capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Progressões Aritméticas Cíclicas - 660

Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a razão (diferença entre dois termos) é uma constante.

Progressão Aritmética Finita possui propriedades muito importantes:

a) a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual a soma dos termos dos extremos.

b) a média aritmética de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao termo do meio, tendo a P.A. finita quantidade de termos ímpares;

c) a média aritmética, considerando 3 termos consecutivos de uma P.A finita, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois termos.

O presente estudo demonstra que uma mesma progressão aritmética pode ser formada tanto pela soma de uma razão quanto por um divisor constante.

Demonstra também que progressão aritmética gerada por um divisor constante pode ser uma progressão aritmética cíclica, pois ela pode ser gerada mais de uma vez a partir de uma progressão aritmética matriz.

Dispositivos Numéricos

Dispositivos numéricos, como o próprio nome diz, são instrumentos que nos auxiliam em operações matemáticas como a famosa Tabuada de Multiplicação, como também, conter em sua estrutura diversas relações matemáticas entre números naturais, números figurados, números combinatórios, números binominais, bem como, com a geometria como o também famoso Triângulo de Pascal.

Podemos construir infinitas tabelas com números naturais com colunas fixas, de forma que a última coluna, seja formada por múltiplos de um número natural.

Exemplos:

Tabela com 2 colunas

A segunda coluna é formada por múltiplos de 2.

Tabela 1

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10
11	12
13	14
15	16
17	18
19	20

Tabela com 3 colunas

A terceira coluna é formada por múltiplos de 3.

Tabela 2

1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
16	17	18
19	20	21
22	23	24
25	26	27
28	29	30

Tabela com 4 colunas

A quarta coluna é formada por múltiplos de 4.

Tabela 3

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16
17	18	19	20
21	22	23	24
25	26	27	28
29	30	31	32
33	34	35	36
37	38	39	40

Cruz de Números Primos

Construindo-se tabelas e as estudando para encontrar quadrados semi-mágicos 3x3 que possa ter cruz de números primos (células verdes), construiu-se a seguinte tabela numérica cujo primeiro termo é 2 e razão 3 e que apresenta em sua construção múltiplos de 5 que quando destacados (células laranjas) se encontram alinhados diagonalmente (como movimentos zigue-zague).

Para mais informações sobre Quadrados Mágicos e Cruzes de Números Primos veja:

011-estudos-659-quadrados-magicos-3x3-cruzes-de-numeros-primos

Tabela 4

Progressão Aritmética
primeiro termo 2 - razão 3

2	5	8	11	14	17	20
23	26	29	32	35	38	41
44	47	50	53	56	59	62
65	68	71	74	77	80	83
86	89	92	95	98	101	104
107	110	113	116	119	122	125
128	131	134	137	140	143	146
149	152	155	158	161	164	167
170	173	176	179	182	185	188
191	194	197	200	203	206	209
212	215	218	221	224	227	230
233	236	239	242	245	248	251
254	257	260	263	266	269	272
275	278	281	284	287	290	293
296	299	302	305	308	311	314
317	320	323	326	329	332	335
338	341	344	347	350	353	356
359	362	365	368	371	374	377
380	383	386	389	392	395	398
401	404	407	410	413	416	419

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 30)

Organizando os múltiplos de 5 em ordem crescente da Tabela 4 e dividindo-os por 5 contata-se que:

a) os múltiplos de 5 formam uma progressão aritmética de razão 30 (coluna B);

b) na primeira divisão por 5, os quocientes formam uma progressão aritmética de razão 6 (coluna C) e, entre os termos, há múltiplos de 5, bem como, números primos;

c) na segunda divisão por 5, os quocientes formam uma progressão aritmética de razão 6 (coluna E) e, entre os termos, há múltiplos de 5, bem como, números primos;

d) na terceira divisão por 5 (coluna G) , os quocientes formam a mesma progressão aritmética de razão 6 da coluna C e, entre os termos, há múltiplos de 5, bem como, números primos;

e) nas colunas B, C, E e G não há múltiplos de 3;

f) na linha de número 5, há potências de base 5 em ordem decrescente: 125, 25, 5, 1.

Aqui um fato matemático interessantíssimo, senão inédito, progressão aritmética cujos termos terminados em um mesmo algarismo, o 5, em que divisões sucessivas pelo próprio número terminado no algarismo 5, retorna à mesma progressão aritmética da primeira divisão.

Tabela 5

Múltiplos de 5
e Divisões por 5

A	B	C	D	E	F	G

	PA Matriz	PA Cíclica		PA Cíclica		PA Cíclica

ordem /	múltiplos	1^a		2^a		3^a
posição	de	divisão		divisão		divisão
	5
		quocientes		quocientes		quocientes

1	5	1	-
2	35	7	Primo
3	65	13	Primo
4	95	19	Primo
5	125	25	-	5	Primo	1
6	155	31	Primo
7	185	37	Primo
8	215	43	Primo
9	245	49	-
10	275	55	-	11	Primo
11	305	61	Primo
12	335	67	Primo
13	365	73	Primo
14	395	79	Primo
15	425	85	-	17	Primo
16	455	91	-
17	485	97	Primo
18	515	103	Primo
19	545	109	Primo
20	575	115	-	23	Primo
21	605	121	-
22	635	127	Primo
23	665	133	-
24	695	139	Primo
25	725	145	-	29	Primo
26	755	151	Primo
27	785	157	Primo
28	815	163	Primo
29	845	169	-
30	875	175	-	35	-	7
31	905	181	Primo
32	935	187	-
33	965	193	Primo
34	995	199	Primo
35	1025	205	-	41	Primo
36	1055	211	Primo
37	1085	217	-
38	1115	223	Primo
39	1145	229	Primo
40	1175	235	-	47	Primo
41	1205	241	Primo
42	1235	247	-
43	1265	253	-
44	1295	259	-
45	1325	265	-	53	Primo
46	1355	271	Primo
47	1385	277	Primo
48	1415	283	Primo
49	1445	289	-
50	1475	295	-	59
51	1505	301	-
52	1535	307	Primo
53	1565	313	Primo
54	1595	319	-
55	1625	325	-	65		13
56	1655	331	Primo
57	1685	337	Primo
58	1715	343	-
59	1745	349	Primo
60	1775	355	-	71	Primo
61	1805	361	-
62	1835	367	Primo
63	1865	373	Primo
64	1895	379	Primo
65	1925	385	-	77
66	1955	391	-
67	1985	397	Primo
68	2015	403	-
69	2045	409	Primo
70	2075	415	-	83	Primo

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Tabela Numérica de 6 Colunas

Na tabela numérica formada por 6 colunas com números naturais, contata-se as seguintes propriedades numéricas:

a) a coluna F (cor laranja) é formada exclusivamente por múltiplos de 6;

b) em cada coluna, as razões das progressões aritméticas é 6;

c) na primeira linha, os números 1, 2, 3, 4, 5 são os possíveis restos quando um número natural, não múltiplos de 6, for dividido por 6;

d) nas colunas A, B, D e E não há múltiplos de 3.

e) nas colunas A (cor verde) e E (cor azul), as progressões aritméticas são as mesmas que aparerem nas colunas C, E e G na Tabela 5 acima;

f) a coluna A é formada por números hexagonais centrados.

Importante observar que:

a) as progressões aritméticas nas colunas A e E abaixo são originárias, isto é, naturais da Tabela Numérica de 6 Colunas porque foram formadas somando-se uma razão;

b) as progressões aritméticas nas colunas C, E e G na Tabela 5 acima foram formadas a partir de um divisor constante.

Tabela 6

Tabela Numérica de 6 Colunas

A	B	C	D	E	F

hexagonais
centrados

1	2	3	4	5	6

7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36
37	38	39	40	41	42
43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54
55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66
67	68	69	70	71	72
73	74	75	76	77	78
79	80	81	82	83	84
85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102
103	104	105	106	107	108

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 5)

PA - 1⁰ termo 5 e razão 5, nas divisões por 5, geram ciclicamente a sequência de números naturais.

Nas linhas de números 5 e 25, há potências de base 5 em ordem decrescente: (25, 5, 1) e (125, 25, 5, 1) respectivamente.

Tabela 7

Múltiplos de 5
e Divisões por 5

	PA Matriz	PAs Cíclicas

ordem /	múltiplos	1^a	2^a	3^a
posição	de	divisão	divisão	divisão
	5
		quocientes

1	5	1
2	10	2
3	15	3
4	20	4
5	25	5	1
6	30	6
7	35	7
8	40	8
9	45	9
10	50	10	2
11	55	11
12	60	12
13	65	13
14	70	14
15	75	15	3
16	80	16
17	85	17
18	90	18
19	95	19
20	100	20	4
21	105	21
22	110	22
23	115	23
24	120	24
25	125	25	5	1

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 10)

PA - 1⁰ termo 5 e razão 10, nas divisões por 5, geram ciclicamente a sequência de números ímpares.

10 é o dobro de 5.

A razão (diferença) entre dois números ímpares é 2.

Nas linhas de números 3 e 13, há potências de base 5 em ordem decrescente: (25, 5, 1) e (125, 25, 5, 1) respectivamente.

Tabela 8

Múltiplos de 5
e Divisões por 5

	PA Matriz	PAs Cíclicas

ordem/	múltiplos	1^a	2^a	3^a
posição	de	divisão	divisão	divisão
	5
		quocientes

1	5	1
2	15	3
3	25	5	1
4	35	7
5	45	9
6	55	11
7	65	13
8	75	15	3
9	85	17
10	95	19
11	105	21
12	115	23
13	125	25	5	1
14	135	27
15	145	29
16	155	31
17	165	33
18	175	35	7
19	185	37
20	195	39
21	205	41
22	215	43
23	225	45	9
24	235	47
25	245	49
26	255	51
27	265	53
28	275	55	11
29	285	57
30	295	59
31	305	61
32	315	63
33	325	65	13
34	335	67
35	345	69
36	355	71
37	365	73
38	375	75	15	3

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 15)

PA - 1⁰ termo 5 e razão 15, nas divisões por 5, geram ciclicamente 2 PAs distintas de razão 3.

15 é o triplo de 5.

15 é um múltiplo de 3.

Nas PAs cíclicas não há múltiplos de 3.

Na linha de número 9, há potências de base 5 em ordem decrescente: (125, 25, 5, 1).

Tabela 9

Múltiplos de 5
e Divisões por 5

	PA Matriz	PAs Cíclicas

ordem/	múltiplos	1^a	2^a	3^a
posição	de	divisão	divisão	divisão
	5
		quocientes

1	5	1
2	20	4
3	35	7
4	50	10	2
5	65	13
6	80	16
7	95	19
8	110	22
9	125	25	5	1
10	140	28
11	155	31
12	170	34
13	185	37
14	200	40	8
15	215	43
16	230	46
17	245	49
18	260	52
19	275	55	11
20	290	58
21	305	61
22	320	64
23	335	67
24	350	70	14
25	365	73
26	380	76
27	395	79
28	410	82
29	425	85	17
30	440	88
31	455	91
32	470	94
33	485	97
34	500	100	20	4
35	515	103
36	530	106
37	545	109
38	560	112
39	575	115	23
40	590	118
41	605	121
42	620	124
43	635	127
44	650	130	26
45	665	133
46	680	136
47	695	139
48	710	142
49	725	145	29
50	740	148
51	755	151
52	770	154
53	785	157
54	800	160	32
55	815	163
56	830	166
57	845	169
58	860	172
59	875	175	35	7

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 20)

PA - 1⁰ termo 5 e razão 20, nas divisões por 5, geram ciclicamente uma mesma PA de razão 4.

20 é o quádruplo de 5.

20 é múltiplo de 4.

Nas linhas de números 2, 7 e 32, há potências de base 5 em ordem decrescente: (25, 5, 1) ; (125, 25, 5, 1) e (625, 125, 25, 5) respectivamente.

Tabela 10

Múltiplos de 5
e Divisões por 5

	PA Matriz	PAs Cíclicas

ordem/	múltiplos	1^a	2^a	3^a
posição	de	divisão	divisão	divisão
	5
		quocientes

1	5	1
2	25	5	1
3	45	9
4	65	13
5	85	17
6	105	21
7	125	25	5	1
8	145	29
9	165	33
10	185	37
11	205	41
12	225	45	9
13	245	49
14	265	53
15	285	57
16	305	61
17	325	65	13
18	345	69
19	365	73
20	385	77
21	405	81
22	425	85	17
23	445	89
24	465	93
25	485	97
26	505	101
27	525	105	21
28	545	109
29	565	113
30	585	117
31	605	121
32	625	125	25	5
33	645	129
34	665	133
35	685	137
36	705	141
37	725	145	29
38	745	149
39	765	153
40	785	157
41	805	161
42	825	165	33
43	845	169
44	865	173
45	885	177
46	905	181
47	925	185	37
48	945	189
49	965	193
50	985	197
51	1005	201
52	1025	205	41
53	1045	209
54	1065	213
55	1085	217
56	1105	221
57	1125	225	45	9

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 1⁰ termo 5, razão 25)

PA - 1⁰ termo 5 e razão 25, nas divisões por 5, geram uma única PA de razão 5.

25 é o quíntuplo de 5.

25 é o quadrado de 5.

A razão 5 é um número primo.

Diferentemente das outras tabelas acima, nesta tabela não se gerou PA cíclica.

Não há linhas com potências de base 5.

	Tabela 11

	Múltiplos de 5
	e Divisões por 5

	PA Matriz	PA Não-Cíclica

ordem/	múltiplos	1^a
posição	de	divisão
	5
		quociente

1	5	1
2	30	6
3	55	11
4	80	16
5	105	21
6	130	26
7	155	31
8	180	36
9	205	41
10	230	46
11	255	51
12	280	56
13	305	61
14	330	66
15	355	71
16	380	76
17	405	81
18	430	86
19	455	91
20	480	96
21	505	101
22	530	106
23	555	111
24	580	116
25	605	121

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Conclusão:

Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, não gerará progressão aritmética cíclica.

Sendo uma progressão aritmética cujo primeiro termo é um número igual ou maior que 2 e a sua razão o produto do primeiro termo com um número não múltiplo desse primeiro termo, então essa progressão aritmética, gerará progressões aritméticas cíclicas.

De modo prático, é verificar a Tabuada de um número, no exemplo, a Tabuada do 5.

Tabuada do 5

fator constante		fator variável		produto

5	x	1	=	5
5	x	2	=	10
5	x	3	=	15
5	x	4	=	20
5	x	5	=	25
5	x	6	=	30
5	x	7	=	35
5	x	8	=	40
5	x	9	=	45
5	x	10	=	50

Os fatores que são múltiplos do fator constante 5 (cor laranja), a progressão aritmética terá o fator constante como primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz, e esta PA Matriz não gerará PA Não-Cíclica.

Os fatores que não são múltiplos do fator constante 5 (cor azul), a progressão aritmética terá o fator constante com primeiro termo, o produto como razão da PA Matriz e esta PA Matriz gerará PAs Cíclicas.

Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

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SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 10)

Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 15)

Múltiplos de 5 e divisões por 5 (PA - 10 termo 5, razão 20)

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Conclusão:

Fontes Bibliográficas:

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