 31 | 5,567 |
| 15 | 5 | 25 | 40 | 6,324 |
| 15 | 6 | 36 | 51 | 7,141 |
| 15 | 7 | 49 | 64 | 8 |
| 15 | 8 | 64 | 79 | 8,888 |
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Efetuando os cálculos por meio das seguintes fórmulas, onde:
Dq = Diferença entre dois quadrados perfeitos
Dr² = Diferença entre duas raízes ao quadrado
2r = Dobro da diferença entre duas raízes
podem ser comprovadas:
a) a raiz quadrada sucessora - Fórmula da Soma
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
b) a raiz quadrada antecessora - Fórmula da Diferença
| Dq - Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
8 é a raiz quadrada de 64.
| 15 + 1² | 16 | |||
| ____ | = | ___ | = | 8 |
| 2 x 1 | 2 |
7 é a raiz quadrada de 49.
| 15 - 1² | 14 | |||
| ____ | = | ___ | = | 7 |
| 2 x 1 | 2 |
Nos primeiros cálculos tem-se a comprovação de que 15 pode ser escrito como soma de 2 números consecutivos.
7 + 8 = 15
4 é a raiz quadrada de 16.
| 15 + 3² | 24 | |||
| ____ | = | ___ | = | 4 |
| 2 x 3 | 6 |
1 á a raiz quadrada de 1.
| 15 - 3² | 6 | |||
| ____ | = | ___ | = | 1 |
| 2 x 3 | 6 |
Utilizando-se as fórmulas acima (os primeiros cálculos) sempre com a raiz 1 e para qualquer número ímpar igual ou maior que 3, os resultados sempre serão números consecutivos.
Os números consecutivos são ao mesmo tempo raízes quadradas e que somados é o número número ímpar substituído nas fórmulas.
A partir das tabelas acima se descobriu um padrão e métodos para se descobrir outras raízes, bem como, seus quadrados que têm como diferença um mesmo número ímpar composto a partir de divisores de um número.
Tomando-se como exemplo o número composto 15:
a) divisores de 15 = {1, 3, 5, 15}
b) 15 = 3 x 5
c) soma-se os fatores
3 + 5 = 8
d) dividi-se a soma 8 por 2
8 : 2 = 4
e) subtraí-se o menor fator 3 de 4
4 - 3 = 1
f) as raízes encontradas são 4 e 1
ou
g) ( 5 + 3 ) / 2 = 4
h) ( 5 - 3 ) / 2 = 1
i) as raízes encontradas são 4 e 1
Comprovação
42 - 12 = 16 - 1 = 15
j) interessante observar que neste caso a soma das raízes é um dividor de 15
1 + 4 = 5
O número composto 45 é o primeiro número que é a diferença de 3 duplas de números quadrados (células laranjas):
Somando-se o número 45 (número composto) com números quadrados perfeitos até o quadrado 484, as somas cujos resultados são também quadrados perfeitos são a terceira, a sétima e vigésima terceira somas (células laranjas).
Pode-se afirmar que o número composto 45 é a diferença entre 3 duplas de quadrados perfeitos:
49 e 4;
81 e 36;
529 e 484.
| Número Composto 45 | ||||
| e Soma com Quadrados | ||||
| número 45 | raiz do | quadrado | soma | raiz da |
| quadrado | soma | |||
| 45 | 0 | 0 | 45 | 6,708203932 |
| 45 | 1 | 1 | 46 | 6,782329983 |
| 45 | 2 | 4 | 49 | 7 |
| 45 | 3 | 9 | 54 | 7,348469228 |
| 45 | 4 | 16 | 61 | 7,810249676 |
| 45 | 5 | 25 | 70 | 8,366600265 |
| 45 | 6 | 36 | 81 | 9 |
| 45 | 7 | 49 | 94 | 9,695359715 |
| 45 | 8 | 64 | 109 | 10,44030651 |
| 45 | 9 | 81 | 126 | 11,22497216 |
| 45 | 10 | 100 | 145 | 12,04159458 |
| 45 | 11 | 121 | 166 | 12,88409873 |
| 45 | 12 | 144 | 189 | 13,74772708 |
| 45 | 13 | 169 | 214 | 14,62873884 |
| 45 | 14 | 196 | 241 | 15,5241747 |
| 45 | 15 | 225 | 270 | 16,43167673 |
| 45 | 16 | 256 | 301 | 17,34935157 |
| 45 | 17 | 289 | 334 | 18,27566688 |
| 45 | 18 | 324 | 369 | 19,20937271 |
| 45 | 19 | 361 | 406 | 20,14944168 |
| 45 | 20 | 400 | 445 | 21,09502311 |
| 45 | 21 | 441 | 486 | 22,04540769 |
| 45 | 22 | 484 | 529 | 23 |
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Lembrando que:
a) todo número ímpar igual ou maior que 3 é a diferença entre 2 números quadrados perfeitos.
b) todo número ímpar pode ser decomposto / escrito como soma de 2 números consecutivos;
c) 45 = 22 + 23
d) a diferença dos quadrados dos números consecutivos é 45;
232 - 222 = 529 - 484 = 45
e) 484 e 529 é a primeira dupla de quadrados cuja diferença é 45.
f) divisores de 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
3 x 15 = 45
3 + 15 = 18
18 : 2 = 9
9 - 3 = 6
ou
( 15 + 3 ) / 2 = 9
( 15 - 3 ) / 2 = 6
as raízes encontradas são 6 e 9
Obs: a soma das raízes é 15 (divisor de 45)
Comprovação:
92 - 62 = 81 - 36 = 45
81 e 36 é a segunda dupla de quadrados cuja diferença é 45.
g) divisores de 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
5 x 9 = 45
5 + 9 = 14
14 : 2 = 7
7 - 5 = 2
ou
( 9 + 5 ) / 2 = 7
( 9 - 5 ) / 2 = 2
as raízes encontradas são 7 e 2
Obs: a soma das raízes é 9 (divisor de 45)
Comprovação:
72 - 22 = 49 - 4 = 45
49 e 4 é a terceira dupla de quadrados cuja diferença é 45.
Com as demostrações acima descritas, comprova-se mais uma belíssima propriedade relacionada a divisores de um número natural ímpar composto de que são possíveis se de decobrirem outras duplas de quadrados nas quais esse número ímpar composto é a diferença.
Comprova-se também que números primos são diferenças de uma única dupla de quadrados consecutivos, fato este que pode ser utilizado para se descobrir números primos auxiliado por critérios de divisibilidade.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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