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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Teorema de Pitágoras e os formatos de papel DIN - 096

O Papel

Nos dias de hoje, para a fabricação de papel, são utilizados para a obtenção de celulose duas espécies de árvores: o eucalípto e o pinheiro.

Ao longo da história foram utilizados muitos outros tipos materiais para se fabricar papel, os egípcios utilizavam o papiro; os chineses fabricavam papel a partir de fibras vegetais, trapos e bambu; os italianos faziam uso do algodão e linho.

Por volta de 1.450, Gutemberg, após várias experiências, desenvolveu os tipos móveis de metal, com os quais podiam compor textos e livros e posteriormente imprimí-los em prensas com maior rapidez do que textos e livros produzidos por copistas, pois até então, todos os textos e livros eram escritos (copiados) um a um nos mosteiros e conventos.

Esse processo de se produzir texto e livros com maior rapidez deu origem a imprensa e paralelamente com ela o surgimento de oficinas que fabricavam papéis nas mais variadas medidas e tipos, pois até então não se tinham pradronização das medidas de folha de papel.

Visando a economia e a racionalização tanto da fabricação e da mão de obra utilizada no setor gráfico, em 1911, a DIN - Deustshe Industrie Normunque (Associação de Engenheiros Alemães) criou um formato padrão de papel, baseado no sistema métrico, o formato "DIN" ou "formato internacional".

Este formato tem como característica a divisão harmônica da folha de papel, de forma que quando dividida ou dobrada a folha tenha sempre a mesma proporção, isto é, cada formato (folha) é a metade da anterior e o dobro da seguinte.

O que será apresentado a seguir, são demostrações de como o Teorema de Pitágoras foi utilizado para se desenvolver este "Formato Padrão de Papel" e que nós o utilizamos muito no nosso dia-dia o (Formato A4) quando vamos a uma papelaria para comprá-lo, ou quando precisamos tirar uma xerox de um documento em uma Copiadora, ou mesmo quando imprimimos algo em uma impressora de mesa, seja ela uma impressora jato-de-tinta ou laser.

O Teorema de Pitágoras e o triângulo retângulo

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados do catetos.

a²=b²+c²

Podemos demostrar o teorema, com o famoso triângulo retângulo 3, 4 e 5

triângulo retângulo

O Teorema de Pitágoras e a diagonal de um quadrado

Traça-se uma diagonal entre dois vértices opostos, de forma que obtemos dois triângulos retângulos cujos catetos têm as mesmas medidas.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto de um lado por √2.

diagonal do quadrado

O quadrado de lado 1

Aplicando o Teorema de Pitágoras em um quadrado cujos lados medem 1, temos a diagonal como resultado: 1,4142

quadrado de lado um

O retângulo originado de um quadrado de lado 1

retângulo originado de um quadrado

A partir de um quadrado de lado 1, traça-se uma diagonal, com o centro no canto esquerdo inferior, traça-se um arco de circunferência até a base do quadrado e finalmente prolonga-se o lado direito do quadrado formando-se um retângulo.

Este retângulo construído a partir de um quadrado de lado 1, é um retângulo especial, conhecido por: retângulo dinâmico, retângulo de √2, pois através deste retângulo podemos obter outros retângulos menores e proporcionais.

A divisão do retângulo dinâmico

Traçando-se um diagonal e dividindo os retângulos sempre ao meio, obtemos vários outros retângulos menores e proporcionais.

Perceba-que a diagonal (linha vermelha) toca os dois vértices do retângulo maior e do retângulo menor e um dos vértices de cada retângulo menor a partir do retângulo 2.

Estas divisões são infinitas e da mesma forma podemos aumentar o número de retângulos dobrando as medidas de suas larguras e alturas.

Perceba também que cada retângulo dividido a partir do retângulo maior, é a metade do anterior e o dobro do seguinte.

divisão de um triângulo dinâmico

A proporcionalidade no retângulo dinâmico

Para provar a proporcionalidade no retângulo dinâmico, sobrepondo cada retângulo menor sobre cada retângulo maior, a diagonal cruza os vértices opostos de cada um dos retângulos.

Fazendo uso da regra de 3 entre dois retângulos, verifica-se que os seus lados são proporcionais um ao outro.

Exemplo:

dimensões do retângulo amarelo: 1 x 1,4142

dimensões do retângulo cinza 1: 0,5 x 0,7071

Aplicando a regra de 3:

1
___
1,4142
0,5
___
x
x
1,4142 . 0,5
    __________
1
x
0,7071
    __________
1
x
0,7071
proporcionalidade no triãngulo dinâmico

Retângulo originado de quadrado de lado 841

Aplicando o Teorema de Pitágoras em um quadrado de lado 841, temos como resultado a medida da diagonal: 1189

retângulo originado de um quadrado

Formatos de papéis originado de um retângulo 841 x 1189 (A0)

Traçando-se um diagonal e dividindo os retângulos sempre ao meio, obtemos vários outros retângulos menores e proporcionais.

formatos de papel DIN

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

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