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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e as Fórmulas de Euclides - 177

- "Ráios duplos, Muttley!"

- "Ráios duplos, Muttley!"

Este era o bordão que Dick Vigarista falava quando alguma coisa dava errada ao seu fiel (escudeiro) co-piloto Mutlley, da série de desenho animado Corrida Maluca produzido pelos estúdios Hanna-Barbera nos anos 60 e que passou na TV nos 70 aqui no Brasil.

E parafraseando Dick Vigarista:

Ternos Duplos!

Ternos Pitagóricos Duplos!

Isto mesmo, Ternos Pitagóricos Duplos, uma nova sequência de ternos pitagóricos que as Fórmulas de Euclides não gera mesmo através de números não primos entre si.

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Utilizando as Fórmulas de Euclides foram gerados sequencialmente 1000 ternos pitagóricos, entre eles, ternos primitivos e ternos derivados os quais foram classificados conforme caractéristicas abaixo:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;

c) Ternos Pitagorícos Derivados Pares;

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;

e) Ternos Pitagóricos Raros.

e foram constatados que ternos pitagóricos estão estritamente relacionados com números triangulares.

Estes estudos se encontram publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequência Númericas.

Quadrado Mágico Pitagórico Royal Vale Heath

Análises feitas no Quadrado Mágico Pitagórico de Royal Vale Heath (1883-1960) - mágico e entusiasta matemático estadunidense, formado por 3 Quadrados Mágicos 3x3, constatam novas propriedades dos quadrados mágicos em si, quanto nas formações de de sequências numéricas nas quais aparecerem ternos pitagóricos com novas caractéristicas e que não são gerados pelas Fórmulas de Euclides mesmo utilizando números primos entre si quanto números não primos entre si.

quadrado mágico pitagórico 3, 4 e 5

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Ternos Pitagóricos duplos

Ternos pitagóricos cujos termos são diferentes dos gerados pelas Fórmula de Euclides, mas que tem o mesmo resultado para hipotenusa.

Terno do Quadrado Mágico Pitagórico de Royal Vale Heath

Cada termo representa a Soma dos Termos de cada quadrado

(135² = 18.225)

(180² = 32.400)

18.225 + 32.400 = 50.625

(225² = 50.625)

Terno gerado pelas Fórmula de Euclides

(63² = 3.969)

(216² = 46.656)

3.969 + 46.656 = 50.625

(225² = 50.625)

Os dois ternos têm o mesmo resultado: 50.625

Ternos Pitagóricos derivados

Ternos derivados do Terno Primitivos 3, 4, 5 utilizando as Fórmula de Euclides, geram ternos derivados pares.

No Quadrado Mágico Pitagórico de Royal Vale Heath há também ternos derivados pares e entre eles ternos derivados cujos primeiro e terceiro termos são ímpares (ternos coloridos).

Quando extraído MDC (Máximo Divisor Comum) de cada terno derivado "ímpar" (coloridos), os MDC´s são ímpares.

3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Decomposição em fatores primos do terno 9, 12, 15
      Fatores Primos
9 12 15 2
9 6 15 2
9 3 15 3
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1

mdc (9, 12, 15) = 3

Decomposição em fatores primos do terno 15, 20, 25
      Fatores Primos
15 20 25 2
15 10 25 2
15 5 25 3
5 5 25 5
1 1 5 5
1 1 1

mdc (15, 20, 25) = 5

Autor: Ricardo Silva maio/2018

Fontes Bibliográficas:

HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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