logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e números quadrados perfeitos - 174

"Quadrados Mágicos são muito conhecidos por qualquer pessoa que já tenha se interessado por matemática recreativa. As primeiras menções que podemos encontrar datam de 3 mil anos, na China, e até hoje eles continuam intrigando curiosos e matemáticos profissionais: Martin Gardner, por exemplo, ofereceu um prêmio a quem encontrasse um quadrado mágico de ordem 3, composto apenas por números inteiros que sejam quadrados perfeitos."

O Texto acima foi transcrito do Guia do Professor - Experimento - autor: Leonardo Barrichelo e publicado pela Unicamp.

quadrados mágicos e números quadrados perfeitos - Martin Gardner

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Martin_Gardner

Martin Gardner, falecido em 2010, foi um escritor, grande especialista da obra Lewis Carrol, se interessava por micromagia, filosofia, literatura e por mais de 20 anos publicou na Revista Scientific American artigos sobre recreação matemática e que posteriormente foram transformados em livro.

Martin Gardner tinha problemas com cálculos e talvez por isso nunca tenha frequentado curso superior de Matemática, mas era um aficcionado por ela.

Ao longo da história, como Martin Gardner, tivemos muitos homens que também não eram Matemáticos de formação e contribuiram para o desenvolvimento da Matemática.

O que chama atenção na introdução do texto do Guia do Professor é o prêmio a quem conseguisse formar Quadrado Mágico de ordem 3 com números quadrados perfeitos.

Fazendo pesquisas na World Wide Web, não foi possível saber se houve algum ganhador do referido prêmio.

Será que era ou é tão difícil formar um Quadrado Mágico com estas características?

Quadrado Mágico com os 9 primeiros números quadrados perfeitos

Com os 9 primeiros números quadrados perfeitos não é possível formar um Quadrado Mágico de ordem 3.

As diferenças (razões) entre os quadrados não são constante.

1 4 9 16 25 36 49 64 81
3   5   7   9   11   13   15   17
Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
93
       
16 81 4   101
9 25 49   83
64 1 36   101
       
89 107 89 77

As soma de cada linha horizontal, vertical e diagonais não tem como resultado uma Constante Mágica.

A soma de todos os números quadrados não é um quadrado perfeito.

√285 = 16,881

Reescrevendo o quadrado 3x3 com números inteiros consecutivos.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 15
15
       
4 9 2   15
3 5 7   15
8 1 6   15
       
15 15 15 15

Temos a Soma Mágica 45 que não é um quadrado perfeito.

√45= 6,7082

Quadrado Mágico Pitagórico do Professor Elisha S. Loomis

No livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scoot Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, há cinco exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos e na página 254 se encontra o exemplo de número dois.

quadrado mágico pitagórico - professor elisha scoot loomis

Fonte: Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

Transcrevemos o quadrado HD que é um quadrado de ordem 3 e formado com números quadrados perfeitos.

As diferenças (razões) entre os quadrados não são constante.

4   25   64   121   196   289   400   529   676
21   39   57   75   93   111   129   147  
744
     
196 25 64   285
121 4 529   654
676 289 400   1365
     
993 318 993 600

As soma de cada linha horizontal, vertical e diagonais não tem como resultado a Constante Mágica.

A soma de todos os números quadrados é um quadrado perfeito 2304.

√2304 = 48

Reecrevendo o quadrado com números inteiros

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
36
     
14 5 8   27
11 2 23   36
26 17 20   63
     
51 24 51 36

As soma de cada linha horizontal, vertical e diagonais não tem como resultado Constante Mágica.

A soma de todos os números que é 126, não é um quadrado perfeito.

√126 = 11,224

Será que Martin Gardner tinha conhecimento deste feito do Professor Elisha Scoot Loomis? Porque o professor chegou quase perto de ter produzido um Quadrado Mágico 3x3 com números quadrados perfeitos.

Ou será que Martin Gardner passou horas e horas tentando produzir o tal Quadrado Mágico e não conseguindo resolveu estabelecer o prêmio?

Quadrado Mágico Pitagórico - Royal Vale Heath

Quadrado Mágico Pitagórico de Royal Vale Heath, publicado por Editora Inglesa de Passatempos, ano de 1930.

quadrado mágico piagorico - roya vale heath

Fonte: Sparks, John C. The Pythagorean Theorem - Crown Jewel of Mathematics - by Published by AuthorHouse, 1663 Liberty Drive, Suite 200, Bloomington, Indiana, 2008.

Transcrevemos o quadrado 3x3 que é um quadrado de ordem 3 e formado com números inteiros consecutivos.

As diferenças (razões) entre os números são constante.

54   55   56   57   58   59   60   61   62
1   1   1   1   1   1   1   1  
Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 174
174
     
61 54 59   174
56 58 60   174
57 62 55   174
     
174 174 174 174

As soma de cada linha horizontal, vertical e diagonais tem como resultado a Constante Mágica 174.

A soma de todos os números é 522.

522² = 272.484

Reescrevendo o quadrado 3x3 com números quadrados perfeitos.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
10094
     
3721 2916 3481   10118
3136 3364 3600   10100
3249 3844 3025   10118
     
10106 10124 10106 10110

A soma de todos os números não é quadrado perfeito 30.336

√30.336 = 174,172

Observação: a raiz quadrada é proxima a Constante Mágica do Quadrado Mágico com números inteiros.

Conclusão:

Escolher sequência de 9 números inteiros consecutivos e elaborar um Quadrado Mágico de ordem 3x3 é simples é rápido conhecendo as técnicas de montagem.

Escolher 16 números inteiros consecutivos e elaborar um Quadrado Mágico de ordem 4x4 é um pouco mais demorado, mas não tão complicado, mesmo conhecendo as técnicas de montagem.

Escolher 25 números inteiros consecutivos e elaborar um Quadrado Mágico de ordem 5x5 é mais complicado e demorado mesmo conhecendo as técnicas de montagem.

Depois de montado cada Quadrado Mágico tem que se somar cada linha, cada coluna, cada uma das diagonais para verificar se o resultado da Costante Mágica é a mesma.

E ainda somar as Constantes Mágicas das linhas, colunas e diagonais para se obter a Soma Mágica.

Agora imagina tentando montar um só Quadrado Mágico de ordem 3x3 com números quadrados perfeitos em que a Constante Mágica e Soma do Termos deva ter como resultado também número quadrado perfeito.

Com os exemplos expostos, nota-se que foram feitos grandes esforços e cálculos para se chegar a cada resultado, pois tanto em 1900 quanto em 1930 não havia ainda calculadoras ou planilhas eletrônicas, computadores pessoais só a partir da decáda de 1980...

Martin Gardner sabia...sabia que era e ainda é um excelente desafio para o cérebro, e hoje para cérebros e computadores.

Autor: Ricardo Silva maio/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Matérias relacionadas:

011-estudos-003-soma-numeros-consecutivos
011-estudos-016-retangulos-magicos
011-estudos-017-cruzinhas-magicas
011-estudos-041-teclados-numericos-soma-dos-seus-numeros
011-estudos-041-teclados-numericos-soma-dos-seus-numeros
011-estudos-115-quadrados-dinamicos
011-estudos-166-numeros-quadrados-perfeitos-e-soma-numeros-consecutivos
011-estudos-169-quadrados-magicos
011-estudos-170-quadrados-magicos-ordem-3
011-estudos-171-quadrados-magicos-pitagoricos
011-estudos-172-quadrados-magicos-numeros-primos
011-estudos-173-quadrado-magico-ordem3-numero-30
011-estudos-175-quadrados-magicos-pitagoricos-e-os-numeros-3-4-5
011-estudos-176-quadrados-magicos-e-qualquer-numero
011-estudos-180-quadrados-magicos-bimagicos-multimagicos
L A N Ç A M E N T O ! ! !

livro quadrados mágicos e sequências numéricas

NOVO LIVRO DIGITAL:

 

Traz dois novos métodos diretos, que não precisam de quadrados auxiliares para construções de Quadrados Mágicos e Semi-Mágicos de ordem ímpares

 

QUADRADOS MÁGICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos