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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Teorema de Pitágoras e os formatos de papel DIN - 096

O Papel

Nos dias de hoje, para a fabricação de papel, são utilizados para a obtenção de celulose duas espécies de árvores: o eucalípto e o pinheiro.

Ao longo da história foram utilizados muitos outros tipos materiais para se fabricar papel, os egípcios utilizavam o papiro; os chineses fabricavam papel a partir de fibras vegetais, trapos e bambu; os italianos faziam uso do algodão e linho.

Por volta de 1.450, Gutemberg, após várias experiências, desenvolveu os tipos móveis de metal, com os quais podiam compor textos e livros e posteriormente imprimí-los em prensas com maior rapidez do que textos e livros produzidos por copistas, pois até então, todos os textos e livros eram escritos (copiados) um a um nos mosteiros e conventos.

Esse processo de se produzir texto e livros com maior rapidez deu origem a imprensa e paralelamente com ela o surgimento de oficinas que fabricavam papéis nas mais variadas medidas e tipos, pois até então não se tinham pradronização das medidas de folha de papel.

Visando a economia e a racionalização tanto da fabricação e da mão de obra utilizada no setor gráfico, em 1911, a DIN - Deustshe Industrie Normunque (Associação de Engenheiros Alemães) criou um formato padrão de papel, baseado no sistema métrico, o formato "DIN" ou "formato internacional" de papel.

Este formato tem como característica a divisão harmônica da folha de papel, de forma que quando dividida ou dobrada a folha tenha sempre a mesma proporção, isto é, cada formato (folha) é a metade da anterior e o dobro da seguinte.

O que será apresentado a seguir, são demostrações de como o Teorema de Pitágoras foi utilizado para se desenvolver este "Formato Padrão de Papel" e que nós o utilizamos muito no nosso dia-dia o (Formato A4) quando vamos a uma papelaria para comprá-lo, ou quando precisamos tirar uma xerox de um documento em uma Copiadora, ou mesmo quando imprimimos algo em uma impressora de mesa, seja ela uma impressora jato-de-tinta ou laser.

O Teorema de Pitágoras e o triângulo retângulo

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados do catetos.

a² = b² + c²

Podemos demostrar o teorema, com o famoso triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5.

triângulo retângulo 3-4-5

O Teorema de Pitágoras e a diagonal de um quadrado

Traça-se uma diagonal entre dois vértices opostos, de forma que obtemos dois triângulos retângulos cujos catetos têm as mesmas medidas.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto de um lado por √2.

diagonal do quadrado

O quadrado de lado 1

Aplicando o Teorema de Pitágoras em um quadrado cujos lados medem 1, temos a diagonal como resultado o número irracional 1,4142.

diagonal do quadrado de lado 1

O retângulo originado de um quadrado de lado 1

retângulo originado de quadrado de lado 1

A partir de um quadrado de lado 1, traça-se uma diagonal, com o centro no canto esquerdo inferior, traça-se um arco de circunferência até a base do quadrado e finalmente prolonga-se o lado direito do quadrado formando-se um retângulo.

Este retângulo construído a partir de um quadrado de lado 1, é um retângulo especial, conhecido por: retângulo dinâmico, retângulo de √2, pois através deste retângulo podemos obter outros retângulos menores e proporcionais.

A divisão do retângulo dinâmico

Traçando-se um diagonal e dividindo os retângulos sempre ao meio, obtemos vários outros retângulos menores e proporcionais.

Perceba-que a diagonal (linha vermelha) toca os dois vértices do retângulo maior e do retângulo menor e um dos vértices de cada retângulo menor a partir do retângulo 2.

Estas divisões são infinitas e da mesma forma podemos aumentar o número de retângulos dobrando as medidas de suas larguras e alturas.

Perceba também que cada retângulo dividido a partir do retângulo maior, é a metade do anterior e o dobro do seguinte.

divisão do retângulo dinâmico

A proporcionalidade no retângulo dinâmico

Para provar a proporcionalidade no retângulo dinâmico, sobrepondo cada retângulo menor sobre cada retângulo maior, a diagonal cruza os vértices opostos de cada um dos retângulos.

Fazendo uso da regra de 3 entre dois retângulos, verifica-se que os seus lados são proporcionais um ao outro.

Exemplo:

dimensões do retângulo amarelo: 1 x 1,4142

dimensões do retângulo cinza 1: 0,5 x 0,7071

Aplicando a regra de 3:

1 ___ 1,4142
0,5 ___ x
x 1,4142 . 0,5
    __________
1
x 0,7071
    __________
1
x 0,7071
proporcionalidade no retângulo dinâmico

 

Retângulo originado de quadrado de lado 841

Aplicando o Teorema de Pitágoras em um quadrado de lado 841, temos como resultado a medida da diagonal: 1189

retângulo originado de quadrado de lado 841

Formatos de papéis originado de um retângulo 841 x 1189 (A0)

Traçando-se um diagonal e dividindo os retângulos sempre ao meio, obtemos vários outros retângulos menores e proporcionais.

formatos de papéis série A

Autor: Ricardo Silva - novembro/2014

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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