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Números Primos e Métodos Variantes de Fatoração de Fermat - 688

Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado, entusiasta matemático e cientista francês, nos deixou um grande legado de teorias e estudos matemáticos e, entre seus trabalhos, se encontra dois métodos de fatoração que leva o seu nome: Metódo de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados) e Metódo de Fatoração de Fermat ( número ímpar e soma sucessiva de ímpares consecutivos) que são objetos de análise neste estudo.

A partir de estudos dos algoritmos: Método 1* de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados) e Metódo 2** de Fatoração de Fermat ( número ímpar e somas sucessivas de ímpares consecutivos), deduziu-se o Método Variante 2a de Fatoração de Fermat e que apresenta interessantes propriedades relacionadas a números primos, números compostos, bem como, a números semiprimos.

O Método Variante 2a de Fatoração de Fermat consiste em fixar um número ímpar e fazer sucessivas somas com quadrados perfeitos consecutivos em ( n - 1 ) / 2 etapas de tal modo obter produtos de 2 ou mais fatores distintos a partir de raízes quadradas.

*

** para melhor clareza e distinção dos métodos, decidiu-se numerá-los respectivamente de Método 1 e Método 2.

Método 1 de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados)

Método extraído do Google Chrome (visão geral criada por Inteligência Artificial).

"O método de fatoração de Fermat é uma técnica para fatores inteiros, que se baseia na ideia de representar um número ímpar como a diferença de dois quadrados. Se for possível encontrar dois quadrados cujas diferenças resultem no número a ser fatorado, então este método encontra a fatoração do mesmo."

Escolha um número, de preferência ímpar, extrai-se sua raiz quadrada, sendo esta raiz não exata, incrementa-se à parte inteira dessa raiz em 1 unidade e eleve-a ao quadrado.

Subtráia o número escolhido desse quadrado, se a diferença for um quadrado perfeito, para-se o processo, senão, continue incrementando 1 unidade às últimas raízes até que a diferença seja um quadrado perfeito.

Exemplo com número 21

Parte 1

Observação importante: 21 é um número composto e também semiprimo (produto de 2 números primos distintos).

i) √ 21 = 4,582...

ii) 5² = 25

iii) 25 - 21 = 4 (quadrado perfeito)

iv) fatora-se 5² e 2² como a diferença de 2 quadrados;

5² - 2² = ( 5 + 2 ) x ( 5 - 2 ) = 7 x 3

v) 7 x 3 = 21

Parte 2

21 é também a diferença "natural" dos quadrados perfeitos 121 - 100 = 21, pois:

i) ( 21 - 1 ) / 2 = 10

ii) ( 21 + 1 ) / 2 = 11

iii) 10 x 11 = 121

Parte 3

Continuando com o Método 1 de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados) e testando com outros quadrados perfeitos:

6² = 36,

7² = 49,

8² = 64,

9² = 81,

10² = 100,

chega-se a mais um quadrado perfeito...

i) 11² = 121

ii) 121 - 21 = 100 (quadrado perfeito)

iv) fatora-se 11² e 10² como a diferença de 2 quadrados;

11² - 10² = ( 11 + 10 ) x ( 11 - 10 ) = 21 x 1

v) 21 x 1 = 21.

No Método 1 de Fatoração de Fermat (diferença de quadrados), dependendo do número ímpar escolhido, as etapas de cálculos podem ser longas.

No Metódo 2 de Fatoração de Fermat, como descrito a seguir, é um método sintético e global.

Para mais informações, veja o Estudo:

011-estudos-566-metodo-fatoracao-de-fermat

Metódo 2 de Fatoração de Fermat ( número ímpar e somas sucessivas de ímpares consecutivos)

Escolha um número ímpar e efetue somas sucessivas de números ímpares consecutivos.

Número 21

D(21):{ 1, 3, 7, 21 }

Fonte: adaptado de FILHO, Edgard de Alencar, 1913 - . Teoria dos Números / Edgard de Alencar Filho. -- São Paulo: Nobel, 1981 [2]

Nas linhas 2 e 10, as somas são números quadrados perfeitos, então:

i) ( 2 + 5 ) x ( 5 - 2 ) = 7 x 3 = 21

ii) ( 10 + 11 ) x ( 11 - 10 ) = 21 x 1 = 21

Método Variante 2a de Fatoração de Fermat

O Metódo Variante 2a de Fatoração de Fermat consiste em fixar um número ímpar e fazer sucessivas somas com quadrados perfeitos consecutivos em ( n - 1 ) / 2 etapas de tal modo obter produtos de 2 fatores distintos a partir de raízes quadradas.

Nas linhas 2 e 10, as somas são números quadrados perfeitos, então:

i) ( 2 + 5 ) x ( 5 - 2 ) = 7 x 3 = 21

ii) ( 10 + 11 ) x ( 11 - 10 ) = 21 x 1 = 21

Método Variante 2a de Fatoração de Fermat e Números Primos

Número Primo 3

D(3):{ 1, 3 }

Uma das regras de cálculos é ( n - 1 ) / 2, isto é, a quantidade de cálculos (etapas) é um número ímpar menos 1 unidade dividido por 2.

( 3 - 1 ) / 2 = 1

Excedeu-se propositadamente as quantidades de etapas (linhas) para demonstrar que 3 somado além do quadrado perfeito 1, não tem como resultado um outro quadrado perfeito.

Aliás, fez-se 1000 somas com o número 3 com quadrados perfeitos consecutivos, e a única soma de 3 com quadrado perfeito cujo resultado é também um quadrado perfeito é a primeira etapa (linha 1 / o primeiro cálculo).

Lembrando que:

a)

( 3 + 1 ) / 2 = 2

( 3 - 1 ) / 2 = 1

b)

2² = 4,

c)

1² = 1

d)

4 - 1 = 3 ( 3 é a diferença entre os quadrados 4 e 1 )

3 é a diferença natural e "EXCLUSIVA" entre os quadrados perfeitos 4 e 1.

3 é um número primo.

Somente na primeira etapa, tem-se resultado cuja soma é um quadrado perfeito e a sua raiz quadrada exata, isto é, um número inteiro, então:

i) ( 2 + 1 ) x ( 2 - 1 ) = 3 x 1 = 3

ii) 3 e 1 são os fatores de 3

iii) 3 e 1 são os divisores de 3 e 3 é um número primo

Número Primo 5

D(5):{ 1, 5 }

Na etapa 2, a soma é o número quadrado perfeito 9, então:

i) ( 2 + 3 ) x ( 3 - 2 ) = 5 x 1 = 5

Método Variante 2a de Fatoração de Fermat e Números Quadrados Perfeitos

Todo número quadrado perfeito têm quantidades ímpares de divisores.

Todo número quadrado perfeito ímpar originado de número primo têm 3 divisores.

Todo número quadrado perfeito ímpar originado de número primo tem somente 1 par de números multiplicativo ( o número 1 e o quadrado desse primo ).

Na linha (azul) em que o número é raiz quadrada, a soma dos quadrados corresponde ao dobro do quadrado, esta propriedade é o que diferencia cálculos com quadrados pefeitos ímpares de números primos, bem como, de números compostos que não são quadrados perfeitos e de números primos

Número Quadrado Perfeito 9

D(9):{ 1, 3, 9 }

O número 9 é um número quadrado perfeito e também um número composto.

Na etapa 3 (azul) que é a raíz quadrada de 9, tem-se a soma do número 9 com o quadrado 9 cuja soma é o dobro 18.

Na etapa 4, a soma é um número quadrado perfeito, então:

i) ( 4 + 5 ) x ( 5 - 4 ) = 9 x 1 = 9

Número Quadrado Perfeito 25

D(25):{ 1, 5, 25 }

O número 25 é um número quadrado perfeito e também um número composto.

Na etapa 5 (azul) que é a raíz quadrada de 25, tem-se a soma do número 25 com o quadrado 25 cuja soma é o dobro 50.

Na etapa 12, a soma é um número quadrado perfeito, então:

i) ( 13 + 12 ) x ( 13 - 12 ) = 25 x 1 = 25

Método Variante 2a de Fatoração de Fermat e Números Compostos

Números compostos tem quantidades pares de divisores os quais formam pares multiplicativos perfeitos.

Número Composto 45

D(45):{ 1, 3, 5, 9, 15, 45 }

Os divisores equistantes formam 3 pares multiplicativos, pois:

1 x 45 = 45

3 x 15 = 45

5 x 9 = 45

Na etapa 2, a soma é o número quadrado perfeito 49, então:

( 2 + 7 ) x ( 7 - 2 ) = 9 x 5 = 45

Na etapa 6, a soma é o número quadrado perfeito 81, então:

( 6 + 9 ) x ( 9 - 6 ) = 15 x 3 = 45

Na etapa 22, a soma é o número quadrado perfeito 529, então:

( 22 + 23 ) x ( 23 - 22 ) = 45 x 1 = 45

Conclusão

Com os exemplos aqui expostos, tem-se um novo método de se reconhecer se determinado número é um número primo ou composto, bem como, número quadrado perfeito, por meio do Metódo Variante 2a de Fatoração de Fermat.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2026

Fontes Bibliográficas:

[1] FILHO, Edgard de Alencar, 1913 - . Teoria dos Números / Edgard de Alencar Filho. -- São Paulo: Nobel, 1981

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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