O algoritmo Decomposição em Fatores Primos é um dos tópicos da Matématica que faz parte dos estudos sobre Divisores e Múltiplos nos Números Naturais e com o qual são possíveis de se saber:
a) os fatores primos de um número;
b) se um número é primo ou não;
c) quais são os divisores de um número;
d) se um número é quadrado, cúbico, etc.;
e) a raiz quadrada, raiz cúbica, etc.;
f) quantos são os divisores de um número;
g) o mmc (mínimo múltiplo comum) de dois ou mais números;
h) o mdc (máximo divisor comum) de dois ou mais números.
É um algoritmo muito importante e que também é utilizado para auxiliar em operações com frações.
Querendo se saber quais são os fatores primos de um número, exemplo, o número 6:
a) começamos a dividir 6 (par) pelo menor número primo, que é o número 2 (par);
b) o quociente é 3. 3 torna-se dividendo;
c) divide 3 (ímpar) pelo próximo número primo, o 3;
d) o quociente é 1;
e) termina a decomposição.
| Decomposição em | |
| fatores primos | |
| número 6 | |
| Coluna 1 | Coluna 2 |
| Fatores Primos | |
| Dividendo / Quociente | divisor |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
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Os fatores primos do número 6 são 2 e 3.
6 = 2 x 3
Querendo se saber quais são os divisores de um número, exemplo, o número 6:
a) coloca-se o número 1 (célula laranja), à direita superior do fator primo 2;
b) multiplica-se o fator primo 2 por 1 (célula laranja);
c) coloca-se o produto 2, abaixo do número 1 (célula laranja);
d) multiplica-se o fator primo 3 por 1 (célula laranja);
e) coloca-se o produto 3, abaixo do número 2;
f) multiplica-se o fator primo 3 por 2;
g) coloca-se o produto 6, ao lado do número 3;
| Decomposição em | |||
| fatores primos | |||
| número 6 | |||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Coluna 3 | |
| Fatores Primos | Divisores | ||
| Dividendo / Quociente | divisor | ||
| 1 | |||
| 6 | 2 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | |||
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D(6): {1, 2, 3, 6}
4 são os divisores de 6.
Ao se decompor um número em fatores primos para se saber quais são os seus divisores, automaticamente também tem-se a quantidade de divisores, no exemplo, 6 possui 4 divisores.
Querendo se saber a quantidade de divisores de um número, também podemos proceder da seguinte forma:
| Decomposição em | |
| fatores primos | |
| número 6 | |
| Coluna 1 | Coluna 2 |
| Fatores Primos | |
| Dividendo / Quociente | divisor |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
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6 = 21 x 31
Soma-se 1 unidade a cada expoente de cada fator primo...
(1+1) x (1+1)
... e os multiplica, tendo como produto a quantidade de divisores de um número, neste exemplo, 6 têm 4 divisores.
2 x 2 = 4
Conforme demonstrações acima, precisou-se de varias estapas para se saber: fatores primos, divisores e quantidade de divisores de um dado número, no exemplo, o número composto 6.
Dependendo do número e sendo ele composto ou não, as etapas podem ser ainda maiores.
O Método Números Atraentes surgiu dos estudos: Adições Sucessivas e Subtrações Sucessivas.
Veja matérias relacionadas abaixo, para mais informações.
O método consiste em escrever na Coluna 1, do número 1 até o número escolhido, na Coluna 2, do sucessor do número escolhido até o dobro do número escolhido.
Posteriormente, dividem-se os números da Coluna 2 por números correspondentes na Coluna 1, colocando os quocientes na Coluna 3.
Se a quantidade de quocientes de números inteiros for maior que 2, então o número escolhido é um número composto.
Se a quantidade de quocientes de números inteiros for igual a 2, então o número escolhido é um número primo.
O número composto 6 possui (mais de 2) 4 pares de números atraentes e 4 quocientes de números inteiros.
D(6):{1, 2, 3, 6} aparecem na Coluna 1.
| Número composto 6 | ||
| e números atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Quocientes |
| 1 | 7 | 7 |
| 2 | 8 | 4 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 10 | 2,5 |
| 5 | 11 | 2,2 |
| 6 | 12 | 2 |
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Os pares de números:
1 e 7
2 e 8
3 e 9
6 e 12
formam pares de números atraentes, pois, eles possuem algo em comum.
7 é multiplo e divisível por 1;
8 é multiplo e divisível por 2;
9 é multiplo e divisível por 3;
12 é multiplo e divisível por 6;
O número composto 30 possui (mais de 2) 8 pares de números atraentes e 8 quocientes de números inteiros.
Aplicando-se os procedimentos do Método Números Atraentes para o número composto 30, observa-que além da 1a linha e última linha, há outras linhas em que os números da Coluna 2 são divisíveis por números da Coluna 1, pois há mais de dois quocientes em que os números são inteiros (células laranja).
D(30): {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} aparecem na Coluna 1.
| Número primo 30 | ||
| e numeros atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Quocientes |
| 1 | 31 | 31 |
| 2 | 32 | 16 |
| 3 | 33 | 11 |
| 4 | 34 | 8,5 |
| 5 | 35 | 7 |
| 6 | 36 | 6 |
| 7 | 37 | 5,286 |
| 8 | 38 | 4,75 |
| 9 | 39 | 4,333 |
| 10 | 40 | 4 |
| 11 | 41 | 3,727 |
| 12 | 42 | 3,5 |
| 13 | 43 | 3,308 |
| 14 | 44 | 3,143 |
| 15 | 45 | 3 |
| 16 | 46 | 2,875 |
| 17 | 47 | 2,765 |
| 18 | 48 | 2,667 |
| 19 | 49 | 2,579 |
| 20 | 50 | 2,5 |
| 21 | 51 | 2,429 |
| 22 | 52 | 2,364 |
| 23 | 53 | 2,304 |
| 24 | 54 | 2,25 |
| 25 | 55 | 2,2 |
| 26 | 56 | 2,154 |
| 27 | 57 | 2,111 |
| 28 | 58 | 2,071 |
| 29 | 59 | 2,034 |
| 30 | 60 | 2 |
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Os pares de números:
1 e 31;
2 e 32;
3 e 33;
5 e 35;
6 e 36;
10 e 40;
15 e 45;
30 e 60;
formam pares de números atraentes, pois, eles possuem algo em comum.
31 é multiplo e divisível por 1;
32 é multiplo e divisível por 2;
33 é multiplo e divisível por 3;
35 é multiplo e divisível por 5;
36 é multiplo e divisível por 6;
40 é multiplo e divisível por 10;
45 é multiplo e divisível por 15;
60 é multiplo e divisível por 30;
Observação importante 1:
Partindo-se do fato que nenhum número possui qualquer divisor maior que metade do seu valor, podemos "encurtar" etapas no Método Números Atraentes.
O número 30 é um número par e a sua metade é 15.
Podemos então:
a) escrever na Coluna 1, do número 1 até o número 15, que é metade de 30;
b) efetuar as divisões da Coluna 2 por números correspondentes na Coluna 1;
| Número primo 30 | ||
| e numeros atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Quocientes |
| 1 | 31 | 31 |
| 2 | 32 | 16 |
| 3 | 33 | 11 |
| 4 | 34 | 8,5 |
| 5 | 35 | 7 |
| 6 | 36 | 6 |
| 7 | 37 | 5,286 |
| 8 | 38 | 4,75 |
| 9 | 39 | 4,333 |
| 10 | 40 | 4 |
| 11 | 41 | 3,727 |
| 12 | 42 | 3,5 |
| 13 | 43 | 3,308 |
| 14 | 44 | 3,143 |
| 15 | 45 | 3 |
| ... | ||
| ... | ||
| ... | ||
| 30 | 60 | 2 |
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Observação importante 2:
Subtraindo-se 1 unidade de cada quociente inteiro tem-se com resultados também os divisores do número 30:
31 - 1 = 30
16 - 1 = 15
11 - 1 = 10
7 - 1 = 6
6 - 1 = 5
4 - 1 = 3
3 - 1 = 2
2 - 1 = 1
O número primo 29 possui dois pares de números atraentes e 2 quocientes de números inteiros.
Assim como os números na 1a linha, os números na última linha tem algo em comum, são Números Atraentes e o último número na Coluna 1 é um número especial é um número primo.
D(29): {1, 29} aparecem na Coluna 1.
| Número primo 29 | ||
| e numeros atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Quocientes |
| 1 | 30 | 30 |
| 2 | 31 | 15,5 |
| 3 | 32 | 10,66667 |
| 4 | 33 | 8,25 |
| 5 | 34 | 6,8 |
| 6 | 35 | 5,833333 |
| 7 | 36 | 5,142857 |
| 8 | 37 | 4,625 |
| 9 | 38 | 4,222222 |
| 10 | 39 | 3,9 |
| 11 | 40 | 3,636364 |
| 12 | 41 | 3,416667 |
| 13 | 42 | 3,230769 |
| 14 | 43 | 3,071429 |
| 15 | 44 | 2,933333 |
| 16 | 45 | 2,8125 |
| 17 | 46 | 2,705882 |
| 18 | 47 | 2,611111 |
| 19 | 48 | 2,526316 |
| 20 | 49 | 2,45 |
| 21 | 50 | 2,380952 |
| 22 | 51 | 2,318182 |
| 23 | 52 | 2,26087 |
| 24 | 53 | 2,208333 |
| 25 | 54 | 2,16 |
| 26 | 55 | 2,115385 |
| 27 | 56 | 2,074074 |
| 28 | 57 | 2,035714 |
| 29 | 58 | 2 |
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Observação importante:
O número 29 é um número impar e a sua metade é 14,5, um número decimal.
Partindo-se do fato que nenhum número possui qualquer divisor maior que a metade do seu valor, podemos "encurtar" etapas no Método Números Atraentes.
Podemos então:
a) escrever na Coluna 1, do número 1 até o número 14, que a metade de 28, que é um número antecessor do 29;
b) efetuar as divisões da Coluna 2 por números correspondentes na Coluna 1;
| Número primo 29 | ||
| e numeros atraentes | ||
| Coluna 1 | Coluna 2 | Quocientes |
| 1 | 30 | 30 |
| 2 | 31 | 15,5 |
| 3 | 32 | 10,66667 |
| 4 | 33 | 8,25 |
| 5 | 34 | 6,8 |
| 6 | 35 | 5,833333 |
| 7 | 36 | 5,142857 |
| 8 | 37 | 4,625 |
| 9 | 38 | 4,222222 |
| 10 | 39 | 3,9 |
| 11 | 40 | 3,636364 |
| 12 | 41 | 3,416667 |
| 13 | 42 | 3,230769 |
| 14 | 43 | 3,071429 |
| ... | ||
| ... | ||
| ... | ||
| 29 | 58 | 2 |
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Autor: Ricardo Silva - outubro/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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