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Relações métricas no triângulo retângulo - 006

Ao iniciarmos os estudos dos triângulos, deparamos com muitas informações, tais como códigos, fórmulas, modelos matemáticos, etc., que esta figura geométrica possui, devemos estudá-lo metodicamente cada assunto para ter uma compreensão geral das suas relações métricas e trigonométricas, pois o estudo do triângulo envolve também as outras figuras geométricas.

Nesta apresentação são demonstrados alguns métodos para auxilar nos estudos do triângulo retângulo.

O triângulo retângulo

Desenhe um triângulo retângulo, nomei os seus lados, marque as medidas dos seus lados e os seus respectivos quadrados e também seus vértices como na figura 1.

No exemplo, temos o famoso triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, com cada um dos seus lados identificados com cores uma diferente da outra.

Relações métricas no triângulo retângulo

1.1) Determinando as medidas dos lados no triângulo retângulo Utilizando o Teorema de Pitágoras (a²=b²+c²), que diz que "o quadrado da hipotenusa (a) é igual a soma dos quadrados dos catetos (b e c) ", pode-se determinar as medidas dos lados no triângulo retângulo.

Fazendo as substituições na fórmula com uso de cores e nomes, fica fácil fazer os cálculos nas equações a seguir.

1.2) Determinando a medida da hipotenusa (lado maior)

(hipotenusa a)² = (cateto maior b)² + (cateto menor c )²
(hipotenusa a)² = ( 4 )² + ( 3 )²
(hipotenusa a)² = 16 + 9
(hipotenusa a)² = 25
(hipotenusa a) = √25
(hipotenusa a) = 5

1.3) Determinando a medida do cateto maior

(hipotenusa a)² = (cateto maior b)² + (cateto menor c )²
 
(5)² = (cateto maior b)² + (3 )²
 
25 = (cateto maior b)² + 9
 
25 - 9 = (cateto maior b)²
 
16 = (cateto maior b)²
 
(cateto maior b)² = 16
 
(cateto maior b)² = √16
 
(cateto maior b)² = 4

1.4) Determinando a medida do cateto menor

(hipotenusa a)² = (cateto maior b)² + (cateto menor c )²
 
(5)² = (4)² + (cateto menor c )²
 
25 = 16 + (cateto menor c )²
 
25-16 = (cateto menor c )²
 
9 = (cateto menor c )²
 
(cateto menor c )² = 9
 
(cateto menor c )= √9
 
(cateto menor c )= 3

Determinando a altura relativa à hipotenusa

Traçando-se uma linha perpendicular da base (hipotenusa) até o vértice de 90 graus, determinamos a altura relativa à hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

Triângulos retângulos proporcionais e relações métricas

Traçando-se a altura relativa à hipotenusa, determinamos dois novos triângulos retângulos (um menor e outro médio) semelhantes e também as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

3.1) Obtendo a medida da projeção do cateto maior sobre a hipotenusa Divida o quadrado de 4 (16) do cateto maior pela medida hipotenusa

16 : 5 = 3,2 (projeção do cateto maior m )

Reparem que, na criação dos dois novos triângulos: um menor e outro médio, os catetos se transformaram em hipotenusas que são os lados maiores dos triângulos retângulos. Na prática, estamos divindo o quadrado (16) da medida da hipotenusa do triângulo retângulo médio pela raiz quadrada da hipotenusa do triângulo retângulo maior.

Obtendo a medida da projeção do cateto menor sobre a hipotenusa

Divida o quadrado de 3 (9) do cateto menor pela medida hipotenusa

9 : 5 = 1,8 (projeção do cateto menor n )

Reparem que, na criação dos dois novos triângulos: um menor e outro médio, os catetos se transformaram em hipotenusas que são os lados maiores dos triângulos retângulos. Na prática, estamos divindo o quadrado (9) da medida da hipotenusa do triângulo retângulo menor pela raiz quadrada da hipotenusa do triângulo retângulo maior.

Obtendo a medida da altura relativa à hipotenusa

Multiplicando as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, obtemos o quadrado da medida da altura do triângulo retângulo.

3,2 (projeção do cateto maior) x 1,8 (projeção do cateto menor ) = 5,76

Extrai-se a raiz quadrada:

√5,76= 2,4

e tem-se a medida da altura do triângulo retângulo.

O produto dos catetos

O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura do triângulo retângulo.

3 x 4 =12

O produto da hipotenusa pela altura do triângulo retângulo.

5 x 2,4 =12

Outras relações métricas no triângulo retângulo

7.1) O produto dos quadrados dos catetos

O produto dos quadrados dos catetos tem como resultado um número quadrado perfeito

9 x 16 = 144

7.2) O produto das medidas dos catetos

O produto das medidas dos catetos tem com resultado a raiz quadrada do produto dos quadrados dos catetos.

3 x 4 = 12

7.3) O produto dos quadrados dos catetos e o quadrado da hipotenusa

O produto dos quadrados dos catetos e o quadrado da hipotenusa tem como resultado um número quadrado perfeito.

9 x 16 x 25= 3600

7.4) O produto das medidas dos catetos e da hipotenusa

O produto das medidas dos catetos e da hipotenusa tem com resultado a raiz quadrada do produto dos quadrados dos catetos e do quadrado da hipotenusa.

3 x 4 x 5 = 60

Autor: Ricardo Silva


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