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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos pitagóricos e sequências numéricas - 133

Ternos pitagóricos primitivos originados a partir das Fórmulas de Euclides descritas abaixo apresentam vários padrões e regularidades numéricas, e uma das principais regularidades é que tanto utilizando as fórmulas ou fazendo os cálculos por meio de deduções, percebe-se que o primeiro termo de um terno pitagórico primitivo é um número ímpar a começar pelo número 3.

Sendo um padrão, o primeiro termo de terno pitagórico primitivo começar por um número ímpar, os segundo e terceiro termos são a soma de dois números consecutivos que tem como resultado um número quadrado perfeito cuja raiz quadrada é o próprio primeiro terno do terno pitagórico primitivo.

No livro TERNOS PITAGÓRICOS E SEQUÊNCIA NÚMERICAS são abordados vários métodos para se obterem ternos pitagóricos.

Ternos pitagóricos primitivos e suas regularidades

Observe estes ternos pitagóricos:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

7, 24, 25.

Que características que eles têm em comum?

Se você observou num piscar de olhos, isso mesmo!, todos têm em comum as seguintes características:

a) o primeiro e o terceiro termo são números ímpares;

b) o termo do meio é par e múltiplo de 4;

c) o segundo e terceiro termos são consecutivos.

Eles têm também outras características muito importantes, que veremos a seguir.

Utilizando as Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

foram gerados cerca de 500 ternos pitagóricos sequencialmente, contendo tanto ternos primitivos quanto ternos derivados.

Numa segunda etapa, foram marcados os ternos primitivos com as características citadas acima e reunidos conforme tabela abaixo.

Tabela de ternos pitagóricos primitivos

Tabela com os primeiros 15 ternos pitagóricos primitivos

Tabela de ternos pitagóricos primitivos (sequência ímpar)
             
m n a b
             
2 1 4 1 3 4 5
3 2 9 4 5 12 13
4 3 16 9 7 24 25
5 4 25 16 9 40 41
6 5 36 25 11 60 61
7 6 49 36 13 84 85
8 7 64 49 15 112 113
9 8 81 64 17 144 145
10 9 100 81 19 180 181
11 10 121 100 21 220 221
12 11 144 121 23 264 265
13 12 169 144 25 312 313
14 13 196 169 27 364 365
15 14 225 196 29 420 421

Ternos pitagóricos primitivos e os números ímpares

A coluna "a" apresenta um número ímpar que é o primeiro termo de cada terno pitagórico primitivo.

Os ternos pitagóricos primitivos formam uma sequência numérica cujo primeiro termo é um número ímpar a partir do número 3.

Ternos pitagóricos primitivos e números consecutivos

As coluna "b" e "c" apresentam respectivamente um número par e um número ímpar, juntos formam sequências de números consecutivos.

Autor: Ricardo Silva - março/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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