O Método de Fatoração de Fermat consiste representar um número ímpar como diferença entre 2 números quadrados perfeitos. Encontrando esses 2 quadrados, então o método encontra a fatoração desse número ímpar.
Escolha um número, de preferência ímpar, extrai-se sua raiz quadrada, sendo esta raiz não exata, incrementa-se à parte inteira dessa raiz em 1 unidade e eleve-a ao quadrado.
Subtraia o número escolhido desse quadrado, se a diferença for um quadrado perfeito, para-se o processo, senão, continue incrementando 1 unidade as últimas raízes até que a diferença seja um quadrado perfeito.
1) extraia a raiz quadrada do número escolhido;
√ 119 = 10,908...
2) a raiz quadrada não é exata, então aumente em 1 unidade a parte inteira da raiz e eleve-a ao quadrado;
112 = 121
3) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;
121 - 119 = 2
2 não é um quadrado perfeito.
4) aumente à raiz 11 em 1 unidade e eleve-a ao quadrado;
122 = 144
5) efetue a diferença do quadrado com o número escolhido;
144 - 119 = 25
25 é um quadrado perfeito
6) fatore 122 e 52 como a diferença de 2 quadrados;
122 - 52 = ( 12 + 5 ) x ( 12 - 5 ) = 17 x 7
7) o número 119 é um número semiprimo (produto de 2 números primos)
7 x 17 = 119
8) neste exemplo testou duas raízes: 11 e 12, perfazendo duas etapas, depedendo o número escolhido, as etapas aumentam.
* Exemplo com o número 119 extraído e adaptado do Google Chrome (visão geral criada por Inteligência Artificial).
1) √ 23 = 4,795...
2) 4,795...... a raiz não é exata, acrescente 1 unidade a parte inteira da raiz;
4 + 1 = 5
52 = 25 não serve (1)
62 = 36 não serve (2)
72 = 49 não serve (3)
82 = 64 não serve (4)
92 = 81 - não serve (5)
102 = 100 - não serve(6)
112 = 121 - não serve (7)
122 = 144 - ok (8)
3) 122 = 144
4) 144 - 23 = 121
5) 122 e 112
122 - 112 = ( 12 + 11 ) x ( 12 - 11 ) = 23 x 1
O que se observa é que número 23 precisou de 8 etapas para se chegar ao quadrado 144. Isto porque a raiz quadrada de 23 que é 4,7... e está distante da raiz quadrada 12.
Aqui há outras propriedades relacionadas a quadrados perfeitos, vejamos:
a) diferença entre dois quadrados consecutivos é um número ímpar;
b) a soma das raízes 11 e 12 é 23;
c) 23 + 1 = 24
e 24 : 2 = 12
d) 23 - 1 = 22
e 22 : 2 = 11
e) os fatores 1 e 23 são também os 2 únicos divisores do 23;
f) as raízes 11 e 12, bem como, seus respectivos quadrados aparecerem explicitamente nos cálculos.
Tabulando-se as etapas de aplicação do Método de Fatoração de Fermat, tem-se uma visão geral de todo o processo.
Os quadrados 144 e 121 aparecem na linha 8 (quadrados consecutivos).
| Tabela 1 | ||||||
| quadrado | 23 | |||||
| etapas | raiz | subtraendo | minuendo | diferença | ||
| 1 | 5 | 25 | - | 23 | = | 2 |
| 2 | 6 | 36 | - | 23 | = | 13 |
| 3 | 7 | 49 | - | 23 | = | 26 |
| 4 | 8 | 64 | - | 23 | = | 41 |
| 5 | 9 | 81 | - | 23 | = | 58 |
| 6 | 10 | 100 | - | 23 | = | 77 |
| 7 | 11 | 121 | - | 23 | = | 98 |
| 8 | 12 | 144 | - | 23 | = | 121 |
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A Tabela-2 apresenta as diferenças entre o quadrado perfeito 144 e os quadrados perfeitos de 1 a 144.
As quantidades de linhas correpondem a raiz quadrada de 144 somada 1 unidade, isto é, 12 + 1 = 13.
Conforme se observa, a partir do quadrado 144 e subtraindo quadrados de 1 a 144, encontramos todos os números que podem ser fatorados como a diferença de quadrados e também os quadrados consecutivos 121 e 144.
Na linha 11, aparecem os dois números quadrados perfeitos consecutivos, o 144 e o 121 cuja diferença é 23.
O número 23 é a diferença natural e "EXCLUSIVA" entre os quadrados 144 e 121, isto é, não há outra dupla de quadrados cuja a diferença é 23.
Lembrando que 23 é um número primo.
Diferentemente, o número 119 é a diferença entre 144 e 121, como também, dos quadrados:
602 = 3600
592 = 3481
pois,
3600 - 3481 = 119
e
59 + 60 = 119
| Tabela 2 | |||||
| Número Quadrado Perfeito 144 | |||||
| e diferenças de quadrados | |||||
| ordem / | quadrado | quadrado | |||
| posição | subtraendo | minuendo | diferença | ||
| 1 | 144 | 1 | 143 | semiprimo | ímpar |
| 2 | 144 | 4 | 140 | composto | par |
| 3 | 144 | 9 | 135 | composto | ímpar |
| 4 | 144 | 16 | 128 | composto | par |
| 5 | 144 | 25 | 119 | semiprimo | ímpar |
| 6 | 144 | 36 | 108 | composto | par |
| 7 | 144 | 49 | 95 | semiprimo | ímpar |
| 8 | 144 | 64 | 80 | composto | par |
| 9 | 144 | 81 | 63 | composto | ímpar |
| 10 | 144 | 100 | 44 | composto | par |
| 11 | 144 | 121 | 23 | primo | ímpar |
| 144 | 143 | 1 | quadrado | ímpar | |
| 12 | 144 | 144 | 0 | quadrado | par |
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Aplicando o Método Variante 1a de Fatoração de Fermat, do WebSite Os Fantásticos Números Primos, no qual a partir do quadrado 144 vai se subtraindo a sequência de números ímpares, na linha 12 encontram-se alinhados o número 23 que ao mesmo tempo é subtraendo e minuedo, tendo como diferença 0.
Interessante observar que na linha 11 a diferença é também 23 e na linha 12, o subtraendo e minuendo é o 23.
No caso em que a raiz do número escolhido é muito "distante" da raiz do quadrado em que se aplicam os métodos, sejam eles, o do próprio Fermat e os métodos variantes, as etapas tendem a ser longas.
O que os métodos variantes têm em comum, em se tratando de números primos, é que aparece somente um com cálculo específico a esse número primo.
| etapas | subtraendo | minuendo | diferença | ||
| 1 | 144 | - | 1 | = | 143 |
| 2 | 143 | - | 3 | = | 140 |
| 3 | 140 | - | 5 | = | 135 |
| 4 | 135 | - | 7 | = | 128 |
| 5 | 128 | - | 9 | = | 119 |
| 6 | 119 | - | 11 | = | 108 |
| 7 | 108 | - | 13 | = | 95 |
| 8 | 95 | - | 15 | = | 80 |
| 9 | 80 | - | 17 | = | 63 |
| 10 | 63 | - | 19 | = | 44 |
| 11 | 44 | - | 21 | = | 23 |
| 12 | 23 | - | 23 | = | 0 |
| 0 | - | 25 | = | -25 | |
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Aplicando o Método extraído do livro Teoria dos Números de Edgard de Alencar Filho [2], para encontrar os fatores do número primo 23, observa-se que somente na última linha, a 11, aparece quadrado perfeito, vejamos:
112 = 121
122 = 144
144 - 121 = 23
Fatora-se 122 e 112 como a diferença de 2 quadrados:
122 - 112 = ( 12 + 11 ) x ( 12 - 11 ) = 23 x 1
| Tabela 3 | ||||||||
| Linhas / | ||||||||
| etapas | ||||||||
| 1 | 23 | + | 1 | = | 24 | |||
| 2 | 24 | + | 3 | = | 27 | |||
| 3 | 27 | + | 5 | = | 32 | |||
| 4 | 32 | + | 7 | = | 39 | |||
| 5 | 39 | + | 9 | = | 48 | |||
| 6 | 48 | + | 11 | = | 59 | |||
| 7 | 59 | + | 13 | = | 72 | |||
| 8 | 72 | + | 15 | = | 87 | |||
| 9 | 87 | + | 17 | = | 104 | |||
| 10 | 104 | + | 19 | = | 123 | = | ||
| 11 | 123 | + | 21 | = | 144 | = | 122 | |
O Metódo Variante 2a de Fatoração de Fermat consiste em fixar um número ímpar e fazer sucessivas somas com quadrados perfeitos consecutivos em ( n - 1 ) / 2 etapas de tal modo obter produtos de 2 fatores distintos a partir de raízes quadradas.
| Tabela 2 | ||||
| Número Composto 23 | ||||
| e adições sucessivas com quadrados perfeitos | ||||
| linhas / | ||||
| etapas | número | quadrados | soma | raiz quadrada |
| 1 | 23 | 1 | 24 | 4,898979486 |
| 2 | 23 | 4 | 27 | 5,196152423 |
| 3 | 23 | 9 | 32 | 5,656854249 |
| 4 | 23 | 16 | 39 | 6,244997998 |
| 5 | 23 | 25 | 48 | 6,92820323 |
| 6 | 23 | 36 | 59 | 7,681145748 |
| 7 | 23 | 49 | 72 | 8,485281374 |
| 8 | 23 | 64 | 87 | 9,327379053 |
| 9 | 23 | 81 | 104 | 10,19803903 |
| 10 | 23 | 100 | 123 | 11,09053651 |
| 11 | 23 | 121 | 144 | 12 |
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Na última linha 11, tem-se a soma 144 que é um quadrado perfeito, então:
( 12 + 11 ) x ( 12 - 11 ) = 23 x 1 = 23
144 - 121 = 23
23 é a diferença entre os quadrados 144 e 121.
Autor: Ricardo Silva - maio/2025
[2] FILHO, Edgard de Alencar, 1913 - . Teoria dos Números / Edgard de Alencar Filho. -- São Paulo: Nobel, 1981
[1] SAMPAIO, Fausto Arnaud. Usando Ábacos para Fatoração. RMP 53. disponível em https:
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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