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Teorema de Pitágoras por Bhaskara e Chou Pei - 146

No livro Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Serie do professor Elisha Scott Loomis, cuja segunda edição foi lançada em 1940, encontra-se uma coletânea de 370 demonstrações do Teorema de Pitágoras entre elas: 109 demonstrações algébricas e 255 demonstrações  geométricas.

Outro livro que também aborda demonstrações do Teorema de Pitágoras: Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics, edição de 2008,  do engenheiro John C. Sparks.

. Acho desafiador, tentar criar novas demonstrações principalmente geométricas, ao mesmo tempo que se estimula o raciocínio faz a gente desenvolver novas soluções com sobreposição de figuras geométricas.

Duas demonstrações do Teorema de Pitágoras que me chamaram a atenção foram a que aparece no livro de matemática chinês Chou Pei Suan Ching e a de Bháskara.

Teorema de Pitágoras pelo método geométrico

teorema de pitagoras demostrado pelo metodo geometrico

Modelo bastante utilizado para se demonstrar o Teorema de Pitágoras é construir um triângulo retângulo 3, 4 e 5 e desenhar nos seus lados quadrados quadriculados com as suas respectivas áreas.

Somando-se as quantidade de quadradinhos verdes mais os amarelos tem-se o total de vermelhos: 9 + 16 = 25.

teorema de pitagoras demonstrado geometricamente

Nesta demonstração, montou-se o quadrado de área 25 com barrinhas quadriculadas de 3 x (1 x 3) mais 4 x (1 x 4), totalizando 25 quadradinhos.

Teorema de Pitágoras do livro Chou Pei Suan Ching

teorema de pitagoras do livro chou pei

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Chou_Pei_Suan_Ching#/

media/File:Chinese_pythagoras.jpg

Nesta demostração do livro Chou Pei Suan Ching, o quadrado de área 25 se encontra em em um gabarito quadriculado e é formando por 4 triângulos retângulos cujas hipotenusas formam os lados do quadrado.

Cada triângulo retângulo possui a seguinte área:

3 x 4 = 12

12 / 2 = 6

Reparar que há um quadradinho no centro do quadrado maior.

Então, 4 triângulos x 6 (área) = 24

24 + 1 (quadradinho central) = 25 (área do quadrado maior)

Demostração do Teorema de Pitágoras por Bháskara

teorema de pitagoras por bhaskara

Na demostração feita pelo matemático hindu Bháskara, conforme relatos, ele simplesmente desenhou o modelo acima e dinha dito: Contemple!, isto é, deixando para o observador verificar através de cálculos de que se tratava de uma demostração do Teorema de Pitágoras, utilizando a montagem de 4 triângulos retângulos formando um quadrado.

Reparar que há um quadradinho no centro do quadrado maior.

Resolução da demonstração do Teorema de Pitágoras por Bháskara

teorema de pitagoras por bhaskara

5a) Área do quadrado maior

a2

5b) Área dos 4 triângulos retângulos

4 . bc / 2

5c) Área do quadrado menor

(b-c)2

a2 = 4.bc / 2 + (b-c)2

a2 = 2bc + b2 - 2bc + c2

a2 = b2 + c2

Análise da demostração do Teorema de Pitágoras por Bháskara

Tanto na demonstração do Livro de matemática chinês Chou Pei Suan Ching e a de Bháskara, verifica-se que os triângulos que formam o quadrado, deixam um espaço vazio, isto é, um quadradinho e para que a relação entre os lados do triângulo funcionem os quadadrinhos pecisam ser somados.

Ai, vem a pergunta: Porque sobra o quadradinho?

Qual a relação entre as duas demostrações e a sobras dos quadradinhos, isto é, o espaço em branco.

E para mostrar porque sobram os quadradinhos, partir do primeiro exemplo 146-01, em que os lados do triângulo retângulo são construídos quadrados quadriculados com áreas dos respectivos lados, veremos o porque isto acontece.

Terno Pitagórico Primitivo 3, 4 e 5

analise do teorema de pitagoras por bhaskara

Utilizando como base a demostração 146-01, encaixa-se 4 triângulos 3, 4 e 5 sobre o quadrado de área 25, de forma que as hipotenusas alinhem-se sobre os lados do quadrado maior.

Verifica-se que também sobra uma área, isto é, sobra 1 quadradinho.

Por meio de estudos com da utilização de Ternos Pitagóricos Primitivos e Derivados, verificou-se que o espaço que sobra é a diferença entre os termos de um terno pitagórico e que corresponde ao lado do quadradinho.

Nos Ternos Pitagóricos 3, 4 e 5 e os seus derivados: 6, 8 e 10; 9, 12 e 15; 12, 16 e 20; e assim sucessivamente, a diferença entre os termos de cada terno é constante.

Exemplos:

Terno Primitivo: 3, 4 e 5 - diferença entre os termos é de 1 unidade.

Terno Derivado: 6, 8 e 10 - diferença entre os termos é de 2 unidades.

Terno Derivado: 9, 12 e 15 - diferença entre os termos é de 3 de unidades.

3, 4 e 5 é o primeiro Terno Pitagórico Primitivo.

5 - 4 = 1

4 - 3 = 1

1 quadradinho, 1 espaço ou 12 é o que sobrou na demonstração deste exemplo.

Áreas dos 4 triângulos

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6

6 x 4 = 24

A área do quadrado maior 52 = 25

áreas dos triângulos mais a área do quadradinho: 24 + 1 = 25

Terno Pitagórico Derivado 6, 8 e 10

analise do teorema de pitagoras por bhaskara

Neste outro exemplo, temos um triângulo retângulo cujos lados são 6, 8 e 10 derivado do Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5.

Sobrou uma área com 4 quadradinhos, cujo lado são 2 quadrados.

Direfença entre os termos do Terno Pitagórico Derivado:

10 - 8 = 2

8 - 6 = 2

22 = 4

Áreas dos 4 triângulos

8 x 6 = 48

48 : 2 = 24

24 x 4 = 96

A área do quadrado maior 102 = 100

áreas dos triângulos mais a área do quadradinho: 96 + 4 = 100

Autor: Ricardo Silva - outubro/2017

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