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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e números primos - 172

Não existe até o momento uma fórmula "universal" para se gerar a sequência de números primos, o que existe são várias fórmulas que geram determinada sequência de números primos.

quadrados mágicos e números primos

Podemos por exemplo, através da fórmula 2N - 1, gerar Números de Mersenne, os Números de Mersenne são potências de base 2 menos 1 unidade, fórmula esta que pode gerar tantos números primos como não primos.

Números de Mersenne
   
N Decimal
  2N - 1
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
7 127
8 255
9 511
10 1.023
11 2.047
12 4.095
13 8.191

A diferença entre números primos

A tabela apresenta os primeiros 50 números primos com diferença entre um e outro, percebe-se que as diferenças não são constantes, ora é 2, ora é 4, ora é 6, ora é 8, aumenta, diminui e é justamente esta inconsistência que não permite prever qual será um próximo número primo.

Diferença entre números primos
   
Números Primos Diferença
2 1
3 2
5 2
7 4
11 2
13 4
17 2
19 4
23 6
29 2
31 6
37 4
41 2
43 4
47 6
53 6
59 2
61 6
67 4
71 2
73 6
79 4
83 6
89 8
97 4
101 2
103 4
107 2
109 4
113 14
127 4
131 6
137 2
139 10
149 2
151 6
157 6
163 4
167 6
173 6
179 2
181 10
191 2
193 4
197 2
199 12
211 12
223 4
227

Mas será que a sequência de números primos é tão irregular?

Quadrados Mágicos

Quadrado Mágicos são dispositivos numéricos formados por linhas e colunas de números dispostos em determinada ordem em que a soma de cada linha, colunas e cada diagonal apresentam um mesma soma que é denominada de Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos são classificados conforme quantidade de linhas e colunas formando células, podendo ser de 3 x 3 (9 células), 4 x 4 (16 células), 5 x 5 células (25 células) e assim por diante.

Quadrados Mágicos 3x3 com números primos

a) Não é possível obter um quadrado mágico 3x3 com os 9 primeiros números primos.

2 3 5 7 11 13 17 19 23
Quadrado Mágico 3x3 com números primos
        33
       
7 23 5   35
3 11 19   33
17 2 13   32
         
27 36 37   31

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

b) Não é possível obter um Quadrado Mágico 3x3 com os 8 primeiros números primos e também com o número 1

1 3 5 7 11 13 17 19 23
Quadrado Mágico 3x3 com números primos
  33
         
7 23 5   35
3 11 19   33
17 1 13   31
         
27 35 37   31

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

c) Não é possível obter Quadrados Mágicos 3x3 com grupos de números primos que tem entre eles razões diferentes, mesmo aplicando o Método da Rotação de linhas e colunas para mudá-los de posições.

Exemplo 1)

2 7 13 31 37 43 61 67 73
5 6 18 6 6 18 6 6
Quadrado Mágico 3x3 com números primos
111
         
31 73 13   117
7 37 67   111
61 2 43   106
         
99 112 123 111

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Nos exemplos abaixo, houve rotação da disposição dos números

Exemplo 2)

Quadrado Mágico 3x3 com números primos
111
         
31 67 13   111
2 37 73   112
61 7 43   111
         
94 111 129   111

Exemplo 3)

Quadrado Mágico 3x3 com números primos
111
         
2 61 7   70
31 37 43   111
67 13 73   153
         
100 111 123 112

Exemplo 4)

Quadrado Mágico 3x3 com números primos
  112
 
7 61 2   70
31 37 43   111
73 13 67   153
         
111 111 112   111

Quadrado Semi-Mágico 3x3 - Henry Ernest Dudeney

Segundo o site: http://www.multimagie.com a primeira pessoa a produzir um Quadrado Mágico de ordem 3 com Números Primos foi Henry Ernest Dudeney, em 1900. Escritor e matemático inglês especializado em quebra-cabeças lógicos e jogos matemáticos.

Foi Henry Ernest Dudeney que criou o quebra-cabeças: Triângulo equilátero que se transforma em quadrado, semelhante ao Tangram.

011-estudos-116-triangulo-inscrito-em-um-quadrados

No Quadrado Mágico de Henry Ernest Dudeney aparece o número 1 como primo, pois naquela época, 1900, o número 1 era considerado um número primo.

Alguns autores consideram o quadrado como semi-mágico.

Quadrado Semi-Mágico 3x3 formado por 3 progressões aritméticas de 3 números primos com razão de 6 unidades e entre os grupos razão de 18.

O número 1 não sendo primo, colabora para realização do Quadrado Semi-Mágico.

1 7 13 31 37 43 61 67 73
6 6 18 6 6 18 6 6

Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.

Somas de cada linha: 111

Soma de cada coluna: 111

Somas de cada diagonal: 111

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante mágica 111
111
       
67 1 43   111
13 37 61   111
31 73 7   111
       
111 111 111 111

Fonte: http://www.multimagie.com

Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.

Quadrado Mágico 3x3 - números primos- constante mágica 111
111
       
43 61 7   111
1 37 73   111
67 13 31   111
       
111 111 111 111

Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

Observação:

Quadrado Mágico segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, porém as somas não são constantes.

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante mágica 111
111
       
43 73 7   123
13 37 61   111
67 1 31   99
       
123 111 99 111

O Sr. Dudeney, suponho, deve ter feito a partir do número 1 e somado constantemente o número 6 (razão) e obtido as três progressões aritméticas.

A razão de cada sequência é 6.

A razão entre cada conjunto é 18.

(1, 7, 13) , (31, 37, 43), (61, 67, 73)

  1
primo 7
primo 13
primo 19
  25
primo 31
primo 37
primo 43
  49
  55
primo 61
primo 67
primo 73
primo 79
  85
  91
primo 97

A partir da tabela acima, incluiu-se o número 1 e permutaram alguns números e os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não é uma constante.

exemplo 1

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante 117
  117
31 73 13 117
19 37 61 117
67 7 43 117
 
117 117 117 111

exemplo 2

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante 213
  213
   
67 109 37 213
43 73 97 213
103 31 79 213
 
213 213 213 219

Quadrado Mágico ordem 3 - Harry A. Sayles

No Quadrado Mágico de Harry A. Sayles não aparece o número 1, publicado em 1918, na revista The Monist, página 142, afirma o site: http://www.multimagie.com que é o menor quadrado de ordem 3 com números primos.

A razão de cada sequência é 12.

A razão entre cada conjunto é 18.

(5, 17, 29) , (47, 59, 71), (89, 101, 113)

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante mágica 117
177
 
71 5 101 177
89 59 29 177
17 113 47 177
       
177 177 177 177

Fonte: http://www.multimagie.com

primo 5
primo 11
primo 17
primo 23
primo 29
  35
primo 41
primo 47
primo 53
primo 59
  65
primo 71
  77
primo 83
primo 89
  95
primo 101
primo 107
primo 113

A partir da tabela acima permutou-se alguns números e os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não era uma constante.

exemplo 1

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante 165
165
 
41 113 11 165
17 47 101 165
107 5 53 165
       
165 165 165 141

exemplo 2

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante 177
177
 
47 113 17 177
23 53 101 177
107 11 59 177
       
177 177 177 159

exemplo 3

Quadrado Mágico 3x3 - números primos- constante 183
183
 
47 113 23 183
29 53 101 183
107 17 59 183
       
183 183 183 159

 

Quadrado Mágico de ordem 3 - primos: 31, 37, 43, 47, 53, 59, 67, 73 e 79

Sequência formada por 3 grupos, com razões diferentes entre os termos e os grupo.

31 37 43   47 53 59   67 73 79
6 6 4 6 6 8 6 6

Não foi possível formar um quadrado mágico.

Quadrado Mágico 3x3 - números primos - constante 163
163
       
47 79 37   163
43 53 67   163
73 31 59   163
       
163 163 163 159

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - primos: 5, 11, 17, 41, 47, 53, 101, 107, 113

Sequência formada por 3 grupos, com razão de 6 entre os termos e razões diferentes entre os grupos.

5 11 17 41 47 53 101 107 113
6 6 24 6 6 48 6 6

Não foi possível formar um quadrado mágico.

Quadrado Mágico 3x3 - números primos- constante 165
165
       
41 113 11   165
17 47 101   165
107 5 53   165
       
165 165 165 141

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico de ordem 4 - primos: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 73.

e) Quadrado Mágico 4x4 com sequência de números primos em que as razões não são constantes.

3 5 7 11 13 17 19 23 29
2 2 4 2 4 2 4 6
31 37 41 43 61 67 73    
6 4 2 18 6 6    

Soma de cada linha: 120

Soma de cada coluna: 120

Somas de cada diagonal: 120

Interessante observar que nesta configuração em que os números estão dispostos tem como resultado um Quadrado Mágico...

Quadrado Mágico 4x4- números primos- constante mágica 120
120
           
3 61 19 37   120
43 31 5 41   120
7 11 73 29   120
67 17 23 13   120
   
120 120 120 120 120

Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

...enquanto no Método de Moschopoulos em que os números foram permutados nos extremos da diagonais prinicipais e nas diagonais do sub-quadrado central não se obteve Quadrado Mágico.

1) escreve-se os número em ordem crescente no quadrado 4x4.

Quadrado Mágico 4x4 com números primos
3 5 7 11
13 17 19 23
29 31 37 41
43 61 67 73

2) permuta-se os números nos extremos da diagonais (cor azul) e também nas diagonais do sub-quadrado centra (cor lilás)l.

As somas não são constantes.

Quadrado Mágico Imperfeito 4x4 - com números primos
104
          0
73 5 7 43   128
13 37 31 23   104
29 19 17 41   106
11 61 67 3   142
  0
126 122 122 110 130

Com os exemplos expostos, fica mais um desafio para lidar com os números primos, descobrir sub-sequências de primos que satisfazem as regras de construções de quadrados mágicos, mesmo escolhendo sub-sequências de números primos que contenham uma mesma razão.

Autor: Ricardo Silva maio/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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