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Números quadrados perfeitos e a soma de dois números consecutivos - 166

Um outro método para se obterem números quadrados perfeitos é partir da Fórmula de Euclides, fórmula esta utilizada para se gerarem ternos pitagóricos.

Ternos pitagóricos é um sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos quatetos" - (a² = b² + c²), de forma que a soma de dois números inteiros elevados ao quadrado tenha como resultado um outro número quadrado.

Fórmula de Euclides

A Fórmula de Euclides parte do seguinte princípio: escolhendo-se dois números primos entre si, podem ser gerados ternos pitagóricos primitivos.

Números primos entre sim são números que tem como divisor comum o número 1.

Na prática, dois números consecutivos são números primos entre si.

Exemplos:

2 e 3;

3 e 4;

4 e 5, etc.

Ternos pitagóricos primitivos são os que podem gerar outros tipos ternos pitagóricos que são chamados de ternos pitagóricos derivados.

Escolhendo-se tanto números primos entre si quanto números não primos entre si, podemos gerar uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos e derivados sequencialmente.

A partir de dois números naturais m>n e os substituindo na fórmula a seguir, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente o Terno Pitagórico.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Ternos pitagóricos

A tabela apresenta os primeiros 14 ternos pitagóricos primitivos (a-b-c) gerados de sequências de números primos entre si.

Na coluna (a) foram gerados a sequência de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11,... e que são as raízes quadradas da soma do termos (b) e (c)

Nas colunas (b) e (c) foram gerados sequências de números consecutivos: (4,5), (12,13), (24,25),...

Na coluna (b) os números são pares e na coluna (c) ímpares.

Tabela de ternos pitagóricos primitivos

Tabela de ternos pitagóricos primitivos
             
        coluna   coluna coluna 
m n a b
             
2 1 4 1 3 4 5
3 2 9 4 5 12 13
4 3 16 9 7 24 25
5 4 25 16 9 40 41
6 5 36 25 11 60 61
7 6 49 36 13 84 85
8 7 64 49 15 112 113
9 8 81 64 17 144 145
10 9 100 81 19 180 181
11 10 121 100 21 220 221
12 11 144 121 23 264 265
13 12 169 144 25 312 313
14 13 196 169 27 364 365
15 14 225 196 29 420 421

Números quadrados perfeitos ímpares

Uma importante propriedade que se pode extrair dos ternos pitagóricos primitivos é que a soma dos termos (b) e (c) tem como resultado um número quadrado perfeito ímpar gerado pela soma de dois números consecutivos.

Aqui uma ressalva, conforme estudos publicados no livro TERNOS PITAGÓRICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS, só Ternos Primitivos Pitagóricos de Ordem Triangular possuem estas características, pois Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular, Ternos Pitagóricos Primitivos Raros e Ternos Derivados não os possuem.

Raiz     Quadrado
       
a b b + c 
       
3 4 5 9
5 12 13 25
7 24 25 49
9 40 41 81
11 60 61 121
13 84 85 169
15 112 113 225
17 144 145 289
19 180 181 361
21 220 221 441
23 264 265 529
25 312 313 625
27 364 365 729
29 420 421 841

Números quadrados perfeitos pares

Veja que números quadrados perfeitos pares não podem ser obtidos pela soma de dois números consecutivos.

Exemplos:

a) Quadrado 4

2 + 2 = 4

2 + 3 = 5

b) Quadrado 16

8 + 8 = 16

8 + 9 = 17

c) Quadrado 36

18 + 18 = 36

18 + 19 = 37

Autor: Ricardo Silva - maio/2018

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