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Equação do Segundo Grau e sequências numéricas - 024

A essência da Equação do Segundo Grau é descobrir dois números cuja a soma e produto são dados, isto é, descobrir suas raízes e o método subjacente em descobrir tais números é o Método de Completar Quadrados.

Pesquisas realizadas em tabletes de barro em escrita cuneiformes constataram conhecimento e aplicação de Equações do Segundo Grau pelos povos mesopotâmicos, mas especificamente a civilização babilônia.

As equações não eram da forma como temos hoje, mas sim em textos escritos como se fossem "receitas".

Vitor J. KATZ em seu livro, A History of Mathematics an introduction, presume que os procedimentos, isto é, os algorítmos, para a resolução de Equações do Segundo Grau tenham sido idealizados a partir de conceitos geométricos.

Equação do Segundo Grau com quadrados e retângulos

A partir de figuras geométricas de quadrados e formando retângulos cujos comprimentos sejam duas unidades a mais a seus lados e posteriormente reconfigurando esses retângulos em quadrados novamente, a figura formada se parecerá com uma "cantoneira", isto é, um "quase-quadrado".

Para formar realmente o quadrado, precisa ser acrescentado uma área quadrada faltante.

Somando-se 1 unidade aos "quase-quadrados" obtem-se um quadrado perfeito.

3 + 1 = 4

8 + 1 = 9

15 + 1 = 16

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Relações numéricas entre quadrados e retângulos

Escolhendo-se dois números consecutivos ímpares ou dois números consecutivos pares, podemos relacioná-los com alturas e larguras de figuras geométricas de retângulos.

Efefuando-se posteriormente a soma e o produto desses números consecutivos obtem-se também o semiperímetro e à área desses retângulos.

Tabulando os dados entre quadrados e retângulos conforme a figura (05-24-01), verifica-se que a medida da altura e largura são as respectivas raízes do semiperímetro e da área de um retângulo referente a um quadrado cujo lado tem a mesma medida da altura desse retângulo, fato este que também pode ser comprovado aplicando o Método de Completar Quadrados na Equação do Segundo Grau.

Interessante observar que excetuando-se as colunas área e quase-quadrados perfeitos, as demais colunas de sequências numéricas da tabela formam Progressões Aritméticas (PAs).

As sequências numéricas das colunas área e quase-quadrados têm como diferenças entre seus termos números ímpares.

Relações numéricas entre
quadrados e retângulos
           
Quadrado Retângulo  
        semi- quase-
lado altura largura área perímetro quadrados
          perfeitos
           
1 1 3 3 4 3
           
2 2 4 8 6 8
           
3 3 5 15 8 15
           
4 4 6 24 10 24
           
5 5 7 35 12 35
           
6 6 8 48 14 48
           
7 7 9 63 16 63
           
8 8 10 80 18 80
           
9 9 11 99 20 99
           
10 10 12 120 22 120
           
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Equação do Segundo Grau e o Método de Completar Quadrados

Com o Método de Completar Quadrados podemos resolver Equações do Segundo Grau.

Escolhendo-se os dados da tabela acima referente ao quadrado de lado 1, por exemplo, formulando Equação do Segundo Grau com as medidas da área e semiperímetro do retângulo obtem-se suas respectivas raízes.

Exemplo:

Quanto mede a altura de um retângulo cuja largura é duas partes a mais que sua altura, sabendo-se que sua área é 3 unidades quadradas.

x (x+2) = 3

x2 + 2x = 3

Completando quadrados

Dividi-se o coeficiente 2 do termo bx por 2 e eleve ao quadrado (12) e some-o ao primeiro e segundo membros para equilibrar a equação.

x2 + 2x + 12 = 3 + 12

x2 + 2x + 1 = 3 + 1

O primeiro membro torna-se um Trinômio Quadrado Perfeito.

x2 + 2x + 1 = 3 + 1

Fatora-se o primeiro membro, obtendo-se quadrado da soma (produto notável).

(x + 1)2 = 4

Extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

x + 1 = ± √4

x + 1 = ± 2

Raízes da equação

x' = + 2 - 1 = 1

x" = - 2 - 1 = - 3

Equação do Segundo Grau e Fórmula Geral (Fórmula de Bháskara)

Na utilização da Fórmula Geral (Fórmula de Bháskara), pode-se inicialmente fazer uso do Discriminante da Equação do Segundo Grau representado pela letra grega Delta (Δ) para se saber quantas raízes reais a equação tem.

Δ = b2 - 4 . 1. c

Quando Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.

Quando Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.

Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Aplicando-se o Delta (Δ) com pares de números referente ao perímetro e área (coeficentes a, b e c) de um retângulo da tabela acima, obtem-se o Δ = 4 constante.

Primeiro retângulo - coeficientes: a = 1, b= 4 e c = 3

Δ = -(-4)2 - 4 . 1 . 3

Δ = 16 - 12

Δ = 16 - 12

Δ = 4

Segundo retângulo - coeficientes: a = 1, b= 6 e c = 8

Δ = -(-6)2 - 4 . 1 . 8

Δ = 36 - 32

Δ = 66 - 32

Δ = 4

Terceiro retângulo - coeficientes: a = 1, b= 8 e c = 15

Δ = -(-8)2 - 4 . 1 . 15

Δ = 64 - 60

Δ = 64 - 60

Δ = 4

Quarto retângulo - coeficientes: a = 1, b= 10 e c = 24

Δ = -(-10)2 - 4 . 1 . 24

Δ = 100 - 96

Δ = 100 - 96

Δ = 4

Sequência numérica Quase-Quadrados Perfeitos

Os números Quase-Quadrados Perfeitos são produtos de ímpares consecutivos ou pares consecutivos que formam uma sequência numérica cuja diferença entre dois termo é número ímpar.

Os números Quase-Quadrados Perfeitos podem ser obtidos por meio da seguinte fórmula:

n2-1

12-1= 0

22-1= 3

32-1= 8

Números Quase-Quadrados Perfeitos
   
   
quase- Diferença
quadrados números
perfeitos ímpares
   
3  
  5
8  
  7
15  
  9
24  
  11
35  
  13
48  
  15
63  
  17
80  
  19
99  
  21
120  
   
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Autor: Ricardo Silva - maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Sautoy, Marcus Du. Filme The Story of Maths - The Language of The Universe. The Open University - BBC - XXVIII.

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