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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos e os números 3, 4 e 5 - 175

Os números 3, 4 e 5, olhando para eles, são três números distintos, nenhum é divisor do outro e também nenhum é múltiplo do outro.

O que eles tem de comum? são números consecutivos, aliás, são os únicos três números consecutivos que formam terno pitagórico primitivo.

"Os babilônios já conheciam os ternos pitagóricos

Os escribas babilônicos encheram suas tabuinhas com tabelas impressionantes de sequências de ternos exibindo a relação de pitágoras.

Eles registraram... outros ternos como 3.456, 3.367, 4.825. As chances de obter um terno que funcione, verificando três números ao acaso, são pequenas..."

Adaptado de A Janela de Euclides. Leonard Miodnow

Fonte: Coleção Tudo é Matemática, 9 ano, página 186, do Professor Luiz Robeto Dante, editado pela Editora Ática, edição 2011.

Um Quadrado Mágico, por si só, apresentam diversas propriedades lógicas e matemáticas, englobando várias áreas como geometria, teoria dos números, probabilidade, etc, ao longo da história vem cativando desde os mais renomados matemáticos como os aficionados.

Quadrado Mágico é um objeto que desperta interesse e quando analisado parte por parte descobrimos a interrelação entre os números.

E esta interrelação com o uso de Quadrados Mágicos apresentam ainda outras mais propriedades relacionadas com o Teorema de Pitágoras.

A junção de três sequências aritméticas ordenadas em Quadrados Mágicos distintos estabelecem entre os conjuntos das próprias sequências bem como as propriedades dos Quadrados Mágicos uma constante interação matemática e lógica com o Teorema de Pitágoras.

quadrados mágicos pitagóricos 3 - 4 - 5

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Quadrado Mágico 3x3 - múltiplos de 3

Quadrado Mágico construído com múltiplos de 3 e razão entre os termos de 3 unidades.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 45
45
       
24 3 18   45
9 15 21   45
12 27 6   45
       
45 45 45 45

Constante Mágica 45

(45² = 2.025)

Soma Mágica 135

(135² = 18.225)

Quadrado Mágico 3x3 - múltiplos de 4

Quadrado Mágico construído com múltiplos de 4 e razão entre os termos de 4 unidades.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 60
60
       
32 4 24   60
12 20 28   60
16 36 8   60
       
60 60 60 60

Constante Mágica 60

(60² = 3.600)

Soma Mágica 180

(180² = 32.400)

Quadrado Mágico 3x3 - múltiplos de 5

Quadrado Mágico construído com múltiplos de 5 e razão entre os termos de 5 unidades.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 75
75
       
40 5 30   75
15 25 35   75
20 45 10   75
       
75 75 75 75

Constante Mágica 75

(75² = 5.625)

Soma Mágica 225

(225² = 50.625)

Terno Pitagórico e Constante Mágica

As Constantes Mágicas formam Terno Pitagórico.

(45² = 2.025)

(60² = 3.600)

2.025 + 3600 = 5.625

(75² = 5.625)

Observação: Terno Pitagórico formado por meio de Quadrados Mágicos.

Comparando estudos publicado no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas, o terno 45, 60, 75 não faz parte de ternos pitagóricos gerados a partir de números primos entre si como de números não primos entre si.

Temos aqui um exemplo novo de formação de terno pitagórico formado através de Quadrados Mágicos.

Terno Pitagórico e Soma dos Termos

As Somas dos Termos formam Terno Pitagórico.

(135² = 18.225)

(180² = 32.400)

18.225 + 32.400 = 50.625

(225² = 50.625)

Observação: Terno Pitagórico formado por meio de Quadrados Mágicos.

Comparando estudos publicado no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas o terno 135, 180, 224 não faz parte de ternos pitagóricos gerados a partir de números primos entre si como de números não primos entre si.

Temos aqui um exemplo novo de formação de terno pitagórico formado através de Quadrados Mágicos e cuja soma é igual ao terno publicado no livro descrito acima.

63, 216, 225

(63² = 3.969)

(216² = 46.656)

3.969 + 46.656 = 50.625

225² = 50.625

Progressões aritméticas

Colocando os números de cada Quadrado Mágico em ordem crescente, formamos três sequências numéricas finitas.

3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45

Cada uma das colunas formam ternos pitagóricos:

3, 4, 5 - terno pitagórico primitivo;

6, 8, 10 - terno pitagórico derivado do terno 3, 4, 5 assim como os demais ternos.

Observações: Ternos Pitagóricos formados por meio de Quadrados Mágicos:

9, 12, 15

15, 20, 25

18, 24, 30

21, 28, 35

Comparando estudos publicado no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequência Numéricas os ternos acima não fazem parte de ternos pitagóricos gerados a partir de números primos entre si como de números não primos entre si, são exemplos novos de formação de ternos pitagóricos através de Quadrados Mágicos.

Autor: Ricardo Silva maio/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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