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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos pitagóricos - 069

Terno pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (b²+c²=a²), isto é, dois números que elevados ao quadrado e depois somados (b²+c²) tem como resultado um número quadrado perfeito (a²) e que depois de extraído a sua raiz o resultado é também um número inteiro.

Neste estudo, elevou-se ao quadrado os primeiros 5000 números naturais e posteriormente somou-os de dois em dois, obtendo 5 ternos pitagóricos com ocorrências aleatórias os quais são apresentados abaixo.

terno pitagorico 3 4 5

Terno pitagórico primitivo 3, 4, 5

O clássico terno pitagórico 3, 4 e 5 tem um quê de especial:

a) é um terno pitagórico primitivo, pois a partir dele, podemos gerar ternos pitagóricos derivados, simplesmente multiplicando os seus termos pela sequência dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5,...

exemplo a)

3 x 2 = 6

4 x 2 = 8

5 x 2 = 10

6, 8, 10

exemplo b)

3 x 3 = 9

4 x 3 = 12

5 x 3 = 15

9, 12, 15

exemplo c)

3 x 4 = 12

4 x 4 = 16

5 x 4 = 20

12, 16, 20

b) é uma sequência de três números consecutivos e entre eles dois números primos;

3 e 5 são números primos.

c) 3, 4 e 5 é o primeiro terno pitagórico primitivo;

d) 4 é a média aritmética dos três termos;

3 + 4 + 5 = 12

12 : 3 = 4

e) 5 subtraído de 12 é igual a soma dos dois primeiros termos da sequência;

12 - 5 = 7

3 + 4 = 7

f) 4 subtraído de 12 é igual a soma dos dois termos extremos da sequência;

12 - 4 = 8

3 + 5 = 8

g) 3 subtraído de 12 é igual a soma do segundo e terceiro termo da sequência;

12 - 3= 9

4 + 5 = 9

Ternos pitagóricos primitivos

Ternos pitagóricos primitivos são ternos gerados a partir de dois número primos entre si e que podem gerar ternos pitagóricos derivados.

Este método e outros para se obterem ternos pitagóricos se encontram no Livro Digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numericas que demonstra que determinados ternos pitagóricos primitivos formados pela sequência: ímpar-par-ímpar estão relacionados estritamente com a sequência de números triangulares e a sequência de números ímpares, isto é, para cada posição de um número triangular há um terno pitagórico primitivo; e que também de cada número ímpar pode-se formar um terno pitagórico com o seu respectivo número quadrado perfeito ímpar.

Excetuando-se o terno pitagórico primitivo 3-4-5 que é o único terno pitagórico formado por 3 números consecutivos, os demais ternos foram nomeados de TERNOS PRIMITIVOS RAROS pois são formados por dois primeiros termos consecutivos e suas ocorrências são aleatórias semelhante a sequência de números primos.

Interessante observar que os ternos pitagóricos gerados são da seguinte forma: ímpar-par-ímpar e par-ímpar-par, sendo que os primeiro e segundo termos são números consecutivos.

A partir de uma tabela, como no modelo abaixo, na coluna NÚMEROS, foram inseridos os números naturais, na coluna QUADRADOS, os respectivos quadrados perfeitos de cada número natural.

Na coluna SOMA DE 2 QUADRADOS obteve-se a soma de 2 números quadrados pefeitos da seguinte forma:

exemplo a)

O resultado 25 é soma dos quadrados 9 + 16

A raiz quadrada de 25 é 5

exemplo b)

O resultado 841 é a soma dos quadrados 400 + 441

A raiz quadrada de 841 é 29

Ternos pitagóricos primitivos raros

São ternos pitagóricos que possuem dois termos consecutivos.

Terno pitagórico 3, 4 e 5

O primeiro terno pitagórico a aparecer na tabela é 3, 4 e 5, este terno por excelência é o único terno formado por três números consecutivos.

Terno pitagórico 20, 21 e 29

Segundo terno pitagórico raro a aparecer é 20, 21 e 29

A raiz quadrada de 841 é 29

20 e 21 são números consecutivos

Ternos Pitagóricos
       
    soma raiz
números quadrados 2 quadrados quadrada
       
3 9 25 5,00
4 16    
       
20 400 841 29,00
21 441    

Terno pitagórico 119, 120 e 169

Terceiro terno pitagórico raro a aparecer 119, 120 e 169

A raiz quadrada de 28.561 é 169

119 e 120 são números consecutivos

Ternos Pitagóricos
       
    soma raiz
números quadrados 2 quadrados quadrada
       
119 14.161 28.561 169,00
120 14.400    

Terno pitagórico 696, 697 e 985

Quarto terno pitagórico raro a aparecer 696, 697 e 985

A raiz quadrada de 970.225 é 985

696 e 697 são números consecutivos

Ternos Pitagóricos
       
    soma raiz
números quadrados 2 quadrados quadrada
       
696 484.416 970.225 985,00
697 485.809    

Terno pitagórico 4059, 4060 e 5741

Quinto terno pitagórico primitivo raro 4059, 4060 e 5741

A raiz quadrada de 32.959.081 é 5741

4059 e 4060 são números consecutivos

Ternos Pitagóricos
       
    soma raiz
números quadrados 2 quadrados quadrada
       
4059 16.475.481 32.959.081 5741,00
4060 16.483.600    
Desafio ao visitante

O Web-Site Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de construir um triângulo pitagórico inscrito numa circunferência somente com régua não graduada e compasso semelhante ao triângulo retângulo de 30, 60 e 90 graus para ser publicado na Seção Texto do WebSite.

 

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sobre construções de triângulos.

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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