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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos pitagóricos e números primos - 165

Terno Pitagórico, Tripla Pitagórica ou simplismente Trinca Pitagórica é um conjunto de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) - "O quadrado da hipotenusa é ígual a soma dos quadrados dos quatetos".

Elevando-se dois números inteiros ao quadrado e depois somados, o resultado dever ser é um número quadrado cuja raiz quadrada tem que ser também um número inteiro.

Classificação de ternos pitagóricos

Um estudo sistemático publicado no livro TERNOS PITAGÓRICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS demonstram interessantes propriedades, regularidades e padrões numéricos com as sequências dos termos pitagóricos utilizando a Fórmula de Euclides.

Duas das principais descobertas relatadas no livro são as relações dos números triangulares com a sequência dos ternos pitagóricos e os números multiplos de 4.

Destas relações foram possíveis elaborar dois algoritmos distintos para se gerarem ternos pitagóricos a partir de um número múltiplo de 4.

Foram gerados cerca de 1000 ternos pitagóricos, e num primeiro momento, para melhor estudá-los, eles foram classificados conforme o tipo de regularidade que cada grupo apresentava, e assim, foram categorizados:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;

c) Ternos Pitagorícos Derivados Pares;

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;

e) Ternos Pitagóricos Raros.

Fórmula de Euclides

Utilizando a Fórmula de Euclides com números primos entre si e números não primos entre si, podem-se gerar ternos pitagóricos primitivos e derivados sequencialmente.

Escolhendo-se dois números naturais m>n e os substituindo na fórmula a seguir, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente o Terno Pitagórico.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Números primos e ternos pitagóricos

A presente tabela foi gerada a partir de números primos entre si onde temos os primeiros 14 ternos pitagóricos de ordem triangular, onde se constatam as seguintes regularidades:

a) sendo uma unidade de diferença entre os números entre si, a coluna (a) têm como resultados a sequência de números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11,... e entre eles, ocorrências de números primos: 3, 5, 7, 11, 13, 17,...;

b) o segundo termo de um Terno Primitivo de Ordem Triangular é um número par;

c) os terno pitagóricos (3, 4 e 5) e (5, 12 e 13) são os únicos ternos com a ocorrência do número primo 5.

d) nos ternos cujo primeiro termo termina em 3, excetuando-se o terno 3, 4 e 5, só no primeiro termo poderá ocorrer número primo.

e) nos ternos cujo primeiro termo termina em 5, só o terceiro termo poderá ocorrer número primo;

f) nos ternos cujo primeiro termo termina em 7, só o primeiro termo poderá ocorrer número primo;

g) nos ternos cujo primeiro termo termina em 9, só o primeiro e terceiro termos poderão ocorrer números primos;

i) nos ternos cujo primeiro termo termina em 1, só o primeiro e terceiro termos poderão ocorrer números primos.

Tabela de
ternos pitagóricos primitivos
(sequência ímpar)
             
m n a b
             
2 1 4 1 3 4 5
3 2 9 4 5 12 13
4 3 16 9 7 24 25
5 4 25 16 9 40 41
6 5 36 25 11 60 61
7 6 49 36 13 84 85
8 7 64 49 15 112 113
9 8 81 64 17 144 145
10 9 100 81 19 180 181
11 10 121 100 21 220 221
12 11 144 121 23 264 265
13 12 169 144 25 312 313
14 13 196 169 27 364 365
15 14 225 196 29 420 421

Autor: Ricardo Silva - maio/2018

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