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Números Irracionais - 016

Você deseja saber a raiz quadrada de 2 (√2), tendo a disposição nos dias atuais, fabulosos dispositivos eletrônicos digitais, então você pode se dar o luxo de poder escolher, por exemplo, calculadora, tablet, computador ou principalmente telefone celular.

Tecla 2 e o símbolo da √ e os cálculos, num piscar de olhos, podem ser apresentados, conforme o dispositivo, da seguinte forma:

Calculadora de bolso

1,4142135... (7 casas decimais após a vírgula);

Calculadora científica de bolso

1,41421352... (9 casas decimais após a vírgula);

Calculadora padrão do Sistema Windows

1,414213562373095... (15 casas decimais após a vírgula);

Calculadora científica do Sistema Windows

1,414213562373095048 8016887242097... (31 casas decimais após a vírgula).

Voltando no tempo, na região da Mesopotâmia, pesquisadores encontraram tabletes de barro com escrita cuneiforme da civilização babilônica em que as incrições indicam cálculos realizados em figura de um quadrado, demonstrando a extração da raiz quadrada de 2 aproximada 1,414212962..., com datação entre 1.800 a 1.600 a.C.

tablete babilônico YBC 289 - raiz quadrada de 2 aproximada

Em outro tablete, denominado de Pimpliton 322, datado de aproximadamente 1.800 a.C, há uma tabela com ternos pitagóricos.

tablete babilônico Plimpton 322 - Ternos Pitagóricos

Número irracional √2

Multiplicando-se um número inteiro por ele mesmo ou elevando à potência 2, obtem-se um número quadrado perfeito:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 ? ? 22 ? ? ? ? 32

exemplo 1)

1 x 1 = 1

Extraindo-se a raiz quadrada de 1, obtem-se o número inteiro 1.

√1 = 1

exemplo 2)

2 x 2 = 4

Extraindo-se a raiz quadrada de 4, obtem-se o número inteiro 2.

√4 = 2

exemplo 2)

3 x 3 = 9

Extraindo-se a raiz quadrada de 9, obtem-se o número inteiro 3.

√9 = 3

Qual é o número que multiplicado por ele mesmo tem como resultado o número 2 ?

? x ? = 2

E qual é a sua raiz quadrada?

√2 = ?

Qual é o número que multiplicado por ele mesmo tem como resultado o número 3 ?

? x ? = 3

E qual é a sua raiz quadrada?

√3 = ?

Número irracional √2 aproximado

O número 2 se encontra entre os números quadrados 1 e 4 e para obter a sua raiz quadrada, um dos métodos é efetuar os cálculos numéricos com aproximações sucessivas através de representação decimal.

1 2 3 4
12 ? ? 22

1,2 2 = 1,44

1,3 2 = 1,69

1,4 2 = 1,96

1,41 2 = 1,9881

1,413 2 = 1,996569

1,414 2 =1,999396

1,4142 2 =1,99996164

Se continuarmos os cálculos, a representação decimal, continuará sendo não exata e não periódica, isto é, a parte decimal apresentará números aleatórios, sem um padrão numérico.

Portanto, a sequência numérica {√2, √3, √5, √6, √7, √8...} é composta por números irracionais.

Números irracionais e reta numérica

Números irracionais podem ser obtidos por meio de reta numérica, da seguinte forma:

Detalhe A)

a) constrói-se uma reta numérica;

b) desenha-se um quadrado de lado 1;

c) centro no ponto 0, traça-se um arco do vértice superior direito até a reta numérica;

d) na intersecção do arco com a reta numérica se encontra a √2.

e) prolongrando-se a lateral direta do quadrado, forma-se um retângulo de raiz 2.

Detalhe B)

f) a partir do retângulo de raiz 2;

g) centro no ponto 0, traça-se um arco do vértice superior direito até a reta numérica;

h) na intersecção do arco com a reta numérica se encontra a √3.

i) prolongrando-se a lateral direta do retângulo de raiz 2, forma-se um retângulo de raiz 3.

Continuando-se este processo, obtem-se os demais números irracionais.

números irracionais e reta numérica

Números irracionais e triângulo inscrito numa semicircunferência

Números irracionais podem ser obtidos por meio de triângulo inscrito em uma semicircunferência.

Para se saber, por exemplo, a raiz quadrada de 3 (√3) através de triângulo inscrito em uma semicircunferência, procedemos da seguinte forma:

a) 3 x 1 = 3;

b) soma-se 3 + 1 = 4;

c) constrói-se uma reta numérica com 4 unidades;

d) determina-se o ponto médio e traca-se uma semicircunferência;

e) 3 unidades determinam a projeção do cateto maior e 1 unidade cateto menor;

f) no ponto 3 do diâmetro (reta numerada), traça-se a altura AB do triângulo inscrito;

g) efetuam-se os cálculos:

(AB) 2 = 3 x 1

(AB) 2 = 3

AB = √3

h) transportando o seguimento AB para reta numerada (diâmetro), obtem-se o ponto correspondente a √3.

números irracionais e triângulo inscrito numa circunferência

Números irracionais e Vesica Piscis

A Vesica Piscis é uma construção geométrica com duas circunferências de mesmo raio na qual o centro de uma se encontra na circunferência da outra.

Com ela é possivel construir diversos desenhos simbólicos, polígonos de n lados de mesmo comprimento e inúmeras construções geométricas complexas.

Em uma de suas construções mais simples, é possível encontrar as raízes: √2, √3 e √5, inscrevendo quadrados e triângulos equiláteros, conforme demonstração geométrica da (fig.05-16-06).

números irracionais na Vesica Piscis

Segundo Robert Lawlor, autor de A Geometria Sagrada:

"O aspecto das três raízes sagradas pode se resumir neste simples diagrama. Estas três relações-raízes são tudo o que é necessário para a formação dos cinco sólidos regulares ("platônicos") que são a base de todas as formas volumétricas. Também o 2, o 3 e o 5 são os únicos números necessários para a divisão da oitava em escalas musicais. Podemos aceitar, portanto, estas raízes como uma trindade de princípios geradores."

Número pi (Π)

O número pi (Π) é a relação entre a medida do comprimento de uma circunferência com a medida de seu diâmetro e o seu valor é um número decimal, não periódico e infinito 3,1415...

Diferentemente da sequência numérica {√2, √3, √5, √6, √7, √8...}, o número pi é a razão entre dois números, mas nunca dois números inteiros, isto é, quando o diâmetro é um número inteiro; a circunferência é um número decimal não periódico e quando a circunferência é um número inteiro; o diâmetro é um número decimal não periódico.

Exemplo 1)

Comprimento da circunferência:

C = ?

Diâmetro da circunferência:

d = 10

Cálculo:

10 x (Π) = 3,1415926535897932384626433832795...

Exemplo 2)

Comprimento da circunferência:

C = 10

Diâmetro da circunferência:

d = ?

Cálculo:

10 : (Π) = 3,1830988618379067153776752674503...

número pi, circunferência, diâmetro e raio

Número irracional phi (Ф) - Número de Ouro

Sengundo H. E. Huntley, os pitagóricos tinham predileção pelo pentágono, pois a partir de sua forma obtinham a figura do pentagrama que adotaram como símbolo da Escola Pitagórica.

Já tinham conhecimento de que diagonais de um pentágono apresentavam proporções áureas.

O ponto P divide AQ e AB internamente e QB externamente em proporção áurea.

Divindindo-se o comprimento da diagonal por um dos lados do pentágono, o resultado é próximo a phi (Ф) - Número de Ouro.

pentágono e proporção áurea

Pentágono inscrito numa Mandorla

Exemplo de construção de pentágono utilizando como base a Mandorla.

Mandorla e Vesica Piscis são bases com as quais se podem construirem diversas figuras e outras complexas construções geométricas.

Contando as circunferências e os lados do pentágono, 10 etapas para contruí-lo.

pentágono construído com Mandorla

Livro Os Elementos - extrema e média razão

No livro, Os Elementos de Euclides de Alexandria, se encontram as Proposições XI e XXX em que há construções geométricas com estudos sobre extrema e média razão entre segmentos de reta e figuras geométricas.

Livro Os Elementos - extrema e média razão

Reta numerada - extrema e média razão

Em uma reta numerada, contruíndo-se um quadrado de lado unitário, com a ponta seca do compasso no ponto médio de sua base, abertura até o vértice direito superior, traçando-se um arco até ao encontro da reta, determina-se um seguimento áureo e consequentemente um retângulo áureo.

quadrado e extrema e média razão

Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci possui diversas propriedades numéricas e algébricas e entre essas propriedades, uma das mais importantes é o número phi (Ф) - Número de Ouro

O quociente de um número de Fibonacci por um número antecessor gera o número phi (Ф) - Número de Ouro.

Sequência de Fibonacci Número de Ouro (Ф)
   
1 1
1 2
2 1,5
3 1,666666667
5 1,604984472
8 1,618033989
13 1,618033989
21 1,618033989
34 1,618033989
55 1,618033989
89 1,618033989
144 1,618033989
233 1,618033989
377 1,618033989
610 1,618033657

Múltiplos da Sequência de Fibonacci

O obtenção do número phi (Ф) - Número de Ouro, não está restrita à sequência de Fibonacci, mútliplicando-se os números de Fibonnaci por um fator fixo, por exemplo, o número 2, os produtos geram uma nova sequência numérica com a mesma propriedade de se obter o número phi (Ф)

Múltiplos da  
Sequência de Fibonacci Número de Ouro (Ф)
   
2 1
2 2
4 1,5
6 1,666667
10 1,6
16 1,625
26 1,615385
42 1,619048
68 1,617647
110 1,618182
178 1,617978
288 1,618056
466 1,618026
754 1,618037
1220 1,618033

Numeros aleatórios

Escolhendo-se dois números aleátorios, por exemplo, 5 e 2 e aplicando o processo da soma de dois números anteriores para se obter o próximo número, a sequência numérica gerada, também apresenta a propriedade de obtenção de números próximo do o número phi (Ф)

5  
2 0,4
7 3,5
9 1,285
16 1,777
25 1,562
41 1,64
66 1,609
107 1,621

Autor: Ricardo Silva - abril/2020

Fontes Bibliográficas:

Commandino, Frederico. Euclides - Elementos de Geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944. ISBN - Não indicado. Fonte: Biblioteca do Clube de Engenharia da Bahia. Obra digitalizada por: Neuziton Torres Rapadura - neuzitontr @terra.com.br. Colaboração voluntária

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Huntley, H. E. A divina Proporção. Trad. de Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília. Universidade de Brasília., 1985.

Lawlor, Robert. A Geometria Sagrada. Versão Brasileira: GVS, 1996

NAKAMURA, Keiji. Conjunto do números irracionais: a trajetória de um conteúdo não incorporado às práticas educacionais. Dissertação de Mestrado. Pontifícia Universidade Católica. São Paulo, 2008

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