O presente estudo demonstra que tabuadas em formatos de tabelas (linhas e colunas), além de auxiliarem em operações matemáticas, carregam em suas estruturas elementos que podem formar dois tipos de progressões aritméticas a partir de um PA Matriz:
a) progressões aritméticas cíclicas;
b) progressões aritméticas não-cíclicas.
Progressões Aritméticas Cíclicas são progressões aritiméticas geradas de uma Progressão Aritmética Matriz que por sua vez é gerada de 2 fatores primos entre si e de seu produto, isto é, de tabuada de multiplicação.
Progressões Aritméticas Não-Cíclicas são progressões aritiméticas geradas de uma Progressão Aritmética Matriz que por sua vez é gerada de 2 fatores em que um dos fatores é múltiplo do outro e de seu produto, isto é, de tabuada de multiplicação.
Nas Progressões Aritméticas Não-Cíclicas, seus termos não são divisíveis pelos fatores e o produto que a geraram da Progressão Aritmética Matriz.
Tabuadas são dispositivos numéricos que servem para auxilarem em operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão e que possuem dois formatos "tradicionais", isto é, podem ser construídas em formas de tabelas com linhas e colunas, bem como, em tabelas por sistema de coordenadas cartesianas.
Além de auxiliarem em operações matemáticas, há tabuadas que contêm em suas estruturas, diversas outras relações matemáticas entre números naturais, números figurados, números combinatórios, números binominais, bem como, com a geometria, tais como, as Tabuadas de: Números Ímpares, Números Triangulares, Números Cúbicos, Números Palíndromos, etc, tabuadas estas, publicadas aqui no WebSite Os Fantásticos Número Primos.
Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a razão (diferença entre dois termos) é uma constante.
Progressão Aritmética Finita possui propriedades muito importantes:
a) a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.
b) a média aritmética de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao termo do meio, tendo a P.A. finita, quantidade de termos ímpares;
c) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A finita, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois termos.
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 1 | = | 2 |
| 2 | x | 2 | = | 4 |
| 2 | x | 3 | = | 6 |
| 2 | x | 4 | = | 8 |
| 2 | x | 5 | = | 10 |
| 2 | x | 6 | = | 12 |
| 2 | x | 7 | = | 14 |
| 2 | x | 8 | = | 16 |
| 2 | x | 9 | = | 18 |
| 2 | x | 10 | = | 20 |
Os fatores que são múltiplos do fator constante 2 (cor laranja), a progressão aritmética terá o fator constante como primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz e esta PA Matriz não gerará PAs Cíclicas.
Os fatores que não são múltiplos do fator constante 2 (números primos entre si) (cor azul), a progressão aritmética terá o fator constante com primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz e esta PA Matriz gerará PAs Cíclicas que sua vez a razão é o fator variável.
PA - 10 termo 2 e razão 2, nas divisões por 2, geram PAs Cíclicas de razões 1 (sequências de números naturais).
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 1 | = | 2 |
Os farores 2 e 1 são primos entre si.
O fator variável 1 é as razões das PAs Cíclicas.
Nas linhas de números 1, 2, 4, 8, 16 há potências de base 2 em ordem decrescente.
Na sequência de números naturais, há termos que são divisíveis pelo fator constante 2.
| Tabela 1 | ||||||
| Múltiplos de 2 | ||||||
| e Divisões por 2 | ||||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||||
| ordem / | múltiplos | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| posição | de | divisão | divisão | divisão | divisão | divisão |
| 2 | ||||||
| quocientes | ||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||
| 2 | 4 | 2 | 1 | |||
| 3 | 6 | 3 | ||||
| 4 | 8 | 4 | 2 | 1 | ||
| 5 | 10 | 5 | ||||
| 6 | 12 | 6 | 3 | |||
| 7 | 14 | 7 | ||||
| 8 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | |
| 9 | 18 | 9 | ||||
| 10 | 20 | 10 | 5 | |||
| 11 | 22 | 11 | ||||
| 12 | 24 | 12 | 6 | 3 | ||
| 13 | 26 | 13 | ||||
| 14 | 28 | 14 | 7 | |||
| 15 | 30 | 15 | ||||
| 16 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 17 | 34 | 17 | ||||
| 18 | 36 | 18 | 9 | |||
| 19 | 38 | 19 | ||||
| 20 | 40 | 20 | 10 | 5 | ||
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PA - 10 termo 2 e razão 4, nas divisões por 2, geram uma única PA de razão 1 cujos termos não são múltiplos de 2 (sequência de números ímpares).
A PA - 10 termo 2 e razão 4 não gera PAs Cíclicas.
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 2 | = | 4 |
O fator constante 2 é múltiplo do fator variável 2.
A linha de número 1 é a única em que há potências de 2 em ordem decrescente.
Na sequência de números ímpar, não há termos que são divisíveis pelo fator constante 2.
| Tabela 2 | ||
| Múltiplos de 2 | ||
| e Divisões por 2 | ||
| PA Matriz | PA Não-Cíclica | |
| ordem/ | múltiplos | 1a |
| posição | de | divisão |
| 2 | ||
| quocientes | ||
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 6 | 3 |
| 3 | 10 | 5 |
| 4 | 14 | 7 |
| 5 | 18 | 9 |
| 6 | 22 | 11 |
| 7 | 26 | 13 |
| 8 | 30 | 15 |
| 9 | 34 | 17 |
| 10 | 38 | 19 |
| 11 | 42 | 21 |
| 12 | 46 | 23 |
| 13 | 50 | 25 |
| 14 | 54 | 27 |
| 15 | 58 | 29 |
| 16 | 62 | 31 |
| 17 | 66 | 33 |
| 18 | 70 | 35 |
| 19 | 74 | 37 |
| 20 | 78 | 39 |
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PA - 10 termo 2 e razão 6, nas divisões por 2 geram 2 PAs distintas e cíclicas de razões 3.
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 3 | = | 6 |
O fator constante 2 e o fator varíavel 3 são primos entre si.
O fator variável 3 é as razões das PAs Cíclicas.
Nas linhas de números 1, 2 e 22 há potências de base 2 em ordem decrescente.
Na PA Cíclica: (1, 4, 7, 10,...), há termos que são divisíveis pelo fator constante 2.
| Tabela 3 | ||||||
| Múltiplos de 2 | ||||||
| e Divisões por 2 | ||||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||||
| ordem / | múltiplos | 1a | 2a | 3a | 4a | 5a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão | divisão | divisão |
| 2 | ||||||
| quocientes | ||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||
| 2 | 8 | 4 | 2 | 1 | ||
| 3 | 14 | 7 | ||||
| 4 | 20 | 10 | 5 | |||
| 5 | 26 | 13 | ||||
| 6 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 7 | 38 | 19 | ||||
| 8 | 44 | 22 | 11 | |||
| 9 | 50 | 25 | ||||
| 10 | 56 | 28 | 14 | 7 | ||
| 11 | 62 | 31 | ||||
| 12 | 68 | 34 | 17 | |||
| 13 | 74 | 37 | ||||
| 14 | 80 | 40 | 20 | 10 | 5 | |
| 15 | 86 | 43 | ||||
| 16 | 92 | 46 | 23 | |||
| 17 | 98 | 49 | ||||
| 18 | 104 | 52 | 26 | 13 | ||
| 19 | 110 | 55 | ||||
| 20 | 116 | 58 | 29 | |||
| 21 | 122 | 61 | ||||
| 22 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 |
| 23 | 134 | 67 | ||||
| 24 | 140 | 70 | 35 | |||
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Na PA - 10 termo 2 e razão 8, nas divisões por 2 geram uma única PA de razão 4 cujos termos não são múltiplos de 2.
A PA - 10 termo 2 e razão 8 não gera PAs Cíclicas.
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 4 | = | 8 |
Os fator variável 4 é múltiplo do fator constante 2.
A linha de número 1 é a única em que há potências de 2 em ordem decrescente.
Na PA Não-Cíclica: (1, 5, 9, 13,...), não há termos que são divisíveis pelo fator constante 2.
| Tabela 4 | ||
| Múltiplos de 2 | ||
| e Divisões por 2 | ||
| PA Matriz | PA Não-Cíclica | |
| ordem/ | múltiplos | 1a |
| posição | de | divisão |
| 2 | quociente | |
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 10 | 5 |
| 3 | 18 | 9 |
| 4 | 26 | 13 |
| 5 | 34 | 17 |
| 6 | 42 | 21 |
| 7 | 50 | 25 |
| 8 | 58 | 29 |
| 9 | 66 | 33 |
| 10 | 74 | 37 |
| 11 | 82 | 41 |
| 12 | 90 | 45 |
| 13 | 98 | 49 |
| 14 | 106 | 53 |
| 15 | 114 | 57 |
| 16 | 122 | 61 |
| 17 | 130 | 65 |
| 18 | 138 | 69 |
| 19 | 146 | 73 |
| 20 | 154 | 77 |
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PA - 10 termo 2 e razão 10, nas divisões por 2, geram PAs Cíclicas de razões 5.
| Tabuada do 2 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 2 | x | 5 | = | 10 |
O fator constante 2 e o fator varíavel 5 são primos entre si.
O fator variável 5 é as razões das PAs Cíclicas.
Nas linhas de números 1 e 4 há potências de base 2 em ordem decrescente.
Na PA Cíclica: (1, 6, 11, 16,...), há termos que são divisíveis pelo fator constante 2.
| Tabela 5 | ||||||
| Múltiplos de 2 | ||||||
| e Divisões por 2 | ||||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||||
| ordem / | múltiplos | 1a | 2a | 3a | 4a | 5a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão | divisão | divisão |
| 2 | ||||||
| quocientes | ||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||
| 2 | 12 | 6 | 3 | |||
| 3 | 22 | 11 | ||||
| 4 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 5 | 42 | 21 | ||||
| 6 | 52 | 26 | 13 | |||
| 7 | 62 | 31 | ||||
| 8 | 72 | 36 | 18 | 9 | ||
| 9 | 82 | 41 | ||||
| 10 | 92 | 46 | 23 | |||
| 11 | 102 | 51 | ||||
| 12 | 112 | 56 | 28 | 14 | 7 | |
| 13 | 122 | 61 | ||||
| 14 | 132 | 66 | 33 | |||
| 15 | 142 | 71 | ||||
| 16 | 152 | 76 | 38 | 19 | ||
| 17 | 162 | 81 | ||||
| 18 | 172 | 86 | 43 | |||
| 19 | 182 | 91 | ||||
| 20 | 192 | 96 | 48 | 24 | 12 | 6 |
| 21 | 202 | 101 | ||||
| 22 | 212 | 106 | 53 | |||
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Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, não gerará progressão aritmética cíclica.
Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um número não múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, gerará progressões aritméticas cíclicas.
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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