Em artigo cujo título é Somas de Quadrados do Professor Angelo Papa Neto - IFCE, disponibilizado na World Wide Web, o Professor crava o termo "resistentes" para números primos e compostos que não podem ser expressos por meio da soma de 2 números quadrados perfeitos.
O Professor, Angelo Papa Neto, então, expôe alguns exemplos:
a) 1² + 1² = 1 + 1 = 2
b) 1² + 2² = 1 + 4 = 5
c) 2² + 3² = 4 + 9 = 13
Tabulando algumas somas de 2 números quadrados perfeitos, têm-se como resultados números ímpares e entre eles, números primos com ocorrências aleatórias.
| Soma de dois | |||
|---|---|---|---|
| números quadrados | |||
| consecutivos | |||
| Número | Quadrado | soma de | número |
| dois | primo | ||
| quadrados | |||
| 1 | 1 | 5 | sim |
| 2 | 4 | 13 | sim |
| 3 | 9 | 25 | |
| 4 | 16 | 41 | sim |
| 5 | 25 | 61 | sim |
| 6 | 36 | 85 | |
| 7 | 49 | 113 | sim |
| 8 | 64 | 145 | |
| 9 | 81 | 181 | sim |
| 10 | 100 | 221 | |
| 11 | 121 | 265 | |
| 12 | 144 | 313 | sim |
| 13 | 169 | 365 | |
| 14 | 196 | 421 | sim |
| 15 | 225 | 481 | |
| 16 | 256 | 545 | |
| 17 | 289 | 613 | sim |
| 18 | 324 | 685 | |
| 19 | 361 | 761 | sim |
| 20 | 400 | 841 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Nos exemplos a seguir, temos os números primos 11 e 41 como a soma de 3 quadrados:
a) 1² + 1² + 3² = 1 + 1 + 9 = 11
b) 1² + 2² + 6² = 1 + 4 + 36 = 41
Os números 7 e 15 são exemplos de números "resistentes" os quais o Professor Angelo Papa Neto se refere e que não podem ser expressos pela soma de 2 quadrados e sim por 4 quadrados.
Exemplos:
a) 1² + 1² + 1² + 2² = 1 + 1 + 1 + 4 = 7
b) 1² + 1² + 2² + 3² = 1 + 1 + 4 + 9= 15
A essência da Equação do Segundo Grau é descobrir dois números cuja a soma e produto são dados, isto é, descobrir suas raízes e o método subjacente em descobrir tais números é o Método de Completar Quadrados.
Veja matérias relacionadas:
005-texto-024-equacao-segundo-grau-sequencias-numericas
A decomposição de um número natural em fatores primos é um algoritmo extremamente importante, pois a partir dele, podemos saber:
a) se um número é primo ou composto;
b) quantos e quais são os seus divisores;
c) se um número é um quadrado, número cúbico, de quarta potência, etc;
d) determinar o Mínino Múltiplo Comum (mmc) ou o Máximo Divisor Comum (mdc).
Somando-se duplas de números naturais em ordem crescente e decrescente simultaneamente, podemos saber quantas somas de duplas formam determinado número.
Assim como os números "resistentes" 7 e 15 aos quais o Professor Angelo Papa Neto se refere, temos também exemplos de números como: 11, 17, 23, 27, 29, ... "resistentes" que não podem ser obtidos por meio da soma de 2 números primos, conforme demostrações a seguir.
O número primo 2 pode ser obtido por meio da soma de 2 pares de números.
O número 2 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 2 | = | 2 |
| 1 | + | 1 | = | 2 |
Na segunda adição, as parcelas 1 e 1 são números múltiplos e divisores pois:
1 é divisível por 1;
1 é múltiplo de 1.
O número primo 3 pode ser obtido por meio da soma de 2 pares de números.
O número 3 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 3 | = | 3 |
| 1 | + | 2 | = | 3 |
Na segunda adição, a parcela 2 é divisível pela parcela 1.
O número primo 5 pode ser obtido por meio da soma de 3 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 3 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 3 e 5, o número 4 não é um número oblongo.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 5 | = | 5 |
| 1 | + | 4 | = | 5 |
| 2 | + | 3 | = | 5 |
Na segunda adição, a segunda parcela 4 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
5 não é divisível por 0;
3 não é divisível por 2;
O número primo 7 pode ser obtido por meio da soma de 4 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 5 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 5 e 7, o número 6 é um número oblongo. Produto de 2 x 3.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 7 | = | 7 |
| 1 | + | 6 | = | 7 |
| 2 | + | 5 | = | 7 |
| 3 | + | 4 | = | 7 |
Na segunda adição, a segunda parcela 6 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
7 não é divisível por 0;
5 não é divisível por 2;
4 não é divisível por 3;
Observação: O número primo 7 é o único número primo cujo par de primos tem em sua formação o número primo 5 que é o único número primo terminado em 5.
Todo número maior que 7 terminado em 7 e que posteriormente subtraído 2 unidades terá como diferença um número composto terminado em 5.
O número quadrado 9 pode ser obtido por meio da soma de 5 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 7 (células amarela).
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 9 | = | 9 |
| 1 | + | 8 | = | 9 |
| 2 | + | 7 | = | 9 |
| 3 | + | 6 | = | 9 |
| 4 | + | 5 | = | 9 |
O número 9 é múltiplo e uma potência de 3.
O número 3 está alinhado ao múltiplo 6 (células azul).
9 não é divisível por 0;
8 é divisível por 1;
7 não é divisível por 2;
6 é divisível por 3;
5 não é divisível por 4;
O número primo 11 pode ser obtido por meio da soma de 6 pares de números.
O número 11 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 11 | = | 11 |
| 1 | + | 10 | = | 11 |
| 2 | + | 9 | = | 11 |
| 3 | + | 8 | = | 11 |
| 4 | + | 7 | = | 11 |
| 5 | + | 6 | = | 11 |
Na segunda adição, a segunda parcela 10 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
11 não é divisível por 0;
9 não é divisível por 2;
8 não é divisível por 3;
7 não é divisível por 4;
6 não é divisível por 5.
O número primo 13 pode ser obtido por meio da soma de 7 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 11 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 11 e 13, o número 12 é um número oblongo. Produto de 3 x 4.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 13 | = | 13 |
| 1 | + | 12 | = | 13 |
| 2 | + | 11 | = | 13 |
| 3 | + | 10 | = | 13 |
| 4 | + | 9 | = | 13 |
| 5 | + | 8 | = | 13 |
| 6 | + | 7 | = | 13 |
Na segunda adição, a segunda parcela 12 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
13 não é divisível por 0;
11 não é divisível por 2;
10 não é divisível por 3;
9 não é divisível por 4;
8 não é divisível por 5;
7 não é divisível por 6.
O número composto 15 pode ser obtido por meio da soma de 8 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 13 (células amarela).
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 15 | = | 15 |
| 1 | + | 14 | = | 15 |
| 2 | + | 13 | = | 15 |
| 3 | + | 12 | = | 15 |
| 4 | + | 11 | = | 15 |
| 5 | + | 10 | = | 15 |
| 6 | + | 9 | = | 15 |
| 7 | + | 8 | = | 15 |
O número 15 é múltiplo de 3 e de 5.
Múltiplos de 3 se encontram alinhados a múltiplos de 3 (células azul).
O número 3 se encontra alinhado ao 12.
O número 6 se encontra alinhado ao 9.
O número 5 se encontra alinhado ao seu múltiplo 10 (células lilás).
O número primo 17 pode ser obtido por meio da soma de 9 pares de números.
O número 17 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 17 | = | 17 |
| 1 | + | 16 | = | 17 |
| 2 | + | 15 | = | 17 |
| 3 | + | 14 | = | 17 |
| 4 | + | 13 | = | 17 |
| 5 | + | 12 | = | 17 |
| 6 | + | 11 | = | 17 |
| 7 | + | 10 | = | 17 |
| 8 | + | 9 | = | 17 |
Na segunda adição, a segunda parcela 16 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
17 não é divisível por 0;
15 não é divisível por 2;
14 não é divisível por 3;
13 não é divisível por 4;
12 não é divisível por 5;
11 não é divisível por 6;
10 não é divisível por 7;
9 não é divisível por 8;
O número primo 19 pode ser obtido por meio da soma de 10 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 17 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 17 e 19, o número 18 não é um número oblongo.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 19 | = | 19 |
| 1 | + | 18 | = | 19 |
| 2 | + | 17 | = | 19 |
| 3 | + | 16 | = | 19 |
| 4 | + | 15 | = | 19 |
| 5 | + | 14 | = | 19 |
| 6 | + | 13 | = | 19 |
| 7 | + | 12 | = | 19 |
| 8 | + | 11 | = | 19 |
| 9 | + | 10 | = | 19 |
Na segunda adição, a segunda parcela 18 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
19 não é divisível por 0;
17 não é divisível por 2;
16 não é divisível por 3;
15 não é divisível por 4;
14 não é divisível por 5;
13 não é divisível por 6;
12 não é divisível por 7;
11 não é divisível por 8;
10 não é divisível por 9;
O número composto 21 pode ser obtido por meio da soma de 11 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 19 (células amarela).
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 21 | = | 21 |
| 1 | + | 20 | = | 21 |
| 2 | + | 19 | = | 21 |
| 3 | + | 18 | = | 21 |
| 4 | + | 17 | = | 21 |
| 5 | + | 16 | = | 21 |
| 6 | + | 15 | = | 21 |
| 7 | + | 14 | = | 21 |
| 8 | + | 13 | = | 21 |
| 9 | + | 12 | = | 21 |
| 10 | + | 11 | = | 21 |
O número 21 é múltiplo de 3 e de 7.
Múltiplos de 3 se encontram alinhados a múltiplos de 3 (células azul).
3 está alinhado ao 18;
6 está alinhado ao 15;
9 está alinhado ao 12;
O número 7 se encontra alinhado ao seu múltiplo 14 (células laranja).
O número primo 23 pode ser obtido por meio da soma de 12 pares de números.
O número 23 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 23 | = | 23 |
| 1 | + | 22 | = | 23 |
| 2 | + | 21 | = | 23 |
| 3 | + | 20 | = | 23 |
| 4 | + | 19 | = | 23 |
| 5 | + | 18 | = | 23 |
| 6 | + | 17 | = | 23 |
| 7 | + | 16 | = | 23 |
| 8 | + | 15 | = | 23 |
| 9 | + | 14 | = | 23 |
| 10 | + | 13 | = | 23 |
| 11 | + | 12 | = | 23 |
Na segunda adição, a segunda parcela 22 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorrem nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
23 não é divisível por 0;
21 não é divisível por 2;
20 não é divisível por 3;
19 não é divisível por 4;
18 não é divisível por 5;
17 não é divisível por 6;
16 não é divisível por 7;
15 não é divisível por 8;
14 não é divisível por 9;
13 não é divisível por 10;
12 não é divisível por 11.
O número quadrado 25 pode ser obtido por meio da soma de 13 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 23 (células amarela).
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 25 | = | 25 |
| 1 | + | 24 | = | 25 |
| 2 | + | 23 | = | 25 |
| 3 | + | 22 | = | 25 |
| 4 | + | 21 | = | 25 |
| 5 | + | 20 | = | 25 |
| 6 | + | 19 | = | 25 |
| 7 | + | 18 | = | 25 |
| 8 | + | 17 | = | 25 |
| 9 | + | 16 | = | 25 |
| 10 | + | 15 | = | 25 |
| 11 | + | 14 | = | 25 |
| 12 | + | 13 | = | 25 |
O número 25 é múltiplo e uma potência de 5.
Múltiplos de 5 se encontram alinhados a múltiplos de 5 (células lilás).
O número 5 está alinhado ao 20.
O número 10 está alinhado ao 15.
Excetuado-se os pares das segundas parcelas e das primeiras parcelas respectivamente: (24, 1) e ( 20, 5) as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número cúbico 27 pode ser obtido por meio da soma de 14 pares de números.
O número 27 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 27 | = | 27 |
| 1 | + | 26 | = | 27 |
| 2 | + | 25 | = | 27 |
| 3 | + | 24 | = | 27 |
| 4 | + | 23 | = | 27 |
| 5 | + | 22 | = | 27 |
| 6 | + | 21 | = | 27 |
| 7 | + | 20 | = | 27 |
| 8 | + | 19 | = | 27 |
| 9 | + | 18 | = | 27 |
| 10 | + | 17 | = | 27 |
| 11 | + | 16 | = | 27 |
| 12 | + | 15 | = | 27 |
| 13 | + | 14 | = | 27 |
O número 27 é múltiplo de 3 e 9.
Múltiplos de 3 se encontram alinhados a múltiplos de 3 (células azul).
O número 3 está alinhado ao 24;
O número 6 está alinhado ao 21.
O número 9 está alinhado ao 18.
O número 12 está alinhado ao 15.
O número primo 29 pode ser obtido por meio da soma de 15 pares de números.
O número 29 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 29 | = | 29 |
| 1 | + | 28 | = | 29 |
| 2 | + | 27 | = | 29 |
| 3 | + | 26 | = | 29 |
| 4 | + | 25 | = | 29 |
| 5 | + | 24 | = | 29 |
| 6 | + | 23 | = | 29 |
| 7 | + | 22 | = | 29 |
| 8 | + | 21 | = | 29 |
| 9 | + | 20 | = | 29 |
| 10 | + | 19 | = | 29 |
| 11 | + | 18 | = | 29 |
| 12 | + | 17 | = | 29 |
| 13 | + | 16 | = | 29 |
| 14 | + | 15 | = | 29 |
Na segunda adição (células verde), a segunda parcela 28 é divisível pela primeira parcela 1, o que não ocorre nas demais segundas parcelas em relações as primeiras parcelas, pois:
29 não é divisível por 0;
27 não é divisível por 2;
26 não é divisível por 3;
25 não é divisível por 4;
24 não é divisível por 5;
23 não é divisível por 6;
22 não é divisível por 7;
21 não é divisível por 8;
20 não é divisível por 9;
19 não é divisível por 10;
18 não é divisível por 11;
17 não é divisível por 12;
16 não é divisível por 13;
15 não é divisível por 14.
O número primo 31 pode ser obtido por meio da soma de 16 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 29 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 29 e 31, o número 30 é um número oblongo. Produto de 5 x 6.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 31 | = | 31 |
| 1 | + | 30 | = | 31 |
| 2 | + | 29 | = | 31 |
| 3 | + | 28 | = | 31 |
| 4 | + | 27 | = | 31 |
| 5 | + | 26 | = | 31 |
| 6 | + | 25 | = | 31 |
| 7 | + | 24 | = | 31 |
| 8 | + | 23 | = | 31 |
| 9 | + | 22 | = | 31 |
| 10 | + | 21 | = | 31 |
| 11 | + | 20 | = | 31 |
| 12 | + | 19 | = | 31 |
| 13 | + | 18 | = | 31 |
| 14 | + | 17 | = | 31 |
| 15 | + | 16 | = | 31 |
Excetuando-se a segunda adição (células verde) em que a segunda parcela 30 é divisível por 1, as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número primo 37 pode ser obtido por meio da soma de 19 pares de números.
O número 37 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 37 | = | 37 |
| 1 | + | 36 | = | 37 |
| 2 | + | 35 | = | 37 |
| 3 | + | 34 | = | 37 |
| 4 | + | 33 | = | 37 |
| 5 | + | 32 | = | 37 |
| 6 | + | 31 | = | 37 |
| 7 | + | 30 | = | 37 |
| 8 | + | 29 | = | 37 |
| 9 | + | 28 | = | 37 |
| 10 | + | 27 | = | 37 |
| 11 | + | 26 | = | 37 |
| 12 | + | 25 | = | 37 |
| 13 | + | 24 | = | 37 |
| 14 | + | 23 | = | 37 |
| 15 | + | 22 | = | 37 |
| 16 | + | 21 | = | 37 |
| 17 | + | 20 | = | 37 |
| 18 | + | 19 | = | 37 |
Excetuando-se a segunda adição (células verde) em que a segunda parcela 36 é divisível por 1, as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número primo 41 pode ser obtido por meio da soma de 22 pares de números.
O número 41 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 41 | = | 41 |
| 1 | + | 40 | = | 41 |
| 2 | + | 39 | = | 41 |
| 3 | + | 38 | = | 41 |
| 4 | + | 37 | = | 41 |
| 5 | + | 36 | = | 41 |
| 6 | + | 35 | = | 41 |
| 7 | + | 34 | = | 41 |
| 8 | + | 33 | = | 41 |
| 9 | + | 32 | = | 41 |
| 10 | + | 31 | = | 41 |
| 11 | + | 30 | = | 41 |
| 12 | + | 29 | = | 41 |
| 13 | + | 28 | = | 41 |
| 14 | + | 27 | = | 41 |
| 15 | + | 26 | = | 41 |
| 16 | + | 25 | = | 41 |
| 17 | + | 24 | = | 41 |
| 18 | + | 23 | = | 41 |
| 19 | + | 22 | = | 41 |
| 20 | + | 21 | = | 41 |
Excetuando-se a segunda adição (células verde) em que a segunda parcela 40 é divisível por 1, as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número primo 43 pode ser obtido por meio da soma de 22 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 41 (células amarela).
Entre os números primos gêmeos 41 e 43, o número 42 é um número oblongo, produto de 6 x 7.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 43 | = | 43 |
| 1 | + | 42 | = | 43 |
| 2 | + | 41 | = | 43 |
| 3 | + | 40 | = | 43 |
| 4 | + | 39 | = | 43 |
| 5 | + | 38 | = | 43 |
| 6 | + | 37 | = | 43 |
| 7 | + | 36 | = | 43 |
| 8 | + | 35 | = | 43 |
| 9 | + | 34 | = | 43 |
| 10 | + | 33 | = | 43 |
| 11 | + | 32 | = | 43 |
| 12 | + | 31 | = | 43 |
| 13 | + | 30 | = | 43 |
| 14 | + | 29 | = | 43 |
| 15 | + | 28 | = | 43 |
| 16 | + | 27 | = | 43 |
| 17 | + | 26 | = | 43 |
| 18 | + | 25 | = | 43 |
| 19 | + | 24 | = | 43 |
| 20 | + | 23 | = | 43 |
| 21 | + | 22 | = | 43 |
Excetuando-se a segunda adição (células verde) em que a segunda parcela 42 é divisível por 1, as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número primo 47 pode ser obtido por meio da soma de 24 pares de números.
O número 47 não possui par de primos.
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 47 | = | 47 |
| 1 | + | 46 | = | 47 |
| 2 | + | 45 | = | 47 |
| 3 | + | 44 | = | 47 |
| 4 | + | 43 | = | 47 |
| 5 | + | 42 | = | 47 |
| 6 | + | 41 | = | 47 |
| 7 | + | 40 | = | 47 |
| 8 | + | 39 | = | 47 |
| 9 | + | 38 | = | 47 |
| 10 | + | 37 | = | 47 |
| 11 | + | 36 | = | 47 |
| 12 | + | 35 | = | 47 |
| 13 | + | 34 | = | 47 |
| 14 | + | 33 | = | 47 |
| 15 | + | 32 | = | 47 |
| 16 | + | 31 | = | 47 |
| 17 | + | 30 | = | 47 |
| 18 | + | 29 | = | 47 |
| 19 | + | 28 | = | 47 |
| 20 | + | 27 | = | 47 |
| 21 | + | 26 | = | 47 |
| 22 | + | 25 | = | 47 |
| 23 | + | 24 | = | 47 |
Excetuando-se a segunda adição (células verde) em que a segunda parcela 42 é divisível por 1, as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
O número quadrado 49 pode ser obtido por meio da soma de 25 pares de números e entre eles, o par de números primos 2 e 47 (células amarela).
| Parcela | Parcela | Soma | ||
| 0 | + | 49 | = | 49 |
| 1 | + | 48 | = | 49 |
| 2 | + | 47 | = | 49 |
| 3 | + | 46 | = | 49 |
| 4 | + | 45 | = | 49 |
| 5 | + | 44 | = | 49 |
| 6 | + | 43 | = | 49 |
| 7 | + | 42 | = | 49 |
| 8 | + | 41 | = | 49 |
| 9 | + | 40 | = | 49 |
| 10 | + | 39 | = | 49 |
| 11 | + | 38 | = | 49 |
| 12 | + | 37 | = | 49 |
| 13 | + | 36 | = | 49 |
| 14 | + | 35 | = | 49 |
| 15 | + | 34 | = | 49 |
| 16 | + | 33 | = | 49 |
| 17 | + | 32 | = | 49 |
| 18 | + | 31 | = | 49 |
| 19 | + | 30 | = | 49 |
| 20 | + | 29 | = | 49 |
| 21 | + | 28 | = | 49 |
| 22 | + | 27 | = | 49 |
| 23 | + | 26 | = | 49 |
| 24 | + | 25 | = | 49 |
O número 49 é múltiplo e uma potência de 7.
Múltiplos de 7 se encontram alinhados a múltiplos de 7 (células laranja).
O número 7 está alinhado ao 42.
O número 14 está alinhado ao 35.
O número 21 está alinhado ao 28.
Excetuado-se os pares das segundas parcelas e das primeiras parcelas respectivamente: (48, 1 - células verde) e ( 42, 7 - células laranja) as demais segundas parcelas não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes.
Pelos exemplos expostos neste estudo, observa-se que há regularidades numéricas relacionadas a números compostos, potências, bem como, a números primos quando se adicionam pares de números para se obter determinado número.
Em relação a números primos encontrou-se interessantes regularidades numéricas:
1) de que há números primos que não podem ser obtidos pela soma de 2 números primos;
2) em todas as segundas adições, a segunda parcela é divisível pela primeira parcela, neste caso, divisível pelo número 1;
3) nas demais adições, as segundas parcelas, não são divisíveis pelas primeiras parcelas correspondentes;
4) os pares de primos tem em suas formações a primeira parcela o número primo 2 como uma constante e a segunda parcela um número primo variável.
Fornecendo-nos, um novíssimo método: ADIÇÕES SUCESSIVAS para se saber se um número é ou não um número primo.
Autor: Ricardo Silva - março/2022
Neto, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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