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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos pitagóricos - 069

Terno pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (b²+c²=a²), isto é, dois números que elevados ao quadrado e depois somados (b²+c²) tem como resultado um número quadrado perfeito (a²) e que depois de extraído a sua raiz o resultado é também um número inteiro.

Neste estudo, elevou-se ao quadrado os primeiros 5000 números naturais e posteriormente somou-os de dois em dois, obtendo 5 ternos pitagóricos com ocorrências aleatórias os quais são apresentados abaixo.

terno pitagorico 3 4 5

Terno pitagórico 3, 4, 5

O clássico terno pitagórico 3, 4 e 5 tem um quê de especial:

a) é um terno pitagórico primitivo, pois a partir dele, podemos gerar ternos pitagóricos derivados, simplesmente multiplicando os seus termos pela sequência dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,...

exemplo a)

3 x 2 = 6

4 x 2 = 8

5 x 2 = 10

6, 8, 10

exemplo b)

3 x 3 = 9

4 x 3 = 12

5 x 3 = 15

9, 12, 15

exemplo c)

3 x 4 = 12

4 x 4 = 16

5 x 4 = 20

12, 16, 20

b) é uma sequência de três números consecutivos e entre eles dois números primos;

3 e 5 são números primos.

c) 3, 4 e 5 é o primeiro terno pitagórico primitivo;

d) 4 é a média aritmética dos três termos;

3 + 4 + 5 = 12

12 : 3 = 4

e) 5 subtraído de 12 é igual a soma dos dois primeiros termos da sequência;

12 - 5 = 7

3 + 4 = 7

f) 4 subtraído de 12 é igual a soma dos dois termos extremos da sequência;

12 - 4 = 8

3 + 5 = 8

g) 3 subtraído de 12 é igual a soma do segundo e terceiro termo da sequência;

12 - 3= 9

4 + 5 = 9

Ternos pitagóricos raros através da soma de dois números quadrados perfeitos

Este método e outros para se obterem ternos pitagóricos se encontram no Livro Digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numericas que demonstra que determinados ternos pitagóricos primitivos formados pela sequência: ímpar-par-ímpar estão relacionados estritamente com a sequência de números triangulares e a sequência de números ímpares, isto é, para cada posição de um número triangular há um terno pitagórico primitivo; e partir de cada número ímpar pode-se formar um terno pitagórico com o seu respectivo número quadrado perfeito ímpar.

Excetuando-se o terno 3-4-5 que é o único terno pitagórico formado por 3 números consecutivos, os demais ternos foram nomeados de TERNOS PRIMITIVOS RAROS pois são formados por dois primeiros termos consecutivos e suas ocorrências são aleatórias semelhante a sequência de números primos.

Interessante observar que os ternos pitagóricos gerados são da seguinte forma: ímpar-par-ímpar e par-ímpar-par, sendo que os primeiro e segundo termos são números consecutivos.

A partir de uma tabela, como no modelo abaixo, na coluna NÚMEROS, foram inseridos os números naturais, na coluna QUADRADOS, os respectivos quadrados perfeitos de cada número natural.

Na coluna SOMA DE 2 QUADRADOS obteve-se a soma de 2 números quadrados pefeitos da seguinte forma:

exemplo a)

O resultado 25 é soma dos quadrados 9 + 16

A raiz quadrada de 25 é 5

exemplo b)

O resultado 841 é a soma dos quadrados 400 + 441

A raiz quadrada de 841 é 29

Ternos pitagóricos primitivos raros

São ternos pitagóricos que possuem dois termos consecutivos.

Terno pitagórico 3, 4 e 5

O primeiro terno pitagórico a aparecer na tabela é 3, 4 e 5, este terno por excelência é o único terno formado por três números consecutivos.

Terno pitagórico 20, 21 e 29

Segundo terno pitagórico raro a aparecer é 20, 21 e 29

A raiz quadrada de 841 é 29

20 e 21 são números consecutivos

TERNOS PITAGÓRICOS
       
NÚMEROS
QUADRADOS
SOMA DE
2
QUADRADOS
RAIZ
QUADRADA
3
9
25
5,00
4
16
 
 
 
20
400
841
29,00
21
441

Terno pitagórico 119, 120 e 169

Terceiro terno pitagórico raro a aparecer 119, 120 e 169

A raiz quadrada de 28.561 é 169

119 e 120 são números consecutivos

TERNOS PITAGÓRICOS
       
NÚMEROS
QUADRADOS
SOMA DE
2
QUADRADOS
RAIZ
QUADRADA
119
14.161
28.561
169,00
120
14.400

Terno pitagórico 696, 697 e 985

Quarto terno pitagórico raro a aparecer 696, 697 e 985

A raiz quadrada de 970.225 é 985

696 e 697 são números consecutivos

TERNOS PITAGÓRICOS
       
NÚMEROS
QUADRADOS
SOMA DE
2
QUADRADOS
RAIZ
QUADRADA
696
484.416
970.225
985,00
697
485.809
973.013
986,41

Terno pitagórico 4059, 4060 e 5741

Quinto terno pitagórico primitivo raro 4059, 4060 e 5741

A raiz quadrada de 32.959.081 é 5741

4059 e 4060 são números consecutivos

TERNOS PITAGÓRICOS
       
NÚMEROS
QUADRADOS
SOMA DE
2
QUADRADOS
RAIZ
QUADRADA
4059
16.475.481
32.959.081
5741,00
4060
16.483.600
   

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2017

 

 

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* Ensina a formar terno pitagórico sem o uso da Fórmula de Euclides, simplesmente escolhendo um determinado número.

* Ensina a formar ternos pitagóricos através de números ímpares.

* Ensina a formar ternos pitagóricos através de números múltiplos de 4.

* Aprenderá a deduzir como um terno primitivo ou derivado foi formado, observando as posições dos seus termos.

* e também a ocorrência de números primos nos termos de um terno pitagórico.

 

 

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