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Equação do Segundo Grau e o Trinômio não Quadrado Perfeito - 022

Toda Equação do Segundo Grau que se apresenta da seguinte forma é uma equação completa ou também chamada de forma geral.

x2 + bx + c = 0

Há dois tipos Equações do Segundo Grau completa e na forma geral:

a) uma em que o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito;

b) e outra em que o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

Neste estudo, veremos exemplos de Equações do Segundo Grau em que o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

Equação cujo primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

A partir de modelo matemático, utilizando Geometria e Álgebra pode-se formar Equação do Segundo Grau completa cujo primeiro membro não é trinômio quadrado perfeito.

equação do segundo grau e trinômio não quadrado perfeito

i)

contrói-se um retângulo e divide-o em 4 partes;

nomeie o lados com números consecutivos e letras;

múltiplica-se linhas e colunas, colocando os produtos em suas respectivas áreas.

ii)

Utilizando Álgebra e aplicando a propriedade distributiva e posteriormente reduzindo os termos semelhantes obtem-se uma Equação do Segundo Grau cujo primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

x2 + 5x + 6 = 0

Resolução de equação pelo Método de Completar Quadrados

Para resolver a equação x2 + 5x + 6 = 0 que acabamos de formar, podemos resolver pelo Método de Completar Quadrados para encontrar suas raízes.

i)

x2 + 5x + 6 = 0

passe o termo "c" para o segundo membro trocando o sinal.

x2 + 5 x = - 6

ii)

divida o coefiente 5 do termo bx por 2.

como o coefiente 5 é ímpar deixamos em forma de fração 5/2 (apenas mentalmente).

    5 x    
x2 + ___ = - 6
    2    

iii)

eleve a fração (5/2)2 ao quadrado (o resultado é 25/4) e some ao primeiro membro.

        25    
x2 + 5 x + ___ = - 6
        4    

iv)

some o fração 25/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

        25       25
x2 + 5 x + ___ = - 6 + ___
        4       4

v)

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

x2   5 x   25   - 6   25
___ + ___ + ___ = ___ + ___
4   4   4   4   4

vi)

...e consequentemente também uma nova equação equivalente.

4x2 + 20 x + 25 = - 24 + 25

vii)

Fatore o trinômio quadrado perfeito no primeiro membro, obtendo um quadrado da soma (produto notável).

( 2 x + 5 )2 = 1

viii)

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

2 x + 5 = ± √1

iv)

2 x + 5 = ± 1

x)

Solução Positiva

    + 1 - 5
x' = ______
    2
x' = - 2

xi)

Solução Negativa

    - 1 - 5
x' = ______
    2
x' = - 3

Formando e resolvendo Equação do Segundo Grau

Escolhendo-se pares de números consecutivos sequencialmente, também podemos formar Equações do Segundo Grau cujos primeiros membros não são trinômios quadrados perfeitos.

números escolhidos 4 e 5

(x-4).(x-5) =

= x2 - 5x - 4x + 20

= x2 - 9x + 20

x2 - 9x + 20 = 0

Passe o termo c para o segundo membro

x2 + 9x = -20

Completando quadrados

Divide-se o coeficiente 9 do termo bx por 2.

Forme a fração 9/2 e eleve ao quadrado (9/2)2 e some ao primeiro membro.

        81    
x2 - 9 x + ___ = - 20
        4    

Iguala-se 81/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

Efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum...

        81       81
x2 - 9 x + ___ = - 20 + ___
        4       4
x2   9 x   81   - 20   81
___ - ___ + ___ = ___ + ___
4   4   4   4   4

...obtendo-se um nova equação equivalente.

                 
4x2 - 36 x + 81 = - 80 + 81
                 

Fatora-se o primeiro membro formando um quadrado da soma (produto notável).

(2x - 9)2 = 1

Extrai-se a raiz quadrada

2x - 9 = ± √1

2x - 9 = ± 1

x' = + 1 + 9 = 10 / 2 = 5

x'' = - 1 + 9 = 8 / 2 = 4

Área retângular

Um retângulo cuja área é de 12 unidades quadradas (12u2) e seu perímetro de 14 unidades (14u) determine:

a) a sua largura e altura (raizes da equação do segundo grau);

Montando a equação

x2 - 7x + 12

x2 - 7x + 12 = 0

passe o termo "c" para o segundo membro.

x2 - 7x = - 12

Completando quadrados

divide-se o coeficiente 7 do termo "bx" por 2.

forme a fração 7/2 e eleve ao quadrado (7/2)2 e some ao primeiro membro.

        49    
x2 - 7 x + ___ = -12
        4    

iguala-se 49/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum.

        49       49
x2 - 7 x + ___ = - 12 + ___
        4       4
x2   7 x   49   - 12   49
___ - ___ + ___ = ___ + ___
4   4   4   4   4

obtendo-se um nova equação equivalente.

                 
4x2 - 28 x + 49 = - 48 + 49
                 

fatora-se o primeiro membro formando um quadrado da soma (produto notável).

(2x - 7)2 = 1

Extrai-se a raiz quadrada

2x - 7 = ± √1

2x - 7 = ± 1

x' = + 1 + 7 = 8 / 2 = 4

x'' = - 1 + 7 = 6 / 2 = 3

 

Autor: Ricardo Silva- maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

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