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Equação do Segundo Grau e o Trinômio não Quadrado Perfeito - 022

Toda Equação do Segundo Grau que se apresenta da seguinte forma é uma equação completa ou também chamada de forma geral.

x² + bx + c = 0

Há dois tipos Equações do Segundo Grau completa e na forma geral:

a) uma em que o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito;

b) e outra em que o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

Neste estudo, veremos exemplos de Equações do Segundo Grau em que o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

Equação do Segundo Grau não é um trinômio quadrado perfeito.

A partir de modelo matemático, utilizando Geometria e Álgebra pode-se formar Equação do Segundo Grau completa cujo primeiro membro não é trinômio quadrado perfeito.

equação do segundo grau e trinômio não quadrado perfeito

constrói-se um retângulo e divide-o em 4 partes;

nomeie o lados com números consecutivos e letras;

múltiplica-se linhas e colunas, colocando os produtos em suas respectivas áreas.

ii)

utilizando Álgebra e aplicando a propriedade distributiva e posteriormente reduzindo os termos semelhantes obtem-se uma Equação do Segundo Grau cujo primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito.

x² + 5x + 6 = 0

Resolução de equação pelo Método de Completar Quadrados

Para resolver a equação x² + 5x + 6 = 0 que acabamos de formar, podemos resolver pelo Método de Completar Quadrados para encontrar suas raízes.

x² + 5x + 6 = 0

passe o termo "c" para o segundo membro trocando o sinal.

x²

5 x

- 6

ii)

divida o coefiente 5 do termo "bx" por 2.

como o coefiente 5 é ímpar deixamos em forma de fração 5/2 (apenas mentalmente).

		5 x
x²	+	___	=	- 6
		2

iii)

eleve a fração (5/2)² ao quadrado (o resultado é 25/4) e some ao primeiro membro.

				5²
x²	+	5 x	+	___	=	- 6
				2²

				25
x²	+	5 x	+	___	=	- 6
				4

iv)

some o fração 25/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

				25				25
x²	+	5 x	+	___	=	- 6	+	___
				4				4

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

x²		5 x		25		- 6		25
___	+	___	+	___	=	___	+	___
4		4		4		4		4

vi)

...e consequentemente também uma nova equação equivalente.

4x²

20 x

- 24

vii)

Fatore o trinômio quadrado perfeito no primeiro membro, obtendo um quadrado da soma (Produto Notável).

( 2 x + 5 )²

viii)

extrai-se a raiz quadrada dos dois membros.

2 x + 5

± √1

iv)

2 x + 5

± 1

Solução 1

		+ 1 - 5
x'	=	______
		2

- 2

xi)

Solução 2

		- 1 - 5
x'	=	______
		2

- 3

Formando e resolvendo Equação do Segundo Grau

Escolhendo-se pares de números consecutivos sequencialmente, também podemos formar Equações do Segundo Grau cujos primeiros membros não são trinômios quadrados perfeitos.

números escolhidos 4 e 5

(x-4).(x-5) =

= x² - 5x - 4x + 20

= x² - 9x + 20

x² - 9x + 20 = 0

Passe o termo "c" para o segundo membro trocando o sinal.

x² + 9x = -20

Completando quadrados

Divide-se o coeficiente 9 do termo "bx" por 2.

Forme a fração 9/2 e eleve ao quadrado (9/2)² e some ao primeiro membro.

				9²
x²	-	9 x	+	___	=	- 20
				2²

				81
x²	-	9 x	+	___	=	- 20
				4

Iguala-se 81/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

Efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum...

				81				81
x²	-	9 x	+	___	=	- 20	+	___
				4				4

x²		9 x		81		- 20		81
___	-	___	+	___	=	___	+	___
4		4		4		4		4

...obtendo-se um nova equação equivalente.


4x²	-	36 x	+	81	=	- 80	+	81

Fatora-se o primeiro membro formando um quadrado da soma (produto notável).

(2x - 9)² = 1

Extrai-se a raiz quadrada

2x - 9 = ± √1

2x - 9 = ± 1

x' = + 1 + 9 = 10 / 2 = 5

x'' = - 1 + 9 = 8 / 2 = 4

Área retângular

Um retângulo cuja área é de 12 unidades quadradas (12u²) e seu perímetro de 14 unidades (14u) determine:

a) a sua largura e altura (raizes da equação do segundo grau);

b) o semiperímetro do retângulo é igual 7 (metade do perímetro 14).

Montando a equação

x² - 7x + 12

x² - 7x + 12 = 0

passe o termo "c" para o segundo membro.

x² - 7x = - 12

Completando quadrados

divide-se o coeficiente 7 do termo "bx" por 2.

forme a fração 7/2 e eleve ao quadrado (7/2)² e some ao primeiro membro.

				7²
x²	-	7 x	+	___	=	-12
				2²

				49
x²	-	7 x	+	___	=	-12
				4

iguala-se 49/4 ao segundo membro para equilibrar a equação.

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum.

				49				49
x²	-	7 x	+	___	=	- 12	+	___
				4				4

x²		7 x		49		- 12		49
___	-	___	+	___	=	___	+	___
4		4		4		4		4

obtendo-se um nova equação equivalente.


4x²	-	28 x	+	49	=	- 48	+	49

fatora-se o primeiro membro formando um quadrado da soma (produto notável).

(2x - 7)² = 1

Extrai-se a raiz quadrada

2x - 7 = ± √1

2x - 7 = ± 1

x' = + 1 + 7 = 8 / 2 = 4

x'' = - 1 + 7 = 6 / 2 = 3

Autor: Ricardo Silva - maio/2020

Fontes Bibliográficas:

ANDRADE, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

DANTE, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009