Terno pitagórico é uma sequência de 3 números inteiros que elevados cada um ao quadrado satisfazem ao Teorema de Pitágoras.
A partir do terno pitagórico primitivo 3, 4 e 5, podemos formar infinitos ternos pitagóricos derivados utilizando fórmulas específicas, Equação do Segundo Grau, como no interessante exemplo a seguir e também através de algumas técnicas e artifícios, simplismente, escolhendo-se quaisquer números múltiplos de 3, de 4 ou de 5.
Veja este interessante problema algébrico extraído do livro TUDO É MATEMÁTICA - 9º ano - Edição de 2011 - do Professor Luiz Roberto Dante - Editora Ática - Capítulo 3 - página 65 - exercício 51, aqui resolvido por meio de equação do 2º grau com o método de Completamento de Quadrado.
"Em um triângulo retângulo as medidas dos seus três lados, em centimetros, são números consecutivos. Use a relação de Pitágoras e descubra quais são essas medidas."
a) termos:
x
x+2
x+4
b) Montagem e resolução:
(x+4)² = x² + (x+2)²
x² + 8x + 16 = x² + x² + 4x + 4
x² + 8x + 16 = 2x² + 4x + 4
x² - 2x² + 8x - 4x + 16 - 4 =
-x² + 4x + 12 = 0 (multiplicando por -1)
x² - 4x - 12 = 0
x² - 4x = + 12
x² - 4x + 4 = + 12 + 4 (completando o quadrado)
(x - 2)² = + 12 + 4 (fatorando o primeiro membro)
(x - 2)² = + 16
x - 2 = ± √ 16
x - 2 = ± 4
x' = + 4 + 2 = 6
x" = - 4 + 2 = -2 (não serve)
c) Resultado
x = 6
x + 2 =
= 6 + 2 = 8
x + 4 =
= 6 + 4 = 10
As medidas dos lados do triângulo retângulo são os pares consecutivos: 6, 8, 10.
6 = cateto menor
8 = cateto maior
10 = hipotenusa
As medidas dos lados do triângulo retângulo do exercício acima é um terno pitagórico derivado de um triângulo retângulo 3, 4 e 5.
Analisemos a tabela:
| Ternos Pitagóricos derivados da sequência 3, 4 e 5 |
||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1ª | 2ª | 3ª | 4ª | 5ª | 6ª | 7ª | 8ª | 9ª | 10ª | |
| cateto menor | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| cateto maior | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| hipotenusa | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
Na 1ª coluna, a sequência que aparece é 3, 4 e 5, com estes valores podemos desenhar um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.
Por ser a primeira sequência da tabela é chamado de terno pitagórico primitivo.
As demais sequências são múltiplos de cada termo do terno primitivo.
A partir da 2ª coluna, as demais sequências são chamadas de ternos pitagóricos derivados, pois derivam da sequência da 1ª coluna.
Algumas características se destacam nos ternos pitagóricos derivados da sequência 3, 4 e 5:
a) 1ª coluna, tem-se 3 números concecutivos: 3, 4 e 5 formando um terno pitagórico, esta sequência forma o menor triângulo retângulo de números inteiros;
observação: a diferença entre cada termo é de uma unidade.
b) 2ª coluna, o terno pitagórico 6, 8 e 10 é formados por pares consecutivos e se destaca entre os demais ternos derivados;
observação: a diferença entre cada termo é de duas unidades.
c) nas colunas ímpares, os ternos pitagóricos são formados por dois números ímpares e um número par;
d) nas colunas pares, os ternos pitagóricos são formados por três números pares.
e) em cada coluna, a diferença entre cada termo de uma sequência de um terno pitagórico é o mesmo número da sequência da coluna.
exemplos:
na primeira coluna, uma unidade é a diferença entre os termos do terno 3, 4 e 5.
na segunda coluna, duas unidades é a diferenças entre os termos do terno 6, 8 e 10.
na terceira coluna, três unidades é a diferença entre os termos do terno 9, 12 e 15.
Os números da sequência 3, 4 e 5 são fáceis de se lembrar, de se recitar e de se escreverem, pois podemos fazer contas utilizando-se dos dedos das mãos ou fazendo cálculos mentalmente, etc.
A partir do terno pitagórico primitivo 3, 4 e 5, escolhendo-se um número qualquer como fator e multiplicando por cada um dos termos do terno, podemos formar um novo terno pitagórico.
Exemplo 4.1)
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
9, 12 e 15 é um terno pitagórico derivado da sequência 3, 4 e 5
A partir de qualquer múltiplo de um dos termos do terno 3, 4, 5, pode-se formar um novo terno pitagórico.
Exemplo 4.2)
27 é um múltiplo de 3, pois:
27 : 3 = 9
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
27, 36 e 45 é um terno pitagórico derivado da sequência 3, 4 e 5
observação: a diferença entre os termos do terno pitagórico é de 9 unidades.
Exemplo 4.3)
44 é múltiplo de 4, pois:
44 : 4 = 11
3 x 11 = 33
4 x 11 = 44
5 x 11 = 55
observação: a diferença entre os termos do terno pitagórico é de 11 unidades.
A partir deste exemplo de exercício extraído de livro didático, percebemos o quão é maravilhosa e instigante a Matemática, através do conceito de números consecutivos e equação de 2º grau, pôde-se determinar três números (desconhecidos) que se relacionam a um dos teoremas mais importantes, que é o Teorema de Pitágoras.
Interessante notar também é que a partir de uma sequência inicial (terno primitivo 3, 4 e 5) consegue-se formar outras sequências de ternos, simplesmente, duplicando, tripicando, quadruplicando,...etc. cada um dos termos do terno primitivo simultaneamente ou escolhendo-se um número qualquer e multiplicando-o por cada um dos termos do terno primitivo.
Como desafio, efetuar a resolução da equação:
(x+4)² = x² + (x+2)²
com a mudança dos termos de lugares:
x² = (x+4)² + (x+2)²
(x+2)² = x² + (x+4)²
Autor: Ricardo Silva - março/2017
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