Ternos pitagóricos primitivos originados a partir das Fórmulas de Euclides descritas abaixo apresentam vários padrões e regularidades numéricas, e uma das principais regularidades é que tanto utilizando as fórmulas ou fazendo os cálculos por meio de deduções, percebe-se que o primeiro termo de um terno pitagórico primitivo é um número ímpar a começar pelo número 3.
Sendo um padrão, o primeiro termo de terno pitagórico primitivo começa por um número ímpar, os segundo e terceiro termos são a soma de dois números consecutivos que tem como resultado um número quadrado perfeito cuja raiz quadrada é o próprio primeiro terno do terno pitagórico primitivo.
No livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas são abordados vários métodos para se obterem ternos pitagóricos.
Observe estes ternos pitagóricos:
3, 4, 5;
5, 12, 13;
7, 24, 25.
Que características eles têm em comum?
Se você observou num piscar de olhos, isso mesmo!, todos têm em comum as seguintes características:
a) o primeiro e o terceiro termo são números ímpares;
b) o termo do meio é par e múltiplo de 4;
c) o segundo e terceiro termos são consecutivos.
Eles têm também outras características muito importantes, que veremos a seguir.
Utilizando as Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
foram gerados cerca de 500 ternos pitagóricos sequencialmente, contendo tanto ternos primitivos quanto ternos derivados.
Numa segunda etapa, foram marcados os ternos primitivos com as características citadas acima e reunidos conforme tabela abaixo.
Tabela com os primeiros 15 ternos pitagóricos primitivos
| Tabela de | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ternos pitagóricos primitivos | ||||||
| Ternos | ||||||
| Pitagóricos | ||||||
| m | n | m² | n² | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 2 | 9 | 4 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 3 | 16 | 9 | 7 | 24 | 25 |
| 5 | 4 | 25 | 16 | 9 | 40 | 41 |
| 6 | 5 | 36 | 25 | 11 | 60 | 61 |
| 7 | 6 | 49 | 36 | 13 | 84 | 85 |
| 8 | 7 | 64 | 49 | 15 | 112 | 113 |
| 9 | 8 | 81 | 64 | 17 | 144 | 145 |
| 10 | 9 | 100 | 81 | 19 | 180 | 181 |
| 11 | 10 | 121 | 100 | 21 | 220 | 221 |
| 12 | 11 | 144 | 121 | 23 | 264 | 265 |
| 13 | 12 | 169 | 144 | 25 | 312 | 313 |
| 14 | 13 | 196 | 169 | 27 | 364 | 365 |
| 15 | 14 | 225 | 196 | 29 | 420 | 421 |
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A coluna "a" apresenta um número ímpar que é o primeiro termo de cada terno pitagórico primitivo.
Os ternos pitagóricos primitivos formam uma sequência numérica cujo primeiro termo é um número ímpar a partir do número 3.
As coluna "b" e "c" apresentam respectivamente um número par e um número ímpar, juntos formam sequências de números consecutivos.
Autor: Ricardo Silva - março/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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