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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos / Bimágicos / Multimágicos - 180

Acredito estarmos diante de dois fenômenos similares, similares no sentido de terem uma vasta utilização, principalmente na Matemática: um é o brilhante Teorema de Pitágoras, o outro, o Quadrado Mágico.

Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras podem ser encontrados no trabalho do Professor Elisha Scott Loomis que compilou em seu livro The Pythagorean Propositions, reimpressão da segunda edição de 1940, mais de 370 provas do Teorema de Pitágoras.

Agrupadas nas seguintes categorias:

a) Algébrica (109);

b) Geométrica (255);

c) Quaternionic (4);

d) Provas baseada em massa e velocidade, Dinâmica (2)

e) Quadrados Mágicos Pitagóricos (5)

Além dessas provas, diversos ramos das Ciências como Física, Astronomia, Engenharia, etc. támbém fazem o uso do Teorema de Pitágoras.

Citemos também que, por meio das Fórmulas de Euclides, podem ser gerados infinitos Ternos Pitagóricos e que fazem relação direta com o Teorema de Pitágoras.

O Quadrado Mágico é um dispositivo numérico formado por um quadrado quadriculado em que números são dispostos obdecendo certa ordem de tal maneira que a soma de cada uma das linhas horizontais, verticais ou cada uma das diagonais tenha sempre o mesmo resultado que é chamada de Constante Mágica.

Quanto a sua estrutura quadricular, isto é, a matriz onde é construído, o Quadrado Mágico pode ser classificado por ordem:

a) Ordem 3 ou 3x3(3 linhas x 3 colunas = 9 células);

b) Ordem 4 ou 4x4 (4 linhas x 4 colunas = 16 células);

c) Ordem 5 ou 5x5 (5 linhas x 5 colunas = 25 células) e assim por diante.

Quadrado Mágico 3x3

O Quadrado Mágico Lo-Shu tem como origem na antiga civilização chinesa e aparece documentado no Livro Os 9 capítulos da arte matemática no texto Shu Shu Shi Yu.

Posteriormente foi transcrito para o sistema de numeração indo-arábico e se apresenta desta forma.

quadrado mágico Lo Shu e o quadrado mágico 3x3 indo-arábico

Quatro são as características principais: sequência numérica, disposição dos números, a Costante Mágica e a Soma dos Termos para se elaborar um Quadrado Mágico Perfeito.

O Quadrado Mágico de 3x3 ou de ordem 3 apresentam também as seguintes propriedades:

a) a Constante Mágica (15) é o triplo do terno central (5);

b) a Constante Mágica (15) é múltiplo de 3;

c) a Soma dos Termos (45) é 3 vezes a Constante Mágica (15).

d) a Soma dos Teros (45) é 9 vezes o termo central (5);

e) a Soma do Termos (45) é 13 vezes a ordem 3;

f) a soma dos números dos vértices ( 2, 6, 8 ,4) é 4 vezes o termo central (5);

g) a soma dos números centrais das laterais (7, 1, 3, 9 ) é 4 vezes o termo central (5);

h) a soma de dois números dos vértices (2, 8) ou (6,4) é 2 vezes o termo central (5);

i) a soma de dois números centrais das laterais (1, 9) ou (3, 7 ) é 2 vezes o termo central (5);

Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 podem ser permutados dentro do quadriculado 362.880 vezes, mas apenas 8 combinações resultam em Quadrados Mágicos e dentre as 8 combinações, 7 Quadrados Mágicos são variações por rotação ou reflexão dos elementos.

Todas estas características do Quadrado Mágico estão fundamentadas nas propriedades de Progressão Aritmética Finita e neste exemplo foram utilizados os 9 primeiros números naturais.

Infinitos Quadrados Mágicos podem ser produzidos com infinitas Progressões Artiméticas Finitas.

Tipos de Quadrados Mágicos

Quadrado Mágico Puro / Normal / Fundamental

É o Quadrado Mágico formado pelos primeiros números inteiros de 1 a n2.

O Quadrado Mágico 3 x 3 transcrito do Quadrado Mágico Lo-Shu é um exemplo de Quadrado Mágico Puro.

Quadrado Mágico Derivado

Somando-se ou subtraindo-se um número constante a cada termo do Quadrado Mágico Puro, obtem-se um Quadrado Mágico Derivado.

Quadrado Mágico composto

Por exemplo, a partir do Quadrado Mágico de ordem 3, somando-se oito constantes distintas de cada vez, obtêm-se 8 novos Quadrados Mágicos que justapondo-se ao Quadrado Mágico de ordem 3 forma-se um quadro mágico maior 9x9 ou de ordem 9.

Quadrado Mágico Multiplicativo

Muliplicando-se um número constante a cada termo do Quadrado Mágico Puro, obtem-se um Quadrado Mágico Multiplicativo cuja constante será uma Constante Mágica Multiplicativa.

Quadrados Bimágicos

Várias são as possibilidades, características e variáveis matemáticas bem como métodos diversos de se ordenar números para se construirem Quadrados Mágicos, no exemplo acima, o Milenar Menor Quadrado Mágico do Mundo, o Lo-Shu.

Eis que em 1890, há 120 anos atrás,  Georges Pfeffermann, alemão naturalizado francês criou o primeiro Quadrado Bimágico de ordem 8.

Quadrado Bimágico é um quadrado que permanece mágico depois que seus números forem elevados ao quadrado e que posteriormente somados cada uma das linhas horizontais, verticais e diagonais tenham como resultado uma Constante Mágica.

Quadrado P-Multimágico é um quadrado que permanece mágico depois que seus números forem elevados a qualquer potência e que posteriormente somados cada uma das linhas horizontais, verticais e diagonais tenham como resultado uma Constante Mágica.

Quadrado Mágico de ordem 8 de Georges Pfeffermann

                260
56 34 8 57 18 47 9 31 260
33 20 54 48 7 29 59 10 260
26 43 13 23 64 38 4 49 260
19 5 35 30 53 12 46 60 260
15 25 63 2 41 24 50 40 260
6 55 17 11 36 58 32 45 260
61 16 42 52 27 1 39 22 260
44 62 28 37 14 51 21 3 260
260 260 260 260 260 260 260 260 260

Fonte: www.multimagie.com

Quadrado Bimágico de ordem 8 (quadrado de quadrado) de Georges Pfeffermann elevando-se cada número do Quadrado Mágico acima ao quadrado.

                11180
3136 1156 64 3249 324 2209 81 961 11180
1089 400 2916 2304 49 841 3481 100 11180
676 1849 169 529 4096 1444 16 2401 11180
361 25 1225 900 2809 144 2116 3600 11180
225 625 3969 4 1681 576 2500 1600 11180
36 3025 289 121 1296 3364 1024 2025 11180
3721 256 1764 2704 729 1 1521 484 11180
1936 3844 784 1369 196 2601 441 9 11180
11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180

Fonte: www.multimagie.com

Tipos de Quadrados Multimágicos

Após este feito do Sr.  Georges Pfeffermann, nomenclaturas foram criadas para melhor classificarem Quadrados Multimágicos:

- Bimagic

- Trimagic

- Tetramagic

- Pentamagic

- Hexamagic

- Highly multimagic

- Magic squares of squares

- Squares of cubes

- Squares of 6th, of 7th powers

- Squares of triangular & polyg nbs

- Smallest bimagic square

- Smallest trimagic square

- Smallest tetramagic square

- Smallest pentamagic

- Bimagic squares

- Bi-trimagic squares

- Pandiagonal bi-trimagic squares

- Bimagic squares of primes

Fonte: www.multimagie.com

Como vemos, a partir do Quadrado Mágico Lo-Shu, novos tipos foram surgindo e sendo criados conforme caractéristicas comuns de suas contruções e formações.

E ainda mais intrigante e interessante, é que até os dias atuais, não se conseguiu criar um Quadrado Mágico Perfeito ao quadrado de ordem 3 x 3 (Bimágico).

Este e outros problemas matemáticos não resolvidos relacionados a Quadrados Mágicos continuam em aberto esperando soluções, e melhor, quem os resolver poderá ganhar prêmios em dinheiro (Euros).

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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