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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e as Fórmulas de Euclides - 177

- "Ráios duplos!"

- "Ráios duplos, Muttley!"

Este era o bordão que Dick Vigarista falava quando alguma coisa dava errada ao seu fiel (escudeiro) co-piloto Mutlley, da série de desenho animado Corrida Maluca produzido pelos estúdios Hanna-Barbera nos anos 60 e que passou na TV nos 70 aqui no Brasil.

E parafraseando Dick Vigarista:

Ternos Duplos!

Ternos Pitagóricos Duplos!

Isto mesmo, Ternos Pitagóricos Duplos, um novo grupo de ternos pitagóricos; uma sequência de ternos pitagóricos gerados pelas Fórmulas de Euclides e outra gerada por meio da construção de um conjunto de 3 Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos.

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Utilizando as Fórmulas de Euclides foram gerados sequencialmente 1000 ternos pitagóricos, entre eles, ternos primitivos e ternos derivados os quais foram classificados conforme caractéristicas abaixo:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;

c) Ternos Pitagorícos Derivados Pares;

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;

e) Ternos Pitagóricos Raros.

e foram constatados que ternos pitagóricos estão estritamente relacionados com números triangulares.

Estes estudos se encontram publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas.

Quadrado Mágico Pitagórico Royal Vale Heath

Análises realizadas no Quadrado Mágico Pitagórico Perfeito de Royal Vale Heath (1883-1960) - mágico e entusiasta matemático estadunidense, formado por um conjunto de 3 Quadrados Mágicos 3x3, constatam novas propriedades dos quadrados mágicos em si, quanto nas formações de sequências numéricas nas quais aparecerem determinados ternos pitagóricos com novas caractéristicas e que não são gerados pelas Fórmulas de Euclides.

quadrado mágico pitagórico 3, 4 e 5

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Ternos Pitagóricos duplos

Ternos Pitagóricos Duplos possuem uma característica comum entre eles. As somas dos quadrados dos dois primeiros termos tem como resultado um mesmo número quadrado perfeito.

Terno Pitagórico 135,180, 225

Terno Pitagórico gerado pelo conjunto de 3 Quadrados Mágicos Pitagóricos de Royal Vale Heath

Soma dos termos do quadrado vermelho = 135

Soma dos termos do quadrado verde = 180

Soma dos termos do quadrado azul = 225

Somas dos termos de cada quadrado elevado ao quadrado

(135² = 18.225)

(180² = 32.400)

18.225 + 32.400 = 50.625

(225² = 50.625)

Terno Pitagórico 63, 216, 225

Terno gerado pelas Fórmula de Euclides

(63² = 3.969)

(216² = 46.656)

3.969 + 46.656 = 50.625

(225² = 50.625)

Os dois ternos pitagóricos têm o mesmo resultado: 50.625

Terno Pitagórico 135,180, 225 e o seu terno primitivo

Podemos saber qual é o terno pitagórico primitivo gerador do Terno Pitagórico Derivado 135, 180, 225, através das seguintes etapas:

Decomposição em fatores primos
do Terno Pitagórico 135, 180, 225
       
      Fatores Primos
135 180 225 2
135 90 225 2
135 45 225 3
45 15 75 3
15 5 25 3
5 5 5 5
1 1 1

3 x 3 x 5 = 45

mdc (135, 180, 225) = 45

135 : 45 = 3

180 : 45 = 4

225 : 45 = 5

Os termos do Terno Derivado 135, 180, 225 divididos pelo mdc=45 gera o Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5.

O Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 é um terno pitagórico gerado pelas Fórmulas de Euclides.

Terno Pitagórico 63, 216, 225 e o seu terno primitivo

Podemos saber qual é o terno pitagórico primitivo gerador do Terno Pitagórico Derivado 63, 216, 225, através das seguintes etapas:

Decomposição em fatores primos
do Terno Pitagórico 63, 216, 225
       
      Fatores Primos
63 216 225 2
63 108 225 2
63 54 225 2
63 27 225 3
21 9 75 3
7 3 25 3
7 1 25 5
7 1 5 5
7 1 1 7
1 1 1

3 x 3= 9

mdc (63, 216, 225) = 9

63 : 9 = 7

216 : 9 = 24

225 : 9 = 25

Os termos do Terno Derivado 63, 216, 225 divididos pelo mdc=9 gera o Terno Pitagórico Primitivo 7, 24, 25.

O Terno Pitagórico Primitivo 7, 24, 25 é um terno pitagórico gerado pelas Fórmulas de Euclides.

Processo prático de geração de ternos pitagóricos derivados

Um método prático para se gerar sequências de ternos pitagóricos derivados a partir de terno pitagórico primitivo é multiplicar o terno pitagórico primitivo pela sequência de números naturais.

Terno Pitagórico 3, 4, 5 e derivados

No exemplo o Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 multiplicado pela sequência de números naturais.

Os ternos pitagóricos (cor amarelo) são o dobro, do dobro, do dobro... do Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5. que podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Os ternos pitagóricos (cor laranja) não são gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Terno Pitagórico 3,4,5
e derivados
                         
  números naturais
x 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16 ... 45
primitivo derivados
3 6 9 12 15 18 21 24 27 .. 48 ... 135
                         
4 8 12 16 20 24 28 32 36 ... 64 ... 180
                         
5 10 15 20 25 30 35 40 45 ... 80 ... 225
                         
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Terno Pitagórico 7, 24, 25 e derivados

No exemplo o Terno Pitagórico Primitivo 7, 24, 25 multiplicado pela sequência de números naturais.

Os ternos pitagóricos (cor amarelo) são o dobro, do dobro, do dobro... do Terno Pitagórico Primitivo 7, 24, 25. que podem ser gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Os ternos pitagóricos (cor laranja) não são gerados pelas Fórmulas de Euclides.

Terno Pitagórico 7, 24, 25
e derivados
                         
  números naturais
x 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16 ... 45
primitivo derivados
7 14 21 28 35 42 49 56 63 .. 112 ... 315
                         
24 28 72 96 120 144 168 192 216 ... 384 ... 1080
                         
25 50 75 100 125 150 175 200 225 ... 400 ... 1225
                         
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Terno Pitagórico Derivado 63, 216, 225

O Terno Pitagórico Derivado Impar 63, 216, 225 pode ser gerado pelas Fórmulas de Euclides a partir dos números 12 e 9.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

 

a = 12² - 9²

a = 144 - 81

a = 63

 

b = 2 x 12 x 9

b= 219

 

c = 12² + 9²

c = 144 + 81

c= 225

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2018

Texto atualizado em 26/04/2021.

Fontes Bibliográficas:

HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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