Progressão Aritmética, ou simplesmente PA, é uma sequencia numérica em cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente somado a um número constante denominado de razão.
O presente estudo demonstra que determinadas progressões aritméticas cujos termos são múltiplos do primeiro termo, ao serem divididos por esse primeiro termo podem formar progressões aritméticas cíclicas, isto é, progressões aritméticas formadas por um divisor costante.
Desejando-se obter determinados múltiplos de um número natural, podemos utilizar os seguintes métodos:
a) saltando quantidades fixas na sequência de números naturais;
múltiplos de 3, saltando de 3 em 3 números a partir do 3.
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
b) somando-se o mesmo número a partir dele próprio;
3
3 + 3 = 6
3 + 3 + 3 = 9
3 + 3 + 3 + 3 = 12
c) múltiplicando-se um número pela sequência de números naturais, obtendo-se desta forma a Tabuada do 3;
| Tabuada do 3 | ||||
| 3 | x | 1 | = | 3 |
| 3 | x | 2 | = | 6 |
| 3 | x | 3 | = | 9 |
| 3 | x | 4 | = | 12 |
| 3 | x | 5 | = | 15 |
| 3 | x | 6 | = | 18 |
| 3 | x | 7 | = | 21 |
| 3 | x | 8 | = | 24 |
| 3 | x | 9 | = | 27 |
| 3 | x | 10 | = | 30 |
d) construindo-se tabela numérica;
| Tabela Numérica | ||
| de 3 Colunas | ||
| A | B | C |
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 |
| 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 |
| 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 |
| 25 | 26 | 27 |
| 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 |
| 34 | 35 | 36 |
| 37 | 38 | 39 |
| 40 | 41 | 42 |
| 43 | 44 | 45 |
| 46 | 47 | 48 |
| 49 | 50 | 51 |
| 52 | 53 | 54 |
| 55 | 56 | 57 |
| 58 | 59 | 60 |
Na tabela numérica formada por 3 colunas com números naturais contata-se as seguintes propriedades numéricas:
a) a coluna C (cor laranja) é formada exclusivamente por múltiplos de 3;
b) em cada coluna, a razão de cada progressão aritmética é 3;
c) na primeira linha, os números 1 e 2 são os possíveis restos quando um número natural, não múltiplo de 3, for dividido por 3;
d) nas colunas A e B não há múltiplos de 3.
e) a coluna E é formada por números triangulares centrados.
Importante observar que as progressões aritméticas nas colunas A e B são originárias, isto é, naturais da Tabela Numérica de 3 Colunas porque foram formadas somando-se uma razão.
PA - 10 termo 3 e razão 3, na primeira divisão por 3, tem-se a sequência de números naturais.
Interessante observar que:
a) 3 x 1 = 3;
b) o fator 1 é a razão das PAs formadas por divisões por 3;
c) o fator 1 não um múltiplo de 3;
d) na primeira divisão, forma-se uma progressão aritmética cíclica;
e) nas linhas de números 9 e 27, há potências de base 3 em ordem decrescente: (27, 9, 3, 1) e (81, 27, 9, 3) respectivamente.
| Tabela 1 | ||||
| Múltiplos de 3 | ||||
| e Divisões por 3 | ||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||
| ordem/ | múltiplos | 1a | 2a | 3a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão |
| 3 | ||||
| quocientes | ||||
| 1 | 3 | 1 | ||
| 2 | 6 | 2 | ||
| 3 | 9 | 3 | 1 | |
| 4 | 12 | 4 | ||
| 5 | 15 | 5 | ||
| 6 | 18 | 6 | 2 | |
| 7 | 21 | 7 | ||
| 8 | 24 | 8 | ||
| 9 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| 10 | 30 | 10 | ||
| 11 | 33 | 11 | ||
| 12 | 36 | 12 | 4 | |
| 13 | 39 | 13 | ||
| 14 | 42 | 14 | ||
| 15 | 45 | 15 | 5 | |
| 16 | 48 | 16 | ||
| 17 | 51 | 17 | ||
| 18 | 54 | 18 | 6 | 2 |
| 19 | 57 | 19 | ||
| 20 | 60 | 20 | ||
| 21 | 63 | 21 | 7 | |
| 22 | 66 | 22 | ||
| 23 | 69 | 23 | ||
| 24 | 72 | 24 | 8 | |
| 25 | 75 | 25 | ||
| 26 | 78 | 26 | ||
| 27 | 81 | 27 | 9 | 3 |
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PA - 10 termo 3 e razão 6, na primeira divisão por 3, gera a sequência de números ímpares.
A razão 6 é o dobro de 3.
Interessante observar que:
a) 3 x 2 = 6;
b) o fator 2 é a razão das PAs formadas por divisões por 3;
d) o fator 2 não é um múltiplo de 3.
e) na primeira divisão, forma-se uma progressão aritmética cíclica;
f) nas linhas de números 5 e 14, há potências de base 3 em ordem decrescente: (27, 9, 3, 1) e (81, 27, 9, 3) respectivamente.
| Tabela 2 | ||||
| Múltiplos de 3 | ||||
| e Divisões por 3 | ||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||
| ordem/ | múltiplos | 1a | 2a | 3a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão |
| 3 | ||||
| quocientes | ||||
| 1 | 3 | 1 | ||
| 2 | 9 | 3 | 1 | |
| 3 | 15 | 5 | ||
| 4 | 21 | 7 | ||
| 5 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| 6 | 33 | 11 | ||
| 7 | 39 | 13 | ||
| 8 | 45 | 15 | 5 | |
| 9 | 51 | 17 | ||
| 10 | 57 | 19 | ||
| 11 | 63 | 21 | 7 | |
| 12 | 69 | 23 | ||
| 13 | 75 | 25 | ||
| 14 | 81 | 27 | 9 | 3 |
| 15 | 87 | 29 | ||
| 16 | 93 | 31 | ||
| 17 | 99 | 33 | 11 | |
| 18 | 105 | 35 | ||
| 19 | 111 | 37 | ||
| 20 | 117 | 39 | 13 | |
| 21 | 123 | 41 | ||
| 22 | 129 | 43 | ||
| 23 | 135 | 45 | 15 | 5 |
| 24 | 141 | 47 | ||
| 25 | 147 | 49 | ||
| 26 | 153 | 51 | 17 | |
| 27 | 159 | 53 | ||
| 28 | 165 | 55 | ||
| 29 | 171 | 57 | 19 | |
| 30 | 177 | 59 | ||
| 31 | 183 | 61 | ||
| 32 | 189 | 63 | 21 | 7 |
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PA - 10 termo 3 e razão 9, nas divisões por 3, geram uma única PA de razão 3 cujos termos não são múltiplos de 3.
9 é o triplo , o quadrado, potência e múltiplo de 3.
Observações importantes:
a) a PA: 1, 4, 7, 10,... também se encontra da Tabela Numérica 3 acima;
b) a PA: 1, 4, 7, 10,..., é uma PA de dupla formação, isto porque foi gerada por meio de soma de razão e por meio de divisão de uma constante.
c) quando um dos fatores for múltiplo do outro: 3 x 3 = 9 e o produto for a razão da PA, então a PA formada por divisão não será uma PA cíclica;
d) somente na linha 1, há ocorrências de potências de base 3.
| Tabela 3 | ||
| Múltiplos de 3 | ||
| e Divisões por 3 | ||
| PA Matriz | PA Não-Cíclica | |
| ordem / | múltiplos | 1a |
| posição | de | divisão |
| 3 | ||
| quociente | ||
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 12 | 4 |
| 3 | 21 | 7 |
| 4 | 30 | 10 |
| 5 | 39 | 13 |
| 6 | 48 | 16 |
| 7 | 57 | 19 |
| 8 | 66 | 22 |
| 9 | 75 | 25 |
| 10 | 84 | 28 |
| 11 | 93 | 31 |
| 12 | 102 | 34 |
| 13 | 111 | 37 |
| 14 | 120 | 40 |
| 15 | 129 | 43 |
| 16 | 138 | 46 |
| 17 | 147 | 49 |
| 18 | 156 | 52 |
| 19 | 165 | 55 |
| 20 | 174 | 58 |
| 21 | 183 | 61 |
| 22 | 192 | 64 |
| 23 | 201 | 67 |
| 24 | 210 | 70 |
| 25 | 219 | 73 |
| 26 | 228 | 76 |
| 27 | 237 | 79 |
| 28 | 246 | 82 |
| 29 | 255 | 85 |
| 30 | 264 | 88 |
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PA - 10 termo 3 e razão 12, na primeira e segunda divisões por 3, gerou-se 2 PAs distintas.
Na terceira divisão por 3, a primeira PA se torna cíclica.
A razão 12 é o quádruplo de 3.
Interessante observar que:
a) 3 x 4 = 12;
b) o fator 4 é a razão das PAs formadas por divisões por 3;
c) 4 não é um múltiplo de 3 (são primos entre si).
d) nas linhas de número 3 e 21, há potências de base em ordem decrescente: (27, 9, 3, 1) e (243, 81, 27, 9) respectivamente.
| Tabela 4 | ||||
| Múltiplos de 3 | ||||
| e Divisões por 3 | ||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||
| ordem/ | múltiplos | 1a | 2a | 3a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão |
| 3 | ||||
| quocientes | ||||
| 1 | 3 | 1 | ||
| 2 | 15 | 5 | ||
| 3 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| 4 | 39 | 13 | ||
| 5 | 51 | 17 | ||
| 6 | 63 | 21 | 7 | |
| 7 | 75 | 25 | ||
| 8 | 87 | 29 | ||
| 9 | 99 | 33 | 11 | |
| 10 | 111 | 37 | ||
| 11 | 123 | 41 | ||
| 12 | 135 | 45 | 15 | 5 |
| 13 | 147 | 49 | ||
| 14 | 159 | 53 | ||
| 15 | 171 | 57 | 19 | |
| 16 | 183 | 61 | ||
| 17 | 195 | 65 | ||
| 18 | 207 | 69 | 23 | |
| 19 | 219 | 73 | ||
| 20 | 231 | 77 | ||
| 21 | 243 | 81 | 27 | 9 |
| 22 | 255 | 85 | ||
| 23 | 267 | 89 | ||
| 24 | 279 | 93 | 31 | |
| 25 | 291 | 97 | ||
| 26 | 303 | 101 | ||
| 27 | 315 | 105 | 35 | |
| 28 | 327 | 109 | ||
| 29 | 339 | 113 | ||
| 30 | 351 | 117 | 39 | 13 |
| 31 | 363 | 121 | ||
| 32 | 375 | 125 | ||
| 33 | 387 | 129 | 43 | |
| 34 | 399 | 133 | ||
| 35 | 411 | 137 | ||
| 36 | 423 | 141 | 47 | |
| 37 | 435 | 145 | ||
| 38 | 447 | 149 | ||
| 39 | 459 | 153 | 51 | 17 |
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PA - 10 termo 3 e razão 15, na primeira, segunda, terceira e quarta divisões por 3, gerou-se 4 PAs distintas.
Na quinta divisão por 3, a primeira PA se torna cíclica.
A razão 15 é o quíntuplo de 3.
Interessante observar que:
a) 3 x 5 = 15;
b) o fator 5 é a razão das PAs formadas por divisões por 3;
c) 5 é a quantidade de divisões;
d) 5 não um múltiplo de 3 (são primos entre si).
e) na linha de número 17, há potências de base 3 em ordem decrescente: (243, 81, 27, 9, 3, 1).
| Tabela 5 | ||||||
| Múltiplos de 3 | ||||||
| e Divisões por 3 | ||||||
| PA Matriz | PAs Cíclicas | |||||
| ordem / | múltiplos | 1a | 2a | 3a | 4a | 5a |
| posição | de | divisão | divisão | divisão | divisão | divisão |
| 3 | quocientes | |||||
| 1 | 3 | 1 | ||||
| 2 | 18 | 6 | 2 | |||
| 3 | 33 | 11 | ||||
| 4 | 48 | 16 | ||||
| 5 | 63 | 21 | 7 | |||
| 6 | 78 | 26 | ||||
| 7 | 93 | 31 | ||||
| 8 | 108 | 36 | 12 | 4 | ||
| 9 | 123 | 41 | ||||
| 10 | 138 | 46 | ||||
| 11 | 153 | 51 | 17 | |||
| 12 | 168 | 56 | ||||
| 13 | 183 | 61 | ||||
| 14 | 198 | 66 | 22 | |||
| 15 | 213 | 71 | ||||
| 16 | 228 | 76 | ||||
| 17 | 243 | 81 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| 18 | 258 | 86 | ||||
| 19 | 273 | 91 | ||||
| 20 | 288 | 96 | 32 | |||
| 21 | 303 | 101 | ||||
| 22 | 318 | 106 | ||||
| 23 | 333 | 111 | 37 | |||
| 24 | 348 | 116 | ||||
| 25 | 363 | 121 | ||||
| 26 | 378 | 126 | 42 | 14 | ||
| 27 | 393 | 131 | ||||
| 28 | 408 | 136 | ||||
| 29 | 423 | 141 | 47 | |||
| 30 | 438 | 146 | ||||
| 31 | 453 | 151 | ||||
| 32 | 468 | 156 | 52 | |||
| 33 | 483 | 161 | ||||
| 34 | 498 | 166 | ||||
| 35 | 513 | 171 | 57 | 19 | ||
| 36 | 528 | 176 | ||||
| 37 | 543 | 181 | ||||
| 38 | 558 | 186 | 62 | |||
| 39 | 573 | 191 | ||||
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PA - 10 termo 3 e razão 18, as divisões por 3 geram uma única PA de razão 6 cujos termos não são múltiplos de 3.
A razão 18 é o sextuplo de 3.
18 é um múltiplo 3.
Interessante observar que:
a) 3 x 6 = 18;
b) o fator 6 é a razão da PA não cíclica formada por divisões por 3;
c) 6 é um múltiplo de 3.
d) somente na linha 1, há linhas ocorrência de potências de base 3.
Observações importantes:
a) quando um dos fatores for múltiplo do outro: 3 x 6 = 18 e o produto for a razão da PA, então a PA formada por divisão não será uma PA cíclica;
b) A PA Não-Cíclica é formada por números hexagonais centradados: (1, 7, 13, 19,...)
| Tabela 6 | ||
| Múltiplos de 3 | ||
| e Divisões por 3 | ||
| PA Matriz | PA Não-Cíclica | |
| ordem/ | múltiplos | 1a |
| posição | de | divisão |
| 3 | ||
| quociente | ||
| Números | ||
| Hexagonais | ||
| Centrados | ||
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 21 | 7 |
| 3 | 39 | 13 |
| 4 | 57 | 19 |
| 5 | 75 | 25 |
| 6 | 93 | 31 |
| 7 | 111 | 37 |
| 8 | 129 | 43 |
| 9 | 147 | 49 |
| 10 | 165 | 55 |
| 11 | 183 | 61 |
| 12 | 201 | 67 |
| 13 | 219 | 73 |
| 14 | 237 | 79 |
| 15 | 255 | 85 |
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Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, não gerará progressão aritmética cíclica.
Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um número não múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, gerará progressões aritméticas cíclicas.
De modo prático, é verificar a Tabuada de um número, no exemplo, a Tabuada do 3.
| Tabuada do 3 | ||||
| fator constante | fator variável | produto | ||
| 3 | x | 1 | = | 3 |
| 3 | x | 2 | = | 6 |
| 3 | x | 3 | = | 9 |
| 3 | x | 4 | = | 12 |
| 3 | x | 5 | = | 15 |
| 3 | x | 6 | = | 18 |
| 3 | x | 7 | = | 21 |
| 3 | x | 8 | = | 24 |
| 3 | x | 9 | = | 27 |
| 3 | x | 10 | = | 30 |
Os fatores que são múltiplos do fator constante 3 (cor laranja), a progressão aritmética terá o fator constante como primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz e esta PA Matriz não gerará PA Não-Cíclica.
Os fatores que não são múltiplos do fator constante 3 (cor azul), a progressão aritmética terá o fator constante com primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz e esta PA Matriz gerará PAs Cíclicas.
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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