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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e números primos - 172

Não existe até o presente momento uma fórmula "geral" para se obter a sequência de números primos, o que existe são fórmulas que geram determinada sequência de números primos.

quadrados mágicos e números primos

Números primos e Números de Mersenne

Podemos por exemplo, através da fórmula 2n - 1, gerar Números de Mersenne.

Os Números de Mersenne são potências de base 2 elevada a número natural subtraída de 1 unidade, fórmula esta que pode gerar tantos números primos como não primos.

3, 7, 31, 127, 2.047, 8.191,... são Números Primos de Mersenne.

15, 63, 255, 511, 1.023,... são números de Mersenne, mas não são primos.

Números de Mersenne
   
n Decimal
  2n - 1
1 1
   
2 3
   
3 7
   
4 15
   
5 31
   
6 63
   
7 127
   
8 255
   
9 511
   
10 1.023
   
11 2.047
   
12 4.095
   
13 8.191

Tabela da diferença entre números primos

A tabela apresenta os 50 primeiros números primos com diferença entre um e outro, percebe-se que as diferenças não são constantes, ora é 2, ora é 4, ora é 6, ora é 8, aumenta, diminuí e é justamente esta inconsistência que não permite prever qual será um próximo número primo.

Diferença entre números primos
   
Números Primos Diferença
   
2 1
3 2
5 2
7 4
11 2
13 4
17 2
19 4
23 6
29 2
31 6
37 4
41 2
43 4
47 6
53 6
59 2
61 6
67 4
71 2
73 6
79 4
83 6
89 8
97 4
101 2
103 4
107 2
109 4
113 14
127 4
131 6
137 2
139 10
149 2
151 6
157 6
163 4
167 6
173 6
179 2
181 10
191 2
193 4
197 2
199 12
211 12
223 4
227

Mas será que a sequência de números primos é tão irregular?

Quadrados Mágicos

Quadrado Mágicos são dispositivos numéricos formados por linhas e colunas com números dispostos em determinada ordem cuja a soma de cada linha, de cada coluna e cada diagonal apresentam um mesma soma que é denominada de Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos são classificados conforme quantidade de linhas e colunas formando células, podendo ser de 3 x 3 (9 células), 4 x 4 (16 células), 5 x 5 células (25 células) e assim por diante.

Quadrados Mágicos 3x3 com números primos

a) Não é possível obter um quadrado mágico 3x3 com os 9 primeiros números primos.

2 3 5 7 11 13 17 19 23
Quadrado Mágico 3x3
com números primos
        33
       
7 23 5   35
3 11 19   33
17 2 13   32
         
27 36 37   31

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

b) Não é possível obter um Quadrado Mágico 3x3 com os 8 primeiros números primos e também com o número 1

1 3 5 7 11 13 17 19 23
Quadrado Mágico 3x3
com números primos
  33
         
7 23 5   35
3 11 19   33
17 1 13   31
         
27 35 37   31

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

c) Não é possível obter Quadrados Mágicos 3x3 com grupos de números primos que possuem entre eles razões diferentes, mesmo aplicando o Método da Rotação de linhas e colunas para mudá-los de posições.

Exemplo 1)

Sequência de Razão
números ímpares  
  (diferença
  entre os
  termos)
   
2  
  5
7  
  6
13  
  18
31  
  6
37  
  6
43  
  18
61  
  6
67  
  6
73  
   
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Quadrado Mágico 3x3
com números primos
111
         
31 73 13   117
7 37 67   111
61 2 43   106
         
99 112 123 111

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Nos exemplos abaixo, houve rotação da disposição dos números.

Exemplo 2)

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
111
         
31 67 13   111
2 37 73   112
61 7 43   111
         
94 111 129   111

Exemplo 3)

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
111
         
2 61 7   70
31 37 43   111
67 13 73   153
         
100 111 123 112

Exemplo 4)

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
  112
 
7 61 2   70
31 37 43   111
73 13 67   153
         
111 111 112   111

Quadrado Semi-Mágico 3x3 de Henry Ernest Dudeney

Segundo o site: http://www.multimagie.com, a primeira pessoa a produzir um Quadrado Mágico de ordem 3 com Números Primos foi Henry Ernest Dudeney, em 1900, escritor e matemático inglês especializado em quebra-cabeças lógicos e jogos matemáticos.

Foi Henry Ernest Dudeney que criou o quebra-cabeças: Triângulo equilátero que se transforma em quadrado, semelhante ao Tangram.

011-estudos-116-triangulo-inscrito-em-um-quadrados

No Quadrado Mágico de Henry Ernest Dudeney aparece o número 1 como primo, pois naquela época, 1900, o número 1 era considerado um número primo.

Alguns autores consideram o quadrado como semi-mágico.

Quadrado Semi-Mágico 3x3 formado por 3 progressões aritméticas de 3 números primos com razão de 6 unidades e entre os grupos razão de 18 unidades.

O número 1 não sendo primo, colabora para realização do Quadrado Semi-Mágico.

Sequência de Razão
números ímpares  
  (diferença
  entre os
  termos)
   
1  
  6
7  
  6
13  
  18
31  
  6
37  
  6
43  
  18
61  
  6
67  
  6
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Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.

Somas de cada linha: 111

Soma de cada coluna: 111

Somas de cada diagonal: 111

Quadrado Mágico 3x3 soma 111

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante mágica 111
111
       
67 1 43   111
13 37 61   111
31 73 7   111
       
111 111 111 111

Fonte: http://www.multimagie.com

Observação: Este Quadrado Mágico não segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, houve rotação dos elementos.

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante mágica 111
111
       
43 61 7   111
1 37 73   111
67 13 31   111
       
111 111 111 111

Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva. [1]

Observação:

Quadrado Mágico segue a disposição numérica do Quadrado Mágico Lo-Shu, porém as somas não são constantes.

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante mágica 111
111
       
43 73 7   123
13 37 61   111
67 1 31   99
       
123 111 99 111

O Sr. Dudeney, suponho, deve ter feito a partir do número 1 e somado constantemente o número 6 (razão) e obtido as três progressões aritméticas.

A razão de cada sequência é 6.

A razão entre cada conjunto é 18.

(1, 7, 13) , (31, 37, 43), (61, 67, 73)

  1
número primo 7
número primo 13
número primo 19
  25
número primo 31
número primo 37
número primo 43
  49
  55
número primo 61
número primo 67
número primo 73
número primo 79
  85
  91
número primo 97

A partir da tabela acima, incluiu-se o número 1 e permutando alguns números, os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não é uma constante.

exemplo 1

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 117
  117
31 73 13 117
19 37 61 117
67 7 43 117
 
117 117 117 111

exemplo 2

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 213
  213
   
67 109 37 213
43 73 97 213
103 31 79 213
 
213 213 213 219

Quadrado Mágico 3x3 de Harry A. Sayles

No Quadrado Mágico de Harry A. Sayles não aparece o número 1, publicado em 1918, na revista The Monist, página 142, afirma o site: http://www.multimagie.com que é o menor quadrado de ordem 3 com números primos.

A razão de cada sequência é 12.

A razão entre cada conjunto é 18.

(5, 17, 29) , (47, 59, 71), (89, 101, 113)

Quadrado Mágico 3x3 soma 177

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante mágica 117
177
 
71 5 101 177
89 59 29 177
17 113 47 177
       
177 177 177 177

Fonte: http://www.multimagie.com

número primo 5
número primo 11
número primo 17
número primo 23
número primo 29
  35
número primo 41
número primo 47
número primo 53
número primo 59
  65
número primo 71
  77
número primo 83
número primo 89
  95
número primo 101
número primo 107
número primo 113

A partir da tabela acima, permutou-se alguns números e os resultados foram Quadrados Mágicos Imperfeitos, pois uma das diagonais a soma não é uma constante.

exemplo 1

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 165
165
 
41 113 11 165
17 47 101 165
107 5 53 165
       
165 165 165 141

exemplo 2

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 177
177
 
47 113 17 177
23 53 101 177
107 11 59 177
       
177 177 177 159

exemplo 3

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 183
183
 
47 113 23 183
29 53 101 183
107 17 59 183
       
183 183 183 159

Quadrado Mágico 3x3 - primos: 31, 37, 43, 47, 53, 59, 67, 73 e 79

Sequência formada por 3 grupos, com razões diferentes entre os termos e os grupos.

Sequência de Razão
números ímpares  
  (diferença
  entre os
  termos)
   
31  
  6
37  
  6
43  
  4
47  
  6
53  
  6
59  
  8
67  
  6
73  
  6
79  
   
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Não foi possível formar um quadrado mágico.

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 163
163
       
47 79 37   163
43 53 67   163
73 31 59   163
       
163 163 163 159

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 soma 165

Sequência formada por 3 grupos, com razão de 6 entre os termos e razões diferentes entre os grupos.

Sequência de Razão
números ímpares  
  (diferença
  entre os
  termos)
   
5  
  6
11  
  6
17  
  24
41  
  6
47  
  6
53  
  48
101  
  6
107  
  6
113  
   
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Não foi possível formar um quadrado mágico.

Quadrado Mágico 3x3
com números primos
constante 165
165
       
41 113 11   165
17 47 101   165
107 5 53   165
       
165 165 165 141

Observação: Quadrado Mágico montado conforme a disposição numérica tradicional do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 4x4 soma 120

e) Quadrado Mágico 4x4 com sequência de números primos em que as razões não são constantes.

Sequência de Razão
números ímpares  
  (diferença
  entre os
  termos)
   
3  
  2
5  
  2
7  
  4
11  
  2
13  
  4
17  
  2
19  
  4
23  
  6
29  
  2
31  
  6
37  
  4
41  
  2
43  
  18
61  
  6
67  
  6
73  
   
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Soma de cada linha: 120

Soma de cada coluna: 120

Somas de cada diagonal: 120

Interessante observar que nesta configuração em que os números estão dispostos tem como resultado um Quadrado Mágico...

Quadrado Mágico 4x4
com números primos
constante mágica 120
120
           
3 61 19 37   120
43 31 5 41   120
7 11 73 29   120
67 17 23 13   120
   
120 120 120 120 120

Fonte: Marques, Jamerson Henriques da Silva [1]

...enquanto no Método de Moschopoulos em que os números foram permutados nos extremos das diagonais prinicipais e nas diagonais do sub-quadrado central não se obteve Quadrado Mágico.

1) escreve-se os números em ordem crescente no quadrado 4x4.

Quadrado Mágico 4x4
com números primos
3 5 7 11
13 17 19 23
29 31 37 41
43 61 67 73

2) permuta-se os números nos extremos da diagonais (cor azul) e também nas diagonais do sub-quadrado central (cor lilás).

As somas não são constantes.

Quadrado Mágico
Imperfeito 4x4
com números primos
104
          0
73 5 7 43   128
13 37 31 23   104
29 19 17 41   106
11 61 67 3   142
  0
126 122 122 110 130

Com os exemplos expostos, fica mais um desafio para lidar com os números primos, descobrir sub-sequências de primos que satisfazem as regras de construções de quadrados mágicos, mesmo escolhendo sub-sequências de números primos que contenham uma constante (razão).

Autor: Ricardo Silva - maio / 2018

Fontes Bibliográficas:

[1] MARQUES, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande –FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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